Будем считать обычные уравнения Лагранжа слабыми уравнениями:
\[
\dot{p}_{n}=\frac{\partial L}{\partial q_{n}} .
\]

Подставляя в (12) значения $p_{n}$ из (2), получаем уравнения, содержащие ускорения $\ddot{q}_{n}$. В обычном случае эти уравнения задают $\ddot{q}$ в терминах $q$ и $\dot{q}$.

В случае, когда имеют место $M$ уравнений (4), уравнения движения дают только $N-M$ соотношений для величин $\ddot{q}$. Остальные $M$ уравнений движения описывают изменения $\Phi_{m}$ с изменением времени. Для того чтобы система уравнений была совместной, $\Phi_{m}$ должны обращаться в нуль. Условия совместности будут изучены ниже.
С помощью (11) уравнения движения (12) принимают вид
\[
p_{n}=-\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial q_{n}}-v_{m} \frac{\partial \Phi_{m}}{\partial q_{n}} .
\]

Уравнения (13) вместе с уравнениями (10) образуют систему динамических уравнений Гамильтона. Уравнения заданы функцией $\mathfrak{g}$ и соотношениями $\Phi_{m}=0$. Гамильтоновы уравнения движения задают $\dot{q}$ и $\dot{p}$ в терминах гамильтоновых переменных $q, p, v$. Уравнения не содержат какой-либо непосредственной информации о $\dot{v}$, но, изучая условия совместности, из них можно извлечь косвенную информацию о $\dot{v}$.

Уравнения Гамильтона легче записать с помощью скобки Пуассона (C. П.). Каждым двум функциям $\xi$ и $\eta$, зависящим от $q$ и $p$, ставится в соответствие скобка Пуассона:
\[
[\xi, \eta] \equiv \frac{\partial \xi}{\partial q_{n}} \frac{\partial \eta}{\partial p_{n}}-\frac{\partial \xi}{\partial p_{n}} \frac{\partial \eta}{\partial q_{n}} .
\]

Легко проверить, что скобка Пуассона инвариантна относительно преобразований к новым $q$ и $p$, при которых новые $q$ являются независимыми функциями от исходных, причем новые $p$ задаются соотношением (2), включа-

ющим $L$, выраженным в новых $q$ и их производных по времени. Это свойство скобки Пуассона делает ее важным понятием. Скобка Пуассона удовлетворяет следующим соотношениям :
\[
\left.\begin{array}{l}
{[\xi, \eta] \equiv-[\eta, \xi],} \\
{\left[\xi, f\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots\right)\right] \equiv \frac{\partial f}{\partial \eta_{1}}\left[\xi, \eta_{1}\right]+\frac{\partial f}{\partial \eta_{2}}\left[\xi, \eta_{2}\right]+\ldots,} \\
{[\xi,[\eta, \zeta]]+[\eta,[\zeta, \xi]]+[\zeta,[\xi, \eta]] \equiv 0 .}
\end{array}\right\}
\]

Во втором равенстве $f$-произвольная функция переменных величин $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$, каждая из которых зависит от $q$ и $p$. Последнее равенство, известное как равенство Пуассона [234], применимо к любым трем функциям $\xi, \eta, \zeta$ от $q$ и $p$.

Желательно распространить С. П. на случай функций, зависящих также от $\dot{q}$, которые не выражаются через $q$ и $p$. Предполагаем, что такие обобщенные С. П. подчиняются соотношениям (15), но в остальном произвольны. С другой стороны, мы можем предположить, что $\dot{q}$ – произвольные функции от $q$ и $p$, и вывести равенства (15) для $\xi, \eta$ и $\zeta$, содержащих $\dot{q}$.
Из сильного уравнения $A \equiv 0$ вытекают слабые уравнения
\[
\frac{\partial A}{\partial q_{n}}=0, \quad \frac{\partial A}{\partial \dot{q}_{n}}=0, \quad \frac{\partial A}{\partial p_{n}}=0 .
\]

Отсюда, пользуясь вторым из соотношений (15), имеем
\[
[\xi, A]=0
\]

для произвольного $\xi$.
В некоторых случаях мы имеем $[\xi, A] \equiv 0$ (например, в случае, когда, по определению, $A \equiv 0$ ), но, вообще говоря, это не имеет места. Из слабого уравнения $X=0$ равенство $[\xi, X]=0$ не вытекает. Если $g$ – некоторая функция от $q$ и $p$, то получаем из уравнений (10) и (13) :
\[
\dot{g}=\frac{\partial g}{\partial q_{n}}-\left(\frac{\partial \mathfrak{Y}}{\partial p_{n}}+v_{m} \frac{\partial \Phi_{m}}{\partial p_{n}}\right)-\frac{\partial g}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial \mathfrak{E}}{\partial q_{n}}+v_{m} \frac{\partial \Phi_{m}}{\partial q_{n}}\right)=[g, \mathfrak{S}]+v_{m}\left[g, \Phi_{m}\right] .
\]

Равенство (16) является общим уравнением движения Гамильтона. Оно может быть также записано с помощью уравнений (4) в виде
\[
\dot{g}=[g \mathfrak{g}]+v_{m}\left[g, \Phi_{m}\right]+\left[g, v_{m}\right] \Phi_{m}=[g, H],
\]

причем оно принимает тот же вид, что и обычное уравнение Гамильтона, записанное с помощью скобки Пуассона.