Действительная траектория материальной точки полностью определена, если даны начальное положение и начальное направление. Это вытекает из механических оснований, но это можно было бы также доказать, исходя из найденного геометрического свойства действительных траекторий. Если же дано только начальное положение $A$, то начальное направление на элементе поверхности, соответствующем точке $A$, можно выбрать произвольно. Таким образом, из определенного места выходит бесконечно большое число действительных траекторий.

Иначе ведут себя геодезические траектории, когда не выполняется условие интегрируемости. Они определяются уравнениями (26), к которым присоединяется еще (13). Уравнение (13) после дифференцирования дает:
$\varphi \frac{d^{2} x}{d s^{2}}+\psi \frac{d^{2} y}{d s^{2}}+\chi \frac{d^{2} z}{d s^{2}}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{d x}{d s}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{d y}{d s}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \frac{d z}{d s}\right) \frac{d x}{d s}+$
$+\left(\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{d x}{d s}+\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{d y}{d s}+\frac{\partial \psi}{\partial z} \frac{d z}{d s}\right) \frac{d y}{d s}+\left(\frac{\partial \chi}{\partial x} \frac{d x}{d s}+\frac{\partial \chi}{\partial y} \frac{d y}{d s}+\frac{\partial \chi}{\partial z} \frac{d z}{d s}\right) \frac{d z}{d s}=0$.
С помощью этого уравнения и уравнений (26) можно выразить $\frac{d^{2} x}{d s^{2}}, \frac{d^{2} y}{d s^{2}}$, $\frac{d^{2} z}{d s^{2}}, \frac{d \lambda}{d s}$ через $x, y, z, \lambda, \frac{d x}{d s}, \frac{d y}{d s}, \frac{d z}{d s}$. Можно, следовательно, с помощью названных уравнений определить величины $x, y, z, \lambda$ как функции $s$, если для некоторого начального значения $s$ заданы соответствующие начальные значения величин $x, y, z, \frac{d x}{d s}, \frac{d y}{d s}, \frac{d z}{d s}, \lambda$. Если же, с другой стороны, выполнить интегрирование уравнений (26) и (27) при каких-либо начальных значениях, то получаются функции, которые в силу уравнения (27) удовлетворяют

условию
\[
\varphi \frac{d x}{d s}+\psi \frac{d y}{d s}+\chi \frac{d z}{d s}=C_{1},
\]

где $C_{1}$ означает постоянную. Так как, далее, из уравнений (26) после умножения на $\frac{d x}{d s}, \frac{d y}{d s}, \frac{d z}{d s}$ и сложения вытекает соотношение
\[
\frac{d^{2} x}{d s^{2}} \frac{d x}{d s}+\frac{d^{2} y}{d s^{2}} \frac{d y}{d s}+\frac{d^{2} z}{d s^{2}} \frac{d z}{d s}+\left(\varphi \frac{d x}{d s}+\psi \frac{d y}{d s}+\chi \frac{d z}{d s}\right) \frac{d \lambda}{d s}=0,
\]

то полученные функции должны также удовлетворять условию
\[
\left(\frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d s}\right)^{2}+2 C_{1} \lambda=C_{2} .
\]

Здесь $C_{2}$ – постоянная. Начальные значения должны быть выбраны так, чтобы было $C_{1}=0$ и $C_{2}=1$. Отсюда видно, что коль скоро дано начальное положение $x, y, z$, можно еще произвольно выбрать начальные значения величин $s, \lambda$ и отношения $\frac{d x}{d s}: \frac{d y}{d s}$. Начальное значение $s$ не существенно, и, таким образом, в уравнение подлежащей определению геодезической траектории входят еще две постоянные. Однако можно показать, что начальное значение $\lambda$ только тогда влияет на вид траектории, когда не выполнено условие интегрируемости (14)*). Следовательно, если для какой-либо точки величина
\[
\varphi\left(\psi_{3}-\chi_{2}\right)+\psi\left(\chi_{1}-\varphi_{3}\right)+\chi\left(\varphi_{2}-\psi_{1}\right)
\]

не равна нулю, то из этой точки выходит дважды бесконечное число действительных траекторий.

Этот результат аналогичен результату, найденному для шара. В случае шара движения, исходящие из некоторого заданного положения и удовлетворяющие задаче о минимуме, упомянутой во введении, образуют многообразие высшего порядка по сравнению с теми движениями, которые может выполнять шар, исходя из заданного положения, при отсутствии действия сил.