20. Значение (68) относительной живой силы $2 T$ системы сводится последовательно к следующим частям: $2 T^{(1)}, 2 T^{(2)}, \ldots, 2 T^{(n-1)}$, при предпс ложении, что все $n-1$ первые массы последовательно исчезают, за исключением одной, а именно, сводится к части
\[
2 T^{(1)}=\frac{m_{1} m_{n}}{m_{1}+m_{n}}\left(\xi_{1}^{\prime 2}+\eta_{1}^{\prime 2}+\zeta_{1}^{\prime 2}\right),
\]

когда только $m_{1}$ и $m_{n}$ не исчезают, к части
\[
2 T_{\prime}^{(2)}=\frac{m_{2} m_{n}}{m_{2}+m_{n}}\left(\xi_{2}^{\prime 2}+\eta_{2}^{\prime 2}+\zeta_{2}^{\prime 2}\right),
\]

когда только $m_{2}$ и $m_{n}$ не исчезают и т.д.,
и к части
\[
2 T^{(n-1)}=\frac{m_{n-1} m_{n}}{m_{n-1}+m_{n}}\left(\xi_{n-1}^{\prime 2}+\eta_{n-1}^{\prime 2}+\zeta_{n-1}^{\prime 2}\right),
\]

которая остается, если сохраняются только две последние массы. Сумма этих $n-1$ частей в общем не равна полной относительной живой силе $2 T$ системы при сохранении всех $п$ масс, но мало отличается от нее в том случае, когда первые $n-1$ массы малы по сравнению с последней массой $m_{n}$, так как точное значение этой разницы посредством (68) и посредством (132), (133) и (134) будет выражаться так [84] :
\[
\begin{array}{l}
2 T_{,}-2 T^{(1)}-2 T^{(2)}-\ldots-2 T^{(n-1)}=\frac{2 m_{1}}{m_{n}}\left(T_{\prime}^{(1)}-T\right)+ \\
+ \frac{2 m_{2}}{m_{n}}\left(T^{(2)}-T\right)+\ldots+\frac{2 m_{n-1}}{m_{n}}\left(T^{(n-1)}-T\right)+ \\
\quad+-\frac{1}{m_{n}} \Sigma, m_{i} m_{k}\left\{\left(\xi_{i}^{\prime}-\xi_{k}^{\prime}\right)^{2}+\left(\eta_{i}^{\prime}-\eta_{k}^{\prime}\right)^{2}+\left(\zeta_{i}^{\prime}-\zeta_{k}^{\prime}\right)^{2}\right\} .
\end{array}
\]

Эro – выражение второго порядка малости в том случае, когда рассматриваемые $n-1$ массы суть величины первого порядка малости. Обозначим $V^{(1)}, \ldots, V^{n-(1)}$ относительные действия или накопленные относительные живые силы, какими они были бы в $n-1$ бинарных системах $\left(m_{1} m_{n}\right)$, $\left(m_{2} m_{n}\right), \ldots,\left(m_{n-1} m_{n}\right)$ без возмущений других малых масс всей множественной системы $n$ точек. При вычислении этих $n$ определенных интегралов
\[
V^{(1)}=\int_{0}^{t} 2 T_{,}^{(1)} d t, \quad V^{(2)}=\int_{\rho}^{t} 2 T^{(2)} d t, \ldots, \quad V^{(n-1)}=\int_{0}^{t} 2 T^{(n-1)} d t
\]

пренебрежем этими возмущениями, то получим в качестве приближенного значения полного отнссительного действия $V$, системы сумму $V$, , $_{1}$ ее значений для этих отдельных бинарных систем :
\[
V_{\iota_{1}}=V^{(1)}+V^{(2)}+\ldots+V^{(n-1)} .
\]

Эта сумма согласно нашей теории бинарных систем может быть иначе выражена следующим образом :
\[
V_{, 1}=\frac{m_{1} m_{n} w^{(1)}}{m_{1}+m_{n}}+\frac{m_{2} m_{n} w^{(2)}}{m_{2}+m_{n}}+\ldots+\frac{m_{n-1} m_{n} w^{(n-1)}}{m_{n-1}+m_{n}},
\]

если для краткости напишем
\[
\left.\begin{array}{c}
w^{(1)}=h^{(1)} \vartheta^{(1)}+\int_{r_{0}^{1}}^{r^{(1)}} r^{\prime(1)} d r^{(1)}, \\
w^{(2)}=h^{(2)} \vartheta^{(2)}+\int_{r_{0}^{(2)}}^{r^{(2)}} r^{(2)} d r^{(2)}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
w^{(n-1)}=h^{(n-1)} \vartheta^{(n-1)}+\int_{r_{0}^{(n-1)}}^{r^{(n-1)}} r^{\prime(n-1)} d r^{(n-1)} .
\end{array}\right\}
\]

В этом выражении
\[
\begin{array}{c}
r^{\prime(1)}= \pm \sqrt{2\left(m_{1}+m_{n}\right) f^{(1)}+2 g^{(1)}-\frac{\bar{h}^{(1) 2}}{r^{(1)^{2}}}}, \\
r^{\prime(n-1)}= \pm \sqrt{2\left(m_{n-1}+m_{n}\right) f^{(n-1)}+2 g^{(n-1)}-\frac{h^{(n-1) 2}}{r^{(n-1) 2}}},
\end{array}
\]
$r^{(1)}, \ldots, r^{(n-1)}$ представляют собой сокращенные выражения для расстояний, $r^{(1, n)}, \ldots, r^{(n-1, n)}$ и $f^{(1)}, \ldots, f^{(n-1)}$ представляют собой сокращенные написания для функций $f^{(1, n)}, \ldots, f^{(n-1, n)}$ этих расстояний, производные которых в зависимости от того, являются ли они отрицательными или положительными, выражают законы притяжения или отталкивания; мы ввели также $2 n-2$ вспомогательные величины $h^{(1)}, g^{(1)}, \ldots, h^{(n-1)}, g^{(n-1)}$, которые должны быть исключены или определены при помощи следующих уравнений условий $\left[{ }^{85}\right\rceil$ :
\[
\begin{array}{l}
0=\vartheta^{(1)}+\int_{r_{0}^{(1)}}^{r^{(1)}} \frac{\delta r^{(1)}}{\delta h^{(1)}} d r^{(1)}, \\
0=\vartheta^{(2)}+\int_{r_{0}^{(2)}}^{r^{(2)}} \frac{\delta r^{\prime}(2)}{\delta h^{(2)}} d r^{(2)}, \\
0=\vartheta^{(n-1)}+\int_{r_{0}^{(n-1)}}^{r^{(n-1)}} \frac{\delta r^{\prime(n-1)}}{\delta h^{(n-1)}} d r^{(n-1)} \\
\end{array}
\]

и
\[
\int_{r_{0}^{(1)}}^{r^{(1)}} \frac{d r^{(1)}}{r^{\prime}(1)}=\int_{r_{0}^{(2)}}^{r^{(2)}} \frac{d r^{(2)}}{r^{\prime}(2)}=\ldots=\int_{r_{0}^{(n-1)}}^{r^{(n-1)}} \frac{d r^{(n-1)}}{r^{\prime}(n-1)},
\]

или
\[
\frac{\delta w^{(1)}}{\delta g^{(1)}}=\frac{\delta w^{(2)}}{\delta g^{(2)}}=\ldots=\frac{\delta w^{\prime n-1)}}{\delta g^{(n-1)}},
\]

вместе с последним условием
\[
\frac{m_{1} g^{(1)}}{m_{1}+m_{n}}+\frac{m_{2} g^{(2)}}{m_{2}+m_{n}}+\frac{m_{3} g^{(3)}}{m_{3}+m_{n}}+\ldots+\frac{m_{n-1} g^{(n-1)}}{m_{n-1}+m}=\frac{H}{m_{n}} .
\]

Мы обозначили через $\vartheta^{(1)}, \ldots, \vartheta^{(n-1)}$ углы, которые конечные расстояния $r^{(1)}, \ldots, r^{(n-1)}$ первых $n-1$ точек от последней или $n$-й точки системы образуют с начальными расстояниями, а именно соответственно с $r_{0}^{(1)}, \ldots$ $\ldots, r_{0}^{(n-1)}$. Вариация суммы $V_{1}$ будет вследствие равенства $\left(\mathrm{S}^{5}\right)$ :
\[
\delta V_{, 1}=\frac{m_{1} m_{n} \delta w^{(1)}}{m_{1}+m_{n}}+\frac{m_{2} m_{n} \delta w^{(2)}}{m_{2}+m_{n}}+\ldots+\frac{m_{n-1} m_{n} \delta w^{(n-1)}}{m_{n-1}+m_{n}},
\]

где при помощи уравнений условий мы можем рассматривать все вспомогательные величины $h^{(1)}, g^{(1)}, \ldots, h^{(n-1)}, g^{(n-1)}$ қак постоянные, если $H$, считается заданным. Таким образом, та часть этой вариации $\delta V, 1$, которая зависит от вариаций конечных относительных координат, может быть написана в следующем виде :
\[
\begin{array}{l}
\delta_{\xi, \eta, \zeta} V_{,_{1}}=\frac{m_{1} m_{n}}{m_{1}+m_{n}}\left(\frac{\delta w^{(1)}}{\delta \xi_{1}} \delta \xi_{1}+\frac{\delta w^{(1)}}{\delta \eta_{1}} \delta \eta_{1}+\frac{\delta w^{(1)}}{\delta \xi_{1}} \delta \zeta_{1}\right)+ \\
+\frac{m_{2} m_{n}}{m_{2}+m_{n}}\left(\frac{\delta w^{(2)}}{\delta \xi_{2}} \delta \xi_{2}+\frac{\delta w^{(2)}}{\delta \eta_{2}} \delta \eta_{2}+\frac{\delta w^{(2)}}{\delta \xi_{2}} \delta \zeta_{2}\right)+\ldots \\
\ldots+\frac{m_{n-1} m_{n}}{m_{n-1}+m_{n}}\left(\frac{\delta w^{(n-1)}}{\delta \xi_{n-1}} \delta \xi_{n-1}+\frac{\delta w^{(n-1)}}{\delta \eta_{n-1}} \delta \eta_{n-1}+\frac{\delta w^{(n-1)}}{\delta \xi_{n-1}} \delta \zeta_{n-1}\right) .
\end{array}
\]

Из уравнений $\left(\mathrm{T}^{5}\right),\left(\mathrm{U}^{5}\right)$ или посредством теории бинарных систем мы получаем точно:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\delta w^{(1)}}{\delta \xi_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta w^{(1)}}{\delta \eta_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta w^{(1)}}{\delta \zeta_{1}}\right)^{2}=2\left(m_{1}+m_{n}\right) f^{(1)}+2 g^{(1)} ; \\
\left(\frac{\delta w^{(2)}}{\delta \xi_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta w^{(2)}}{\delta \eta_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta w^{(2)}}{\delta \xi_{2}}\right)^{2}=2\left(m_{2}+m_{n}\right) f^{(2)}+2 g^{(2)} ; \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\left(\frac{\delta w^{(n-1)}}{\delta \xi_{n-1}}\right)+\left(\frac{\delta w^{(n-1)}}{\delta \eta_{n-1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta w^{(n-1)}}{\delta \xi_{n-1}}\right)^{2}=2\left(m_{n-1}+m_{n}\right) f^{(n-1)}+2 g^{(n-1)}, \\
\end{array}
\]

и точный закон относительной живой силы для всей множественной системы будет иметь вид
\[
T,=U+H,
\]
rise
\[
\begin{array}{l}
U=m_{n}\left(m_{1} f^{(1)}+m_{2} f^{(2)}+\ldots+m_{n-1} f^{(n-1)}\right)+\Sigma{ }^{\prime}, m_{i} m_{k} f^{(i, k)}, \\
\text { и }\left[{ }^{86}\right] \\
T_{,}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{n}}\right)\left\{\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \zeta_{1}}\right)^{2}\right\}+ \\
+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{m_{2}}+\frac{1}{m_{n}}\right)\left\{\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{2}}\right)+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{2}}\right)^{2}\right\}+\ldots \\
\ldots+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{m_{n-1}}+\frac{1}{m_{n}}\right)\left\{\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{n-1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{n-1}}\right)^{2}+\left(-\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{n-1}}\right)^{2}\right\}+ \\
+\frac{1}{m_{n}} \mathbf{y}^{\prime} \cdot\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{i}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{k}}+\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{i}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{k}}+\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \zeta_{i}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \zeta_{k}}\right) . \\
\end{array}
\]

Заменяя в последнем выражении производные характеристической функции $V$, производными ее первой части $V_{\mathbf{1}}$ и принимая во внимание предыдущие уравнения [87], мы получим
\[
\begin{aligned}
T_{1}=m_{n} \Sigma^{\prime}, m_{i} f^{(i)}+H,+ & m_{n} \Sigma^{\prime}, \frac{m_{i}}{m_{n}+m_{i}} \frac{m_{k}}{m_{n}+m_{k}} \times \\
& \times\left(\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \xi_{k}}+\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \eta_{i}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \eta_{k}}+\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}}-\frac{\delta w^{(k)}}{\delta \xi_{k}}\right),
\end{aligned}
\]

и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
T,-T_{1} & =\Sigma, m_{i} m_{k}\left\{f^{(i, k)}-\right. \\
& \left.-\frac{m_{n}}{\left(m_{n}-m_{i}\right)\left(m_{n}+m_{k}\right)}\left(\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \xi_{k}}+\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \eta_{i}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \eta_{k}}+\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \xi_{k}}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Отсюда общее преобразование предыдущего параграфа строго дает для остающейся части $V_{2}$ характеристической функции $V$, относительного движения системы уравнение
\[
\begin{array}{l}
V_{2}=\int_{0}^{t} T_{, 2} d t+\Sigma m_{i} m_{k} \int_{0}^{t}\left\{f^{(i, k)}-\right. \\
\left.-\frac{\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \xi_{k}}+\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \eta_{i}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \eta_{k}}+\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \xi_{k}}}{\frac{1}{m_{n}}\left(m_{n}+m_{i}\right)\left(m_{n}+m_{k}\right)}\right\} d t \\
\end{array}
\]

и приближенно – выражение
\[
V_{, 2}=\Sigma^{\prime}, m_{i} m_{k} \int_{0}^{t}\left\{f^{(i, k)}-\frac{1}{m_{n}}\left(\xi_{i}^{\prime} \xi_{K}^{\prime}+\eta_{i}^{\prime} \eta_{k}^{\prime}+\zeta_{i}^{\prime} \zeta_{k}^{\prime}\right)\right\} d t .
\]

Это последнее выражение мы можем скомбинировать с приближенными формулами, строго применимыми только к бинарным системам :
\[
\begin{array}{l}
\xi_{i}^{\prime}=\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}}, \quad \eta_{i}^{\prime}=\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \eta_{i}}, \quad \zeta_{i}^{\prime}=\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}}, \\
\alpha_{i}^{\prime}=-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta a_{i}}, \quad \beta_{i}^{\prime}=\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \beta_{i}}, \quad
u_{i}^{\prime}=-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta v_{i}}
\end{array}
\]

и
\[
t=\frac{\delta w^{(i)}}{\delta g^{(i)}} .
\]

Мы также имеем для бинарных систем следующие точные дифференциальные уравнения движения второго порядка:
\[
\xi_{i}^{\prime \prime}=\left(m_{n}+m_{i}\right) \frac{\delta f^{(i)}}{\delta \xi_{i}} ; \quad \eta_{i}^{\prime \prime}=\left(m_{n}+m_{i}\right) \frac{\delta f^{(i)}}{\delta \eta_{i}} ; \quad \zeta_{i}^{\prime \prime}=\left(m_{n}+m_{i}\right) \frac{\delta f^{(i)}}{\delta \xi_{i}},
\]

которые позволяют нам различными способами преобразовать приближенное выражение $\left(\mathrm{H}^{6}\right)$. Таким образом, в случае тройной системы с любыми законами притяжения или отталкивания, но с одной преобладающей массой $m_{3}$ возмущающая часть $V_{2}$ характеристической функции $V$ относительного движения может быть написана в виде
\[
V_{\prime_{2}}=m_{1} m_{2} W
\]

где коэффициент $W$ может быть приближенно выражен следующим образом :
\[
W=\int_{0}^{t}\left\{f^{(1,2)}-\frac{1}{m_{3}}\left(\xi_{1}^{\prime} \xi_{2}^{\prime}+\eta_{1}^{\prime} \eta_{2}^{\prime}+\zeta_{1}^{\prime} \zeta_{2}^{\prime}\right)\right\} d t
\]

или так [88]:
\[
\begin{aligned}
W & =\int_{0}^{t}\left(f^{(1,2)}+\xi_{2} \frac{\delta f^{(1)}}{\delta \xi_{1}}+\eta_{2} \frac{\delta f^{(1)}}{\delta \eta_{1}}+\zeta_{2} \frac{\delta f^{(1)}}{\delta \xi_{1}}\right) d t- \\
& -\frac{1}{m_{3}}\left(\xi_{2} \frac{\delta w^{(1)}}{\delta \xi_{1}}+\eta_{2} \frac{\delta w^{(1)}}{\delta \eta_{1}}+\zeta_{2} \frac{\delta w^{(1)}}{\delta \zeta_{1}}+\alpha_{2} \frac{\delta w^{(1)}}{\delta \alpha_{1}}+\beta_{2} \frac{\delta w^{(1)}}{\delta \beta_{1}}+v_{2} \frac{\delta w^{(1)}}{\delta v_{1}}\right),
\end{aligned}
\]

или, наконец,
\[
\begin{aligned}
W & =\int_{0}^{t}\left(f^{(1,2)}+\xi_{1} \frac{\delta f^{(2)}}{\delta \xi_{2}}+\eta_{1} \frac{\delta f^{(2)}}{\delta \eta_{2}}+\zeta_{1} \frac{\delta f^{(2)}}{\delta \xi_{2}}\right) d t- \\
& -\frac{1}{m_{3}}\left(\xi_{1} \frac{\delta w^{(2)}}{\delta \xi_{2}}+\eta_{i} \frac{\delta w^{(2)}}{\delta \eta_{2}}+\zeta_{1} \frac{\delta w^{(2)}}{\delta \xi_{2}}+\alpha_{1} \frac{\delta w^{(2)}}{\delta \alpha_{2}}+\beta_{1} \frac{\delta w^{(2)}}{\delta \beta_{2}}+v_{1} \frac{\delta w^{(2)}}{\delta v_{2}}\right) .
\end{aligned}
\]

В общем для множественной системы мы можем написать
\[
V_{2}=\Sigma, m_{i} m_{k} W^{(i, k)}
\]

и приближенно
\[
\begin{aligned}
W^{(i, k)} & =\int_{0}^{t}\left(f^{(i, k)}+\xi_{k} \frac{\delta f^{(i)}}{\delta \xi_{i}}+\eta_{k} \frac{\delta f^{(i)}}{\delta \eta_{i}}+\zeta_{k} \frac{\delta f^{(i)}}{\delta \xi_{i}}\right) d t- \\
& -\frac{1}{m_{n}}\left(\xi_{k} \frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}}+\eta_{k} \frac{\delta w^{(i)}}{\delta \eta_{i}}+\zeta_{k} \frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}}+\alpha_{k} \frac{\delta w^{(i)}}{\delta \alpha_{i}}+\beta_{k} \frac{\delta w^{(i)}}{\delta \beta_{i}}+v_{k} \frac{\delta w^{(i)}}{\delta v_{i}}\right),
\end{aligned}
\]

или
\[
\begin{aligned}
W^{(i, k)} & =\int_{0}^{t}\left(f^{(i, k)}+\xi_{i} \frac{\delta f^{(k)}}{\delta \xi}+\eta_{i} \frac{\delta f^{(k)}}{\delta \eta_{k}}+\zeta_{i} \frac{\delta f^{(k)}}{\delta \zeta_{k}}\right) d t- \\
& -\frac{1}{m_{n}}\left(\xi_{i} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \xi_{k}}+\eta_{i} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \eta_{k}}+\zeta_{i} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \zeta_{k}}+\alpha_{i} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \alpha_{k}}+\beta_{i} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \beta_{k}}+v_{i} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta v_{k}}\right) .
\end{aligned}
\]