Я. Бернуяли решил не только задачу о брахистохроне, но показал также, как могут быть решены аналогичные более трудные задачи. Из таких задач наибольшую известность получила изопериметрическая задача (в узком смысле слова), т. е. задача об определении той линии из всех простых замкнутых линий, имеющих данную длину, которая охватывает наибольшую площадь.

В ходе решения, приведшего к выводу, что искомая кривая есть циклоида, Я. Бернулли высказал принцип, который хотя и не обладает полной общностью, но сыграл значительную роль как на первой стадии развития вариационного исчисления, так и в формулировке Эйлером принципа наименьшего действия. Принцип Я. Бернулли гласит, что если какая-либо кривая обладает свойством максимума или минимума, то каждая ее бесконечно малая часть обладает тем же свойством. Именно это позволило Эйлеру написать вместо конечного пути $s$, входящего в формулу, данную Мопертюи, элемент пути $d s$ и тем самым сделать огромный шаг вперед. Надо отметить, что, рассматривая задачу о брахистохроне в сопротивляющейся среде, Эйлер показал, что длина и форма предшествовавшего пути влияют на

скорость в элементе пути. Вся кривая может быть брахистохроной, хотя каждый элемент ее и не обнаруживает этого свойства. Это означает, что принцип Якова Бернулли не является универсальным.

В 1697 г. И. Бернулли была поставлена еще одна задача на отыскание минимума. Эта задача состояла в проведении кратчайшей линии между двумя заданными точками на произвольной поверхности. Первые исследования этой задачи были выполнены Лейбницем и Яковом Бернулли, но наиболее важный результат был найден самим И. Бернулли. Он показал, что в любой точке кратчайшей линии соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к касательной плоскости к поверхности, что, как известно, есть основное свойство геодезических линий. Понимая всю важность задачи о геодезических линиях, И. Бернулли хотя и не опубликовал сразу найденный результат (он сообщил его в конце 1728 г. Упсальскому профессору Клингенштерну, а напечатаны его работы о геодезических линиях были лишь в 1742 г.), но предложил заняться этой задачей своему ученику Л. Эйлеру. Эйлер, которому тогда был 21 год, но который уже тогда «вычислял без какого-либо видимого усилия,. как человек дышит, как орлы поддерживают себя в потоке воздуха» (Араго), напечатал в 1728 г. статью \”De linea brevissima in superficie quaqunque duo quaelibet puncta iungente\”, в которой он дал общее решение поставленной задачи. Четыре года спустя Эйлер опубликовал мемуар «Problematis isoperimetrici in latissimo sensu accepti solutio generalis», в котором изопериметрическая задача была сформулирована в общем виде. Затем во втором томе сочинения «Mecanica sive motus scientia analytice exposita», вышедшем в 1736 г., Эйлер снова занялся исследованием геодезических линий и решил изопериметрическую задачу о брахистохроне заданной длины. Наконец, в 1744 г. отдельным изданием вышел трактат, в котором Эйлер собрал почти все свои исследования предыдущих лет, посвященные этим проблемам.

В письме от 28 января 1741 г. Даниил Бернулли спрашивал Эйлера, может ли он решить проблему центральных сил методом изопериметров. Эйлер нашел решение этой задачи в марте 1743 г. В 1744 г. оно было опубликовано им в приложении «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов» к знаменитой книге «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле». Эйлеру, как правильно указывает Серре*), принадлежит исторически первая отчетливая идея математического содержания, которое вкладывается наукой в принцип наименьшего действия. Именно Эйлер в 1744 г. в указанном приложении показал, что для траекторий, описываемых под действием центральных сил, интеграл $\int v d s$, где $v$ – скорость, всегда равен минимуму или максимуму. Эйлер не дал этому выражению какоголибо специального наименования.

Математическое выражение, называемое принципом наименьшего действия, у Эйлера естественно вытекало из его работ по отысканию кривых, обладающих экстремальными свойствами. Однако, если геометрическая задача блестяще решалась «методом изопериметров», то в случае механического движения приходилось ограничиваться решением уже решенных задач (a posteriori), так как указать из общих соображений, какая именно величина в том или ином случае будет иметь максимум и минимум, не удавалось. Это ограничивало сферу применения и эвристическое значение принципа наименьшего действия у Эйлера. Еще одно ограничение универсаль-

ности его характера явствовало из того, что у Эйлера он органически связан с законом живых сил и имеет место только там, где применим последний.

Из выражения $\int v d s=\int v^{2} d t$ видно, как заключает Эйлер, откликаясь на споры о мере движения, что «…ни те, кто полагает, что силы следует оценивать по самим скоростям, ни те, кто – по квадратам скоростей, не найдут здесь ничего неприемлемого»*).

Этим замечанием Эйлера в неявном виде формулируется ограничение области применения принципа наименьшего действия кругом проблем, в которых силы имеют потенциал**). Таким образом, согласно Эйлеру, необходимым условием применимости принципа наименьшего действия является подчинение системы закону живых сил, в. то время как Мопертюи усматривал универсальность своего принципа наименьшего количества действия именно в том, что он имеет более общее значение, чем закон живых сил, или другие законы механики. В то же время в той форме, которую придал Мопертюи этому принципу, он имеет смысл только для конечных и мгновенных изменений скорости, и поэтому из него можно получать только уравнения, связывающие конечные величины. Эйлерова же форма принципа наименьшего действия охватывает непрерывные движения, и из нее получаются дифференциальные уравнения траекторий.

Работа Эйлера делает совершенно незначительной роль Мопертюи, которому, по существу говоря, принадлежит только название принципа, да и то не слишком удачное.

Мопертюи сам пишет : «Этот великий геометр (Л. Эйлер. – Л. П.) не только обосновал принцип более основательно, чем это сделал я, но его взор, более объемлющий и более проникновенный, чем мой, привел его к открытию следствий, которых я не извлек»***).

Однако, несмотря на то, что выражение $\int v d s$, являющееся математически осмысленной формой принципа наименьшего действия, дано Эйлером независимо и одновременно с работами Мопертюи, которые были математически аморфны и не заключали в себе ядра будущего прогресса, Эйлер всегда подчеркивал приоритет Мопертюи. Возможно, это объясняется тем, что при своей склонности к метафизическим спекуляциям он отдавал предпочтение априорной и кажущейся универсальной метафизической аргументации Мопертюи по сравнению с своими результатами, найденными им, как он сам говорит, а posteriori.

Возможно также, что неоднократное подчеркивание Эйлером приоритета Мопертюи обусловлено в какой-то мере и его дружескими чувствами к президенту Берлинской Академии.

Что же касается взглядов Эйлера на теологическое обоснование принципа, то они во многом близки к взглядам Мопертюи. Математическое рассмотрение интересующей нас проблемы не обходится у Эйлера без телеологи- .

ческих, метафизических соображений. Эти соображения не играют никакой роли в разработке метода минимумов и максимумов в целом и в решении конкретных задач статики и динамики.

В процессе развития вариационных принципов и методов телеологические аргументы и идеи постепенно естественно отпадают, так как им нет места в подлинно научном знании. Уже Эйлер убедился в том, что каузальное объяснение совсем не эквивалентно телеологическому описанию явлений, но имеет перед последним то очевидное преимущество, что любая проблема механики может быть решена без помощи принципа наименьшего действия, в то время как применение последнего требует при рассмотрении конкретных задач предварительного знания их решения.

Эйлер, поддерживавший Мопертюи во время известной дискуссии, сначала пользуется прямо телеологической аргументацией для обоснования принципа, но, в конце концов, приходит к выводам, по существу говоря лишающим принцип столь дорогого для Мопертюи божественного ореола.

Указав, что метод, развитый им для исследования движения в поле центральных сил, может быть применен кзадаче о нахождении условий равновесия механических систем, Эйлер усматривает обоснование такой возможности в аргументах, доказательная сила которых ему самому представляется недостаточной :
«…Так как тела в силу инерции сопротивляются всякому изменению состояния, то они, если только будут свободны, будут насколько возможно меньше подчиняться действующим силам ; отсюда вытекает, что в порожденном движении эффект, произведенный силами, должен быть меньшим, чем если бы тела двигались каким-либо иным способом. Хотя сила этого рассуждения еще недостаточно видна, все же, так как оно согласно с истиной, я не сомневаюсь, что при помоци принципов здравой метафизики оно может быть возведено к большей очевидности ; но это я предоставляю другим – тем, кто занимается метафизикой»*).

Это, конечно, излишняя скромность – Эйлер сам не мало занимался метафизикой.

Для него характерно стремление дать натурфилософское обоснование механики, не довольствуясь тем, что ее основные законы есть научное обобщение эксперимента и наблюдения. Поэтому он многократно возвращается к проблемам, находящимся на стыке математики, механики, натурфилософии и философии. Им опубликована, например, работа, любопытная с точки зрения изучения попыток ученых XVIII в. связать воедино философию и механику: «Enodatio questionis: utrum materiae facultas cogitandi tribui possit nec ne? ex principis mechanicis petita»**) («Основанное на принципах механики исследование вопроса, можно ли материи приписать способность мышления, или нельзя?). В этой работе механика привлекается на помощь метафизике. Однако есть у Эйлера и такие работы, где метафизика полагается в основание механики: «Essay d’une démonstration métaphysique de principe général de l’équilibre»***) («Опыт метафизического доказательства общего принципа равновесия»).

Склонность Эйлера к проблемам, относившимся в XVIII в. к метафизике, и присущие ему теологические и телеологические тенденции проявились и в его известной популярной книге «Письма о разных физических и филозофических материях, писанные к некоторой немецкой принцессе, с французского языка на российский, переведенные Степаном Румовским» (1768-1772).

Эта книга получила отрицательную оценку со стороны крупнейших ученых механиков Д’Аламбера и Лагранжа, которые представляли прогрессивные идеи в науке XVIII в., развивавшиеся в знаменитой Энциклопедии, одним из руководителей которой был Д’Аламбер.

Они восприняли книгу Эйлера как выступление против антитеологических, материалистических взглядов передовых французских ученых.

Лагранж пишет Д’Аламберу: «Труды, которые Эйлер публикует в Петербурге, были написаны давно и оставались в рукописи лишь за отсутствием издателя, который хотел бы ими заняться; среди них имеется одно сочинение, которое он не должен был бы публиковать ради своей чести: это – „Письма к немецкой принцессе”\”» (Письмо от 2/XII 1769 г.)*). И в. другом письме : «Письма Эйлера к немецкой принцессе, которые Вы желаете видеть и которые, может быть, Вас позабавят выходками против вольнодумцев»**).

Д’Аламбер в письме (от 16/VI 1769 г.) Лагранжу остроумно сравнивает эту работу Эйлера с имеющими печальную известность комментариями Ньютона к Апокалипсису : «… Судя по тому, что Вымне о них говорите (речь идет о сочинении Эйлера „Письма к немецкой принцессе” – Л.П.), это – его комментарии к Апокалипсису. Наш друг – великий аналитик, но довольно плохой философ»***).

Прочитав «Письма к немецкой принцессе», Д’Аламбер пишет (письмо Лагранжу от 7/VIII 1769 г.):
«Вы имели полное основание говорить, что он не должен был печатать это произведение ради своей чести. Это просто невероятно, как такой великий гений, каким он является в геометрии и анализе, может быть в метафизике ниже самого маленького школяра, чтобы не сказать – таким плоским и абсурдным, и вот действительно подходящий случай воскликнуть: Не все богами даровано одному (Non omnia eidem Dii dedere)****).

В течение $1746-1749$ гг. Эйлер подготовляет к печати несколько работ, посвященных поискам выражений, имеющих минимум в различных задачах динамики и статики. Эти работы были напечатаны в 1750-1753 гг.

В статье «Recherhes sur les plus grands et les plus petits qui se trouvent dans les actions des forces» Эйлер рассмотрел с помощью методов вариационного исчисления различные задачи равновесия гибкой нити под действием какихлибо сил при различных условиях. Применив для рассмотрения этих задач принцип наименьшего действия, Эйлер расширил сферу его применения, распространив его на упругие силы.

Завершив этот новый цикл исследований по применению принципа наименьшего действия к проблемам механики, Эйлер приходит, в общем, к тем же выводам, что и в 1744 г. Эйлер снова отмечает, что существуют два метода решения проблем механики: «один метод – прямой, основанный на законах равновесия или движения; другой . . . применяет формулы, которые должны быть максимумами или минимумами и решение которых находится с помощью метода максимумов и минимумов. Первый находит решение, определяя эффект по действующим силам; другой рассматривает конечные причины и выводит действия»*****). Оба метода, полагает Эйлер, должны находиться в полном согласии и приводить к одному и тому же решению, и именно это согласие убеждает нас в истинности решения,

поскольку каждый из рассматриваемых методов основан на несомненных принципах.
«Однако, – замечает Эйлер, – . . часто очень трудно найти выражение, которое должно быть максимумом и минимумом…»*). Поиски такого выражения, по мнению Эйлера, собственно говоря, принадлежат не к области математики, а «. . . к метафизике, поскольку необходимо знать цель, которую природа полагает в своих действиях»**). Метафизика же отнюдь не достигла такой степени совершенства, чтобы для каждого действия, производимого природой, указать то «количество действия», которое является наименьшим; мы еще очень далеки от этого, и поэтому почти совершенно невозможно отыскать для большого числа различных случаев формулы, которые будут иметь максимум или минимум. Напротив, если известно решение, найденное прямым методом, то не представляет труда угадать формулы, которые приведут к тому же самому решению, если отыскать их максимум или минимум. Таким образом, если нельзя вторым методом а priori находить непосредственно законы явлений, то, зная решение, найденное прямым методом; «. . . мы знаем а posteriori эти формулы, которые выражают количество действия, и тогда не представляет более труда показать их истинность с помощью принципов, известных в метафизике»***).

Мы видели, что по мнению Мопертюи принцип наименьшего количества действия является универсальным законом, который в конечном счете позволяет дедуктивным путем вывести все законы природы и в первую очередь решить любые частные задачи механики.

В отличие от него Эйлер, начав с высказываний в том же духе, приходит к другим выводам. Исследуя фактическое применение принципа к частным задачам механики, Эйлер увидел, что найти выражение, которое должно быть максимумом или минимумом, для каждой данной частной задачи можно только тогда, когда уже известно решение этой задачи, проведенное исходя из обычных общих принципов механики, формулирующих не конечные цели, а причинно-следственные связи явлений. Таким образом, эвристическое значение принципа оказалось ничтожным. Он не дает возможности предвидеть или установить законы даже тех механических явлений, которые всесторонне исследуются обычными дифференциальными уравнениями движения Ньютона. Как также было отмечено Эйлером, универсальность принципа наименьшего действия даже в пределах механики не является установленной и он, Эйлер, не может сколько-нибудь уверенно оценить границы его применимости. Надо отметить, что Эйлер совершенно не рассматривал вопроса об определении характера варьируемых движений.

После ряда попыток Эйлер прекратил свои исследования, связанные с принципом наименьшего действия, хотя эта область очень интересовала его как приложение разработанных им методов отыскания кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума. Все это показывает, что хотя Эйлер и не освободился полностью от влияния телеологического финализма Мопертюи, он, однако, стремился, так сказать, математизировать принцип наименьшего действия. Эйлер, несмотря на использование им терминологии Мопертюи, сформулировал идеи, далеко превосходящие ограниченные и односторонние высказывания Мопертюи. Эйлеру принадлежит первая точная и математически плодотворная формулировка принципа наименьшего действия, открывшая новые горизонты для подлинно научного применения.

Именно Эйлер развил в отчетливый и последовательно-стройный математический метод те идеи, которые иначе рисковали остаться в глазах поколений блестящей, но не слишком глубокой догадкой. В этом смысле Эйлер является действительным основоположником научно сформулированного принципа наименьшего действия в механике. Он придал ему научную форму, и нужен был еще только один шаг для того, чтобы завершить полное освобождение принципа наименьшего действия от метафизических лохмотьев и математически обобщить его. Этот шаг был сделан Лагранжем.