Теорема. Для голономных систем каждый прямейший путь есть геодезический, и наоборот.
Для доказательства воспользуемся прямоугольными координатами. Если система голономная, то имеется $i$ уравнений условий, которые умножением на соответствующие множители и сложением в необходимом порядке получат интегрируемую форму, т.е. их левые части совпадут с точными дифферен-

циалами интегралов уравнений условий: Для каждой системы значений: $l_{\mu
u}$ имеем тогда
\[
\frac{\partial x_{L \mu}}{\partial x_{y}}-\frac{\partial x_{L v}}{\partial x_{\mu}}=0,
\]

и дифференциальные уравнения геодезического пути будут в соответствии с уравнениями (а) п. 181
\[
\frac{m_{v}}{m} x_{v}^{\prime \prime}+\sum_{L=1}^{i} x_{L^{v}} \xi_{L}^{\prime}=0 .
\]

Эти последние отличаются от уравнений (d) п. 155 прямейшего пути только обозначениями :
\[
\frac{m_{v}}{m} x_{
u}^{\prime \prime}+\sum_{L=1}^{i} x_{L
u} \Xi_{L}=0,
\]

так как ни $\xi_{l}$, ни $\Xi_{l}$ не встречаются в остальных уравнениях. Каждый возможный путь, который после подходящего определения $\xi_{l}$ удовлетворяет первому уравнению, будет удовлетворять и второму, если положить $\Xi_{L}=\xi_{L}^{\prime \prime}$. Точно так же каждое решение уравнений (c) является одновременно решением уравнений (b). Удовлетворение уравнениям (b) и (c) является достаточным условием того, чтобы путь был геодезическим или также прямейшим.
191. Следствие 1. В голономной системе между какими-нибудь двумя возможными положениями в возможном направлении возможен лишь единственный геодезический путь (п. 161).
192. Следствие 2. В голономной системе между какими-нибудь двумя возможными положениями’ всегда возможен по крайней мере один прямейший путь (II. 173).
193. Т еорем а. Если в материальной системе каждый геодезический путь есть одновременно и прямейший, то система голономная.
Из каждого возможного положения в данном направлении, по п. 161, возможен лишь единственный прямейший путь, следовательно, в соответствии с предпосылкой, единственный геодезический путь. Точно так же согласно п. 173 каждое возможное положение может быть достигнуто посредством одного из этих путей. Следовательно, число свобод движения системы равно числу ее независимых координат, т. е. согласно п. 146 система является голономной.
194. Следствие. Если система не является голономной, то каждый геодезический путь, вообще говоря, не является в то же время прямейшим. Это следует из того, что здесь в каждом направлении возможно провести лишь один прямейший, но много геодезических путей (пп. 161 и 187).
195. Замечание. В неголономных системах каждый прямейший путь, вообще говоря, не является геодезическим. Это положение будет доказано, коль скоро мы укажем такую систему, в которой прямейшие пути не находятся среди геодезических. Примем ради простоты, что между $r$ координатами $p_{e}$ системы имеется лишь одно-единственное неинтегрируемое уравнение условия, и пусть оно имеет вид
\[
\sum_{\varrho=1}^{r} p_{1 \varrho} p_{\varrho}^{\prime}=0 .
\]

Сделаем предположение, что каждый прямейший путь есть в то же время и геодезический; тогда возможно было бы для каждой возможной системы значений $p_{\varrho}$ и $p_{\varrho}^{\prime}$ так определить, по крайней мере, одну систему значений $p_{o}^{\prime}$. чтобы одновременно удовлетворить как уравнениям п. 158, так и урав-

нениям (a) п. 185. Поэтому для всех возможных $p_{e}$ и $p_{e}^{\prime}$ должны быть удовлетворены уравнения, которые получаются от попарного вычитания указанных уравнений:
\[
p_{1 \varrho}\left(\Pi_{1}-\pi_{1}^{\prime}\right)+\pi_{1} \sum_{\sigma=1}^{r}\left(\frac{\partial p_{1} \sigma}{\partial p_{\varrho}}-\frac{\partial p_{1 \varrho}}{\partial p_{\sigma}}\right) p_{\sigma}^{\prime}=0 .
\]

Это есть $r$ уравнений для величины ( $\left.\Pi_{1}-\pi_{1}^{\prime}\right) / \pi_{1}$; они совместны друг с другом лишь тогда, когда для всех пар значений $р$ и $\tau$ удовлетворяется уравнение
\[
\frac{1}{p_{1 e}} \sum_{\sigma=1}^{r}\left(\frac{\partial p_{1 \sigma}}{\partial p_{e}}-\frac{\partial p_{1 e}}{\partial p_{\sigma}}\right) p_{\sigma}^{\prime}=\frac{1}{p_{1 \tau}} \sum_{\sigma=1}^{r}\left(\frac{\partial p_{1 \sigma}}{\partial p_{\tau}}-\frac{\partial p_{1 \tau}}{\partial p_{\sigma}}\right) p_{\sigma}^{\prime} .
\]

Если теперь в $r-1$ этих зависимых уравнений одну из величин $p_{o}^{\prime}$ выразим с помощью уравнений (а) через остальные, то отношения между последними будут совершенно произвольными величинами. Коэффициент при каждой такой величине должен равняться нулю. Мы получим, таким образом, как необходимое следствие нашего предположения, $(r-1)^{2}$ уравнений между $r$ функциями $p_{1 e}$ и их $r^{2}$ первыми частными производными. В особых случаях эти уравнения могут быть совокупно удовлетворены, ибо они удовлетворяются, если уравнения (а) являются интегрируемыми. Однако вообще мы не имеем права предполагать функции $p_{1}$ подчиненными даже одному-единственному условию и, следовательно, вообще наше предположение было недопустимо. Этим самым утверждение доказано.

В в оды (от п. 190 до п. 195). В голономных системах содержание понятий геодезического и прямейшего пути совпадает; в неголономных системах эти понятия имеют в общем совершенно различные значения.
\[
{ }_{*}^{*}{ }^{*}
\]