7. Если мы разделим главную функцию $S$ на любые две части
\[
S_{1}+S_{2}=S
\]

и подставим их сумму вместо $S$ в первое уравнение (C), то функция $F$ в силу ее рациональной, целой и однородной формы и степени может быть выра-

жена следующим, новым образом :
\[
\begin{array}{r}
F\left(\frac{\delta S}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)=F\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)+ \\
+F^{\prime}\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}\right) \frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}+\ldots+F^{\prime}\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3 n}}\right) \frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3 n}}+F\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)= \\
=F\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)-F\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)+ \\
+F^{\prime}\left(\frac{\delta S}{\delta \eta_{1}}\right) \frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}+\ldots+F^{\prime}\left(\frac{\delta S}{\delta \eta_{3 n}}\right) \frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3 n}},
\end{array}
\]

так как $\left[{ }^{103}\right]$
\[
F^{\prime}\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{i}}\right)=F^{\prime}\left(\frac{\delta S}{\delta \eta_{i}}\right)-F^{\prime}\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{i}}\right)
\]

и
\[
\Sigma F^{\prime}\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta}\right) \frac{\delta S_{2}}{\delta \eta}=2 F\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right) \text {. }
\]

Поскольку с помощью (A) и (В) мы получим
\[
F^{\prime}\left(\frac{\delta S}{\delta \eta_{i}}\right)=F^{\prime}\left(\bar{\omega}_{i}\right)=\frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}_{i}}=\frac{d \eta_{i}}{d t},
\]

то легко преобразуем первое уравнение (C) в следующее:
\[
\begin{aligned}
\frac{d S_{2}}{d t}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta t}+U\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)-F & \left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)+ \\
& +F\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right),
\end{aligned}
\]

что дает строго
\[
\begin{aligned}
S_{2}=\int_{0}^{t}\left\{-\frac{\delta S_{1}}{\delta t}+U\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)\right. & \left.-F\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)\right\} d t+ \\
& +\int_{0}^{t} F\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right) d t
\end{aligned}
\]

если только предположить, что обе части, $S_{1}, S_{2}$, подобно полной главной функции $S$ подобраны так, чтобы они исчезали со временем.

Это общее и строгое преобразование представляет общий метод усовершенствования приближенного выражения главной функции $S$ в любой задаче динамики, так как если часть $S_{1}$ является таким приближенным выражением, то остающаяся часть, $S_{2}$, будет мала, а однородная функция $F$, включающая квадраты и произведения производных этой малой части во втором определенном интеграле (E), будет вообще также мала и более высокого порядка малости. Поэтому мы можем в общем пренебречь этим вторым определенным интегралом при переходе ко второму приближению и улучшить первое приближенное выражение $S_{1}$ путем прибавления к нему следующей поправки :
\[
\Delta S_{1}=\int_{0}^{t}\left\{-\frac{\delta S_{1}}{\delta t}+U\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)-F\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)\right\} d t ;
\]

при вычислении этого определенного интеграла мы можем восіользоваться следующими приближенными формами для интегралов уравнений движения :
\[
p_{1}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e}, p_{2}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{2}}, \ldots, p_{3 n}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{3 n}},
\]

выражая при их помощи сперва переменные $\eta_{i}$ как функции времени и $6 n$ постоянных $e_{i}, p_{i}$ и затем исключив после интегрирования $3 n$ величин $p_{i}$ при помощи тех же приближенных формул. Когда же мы получим таким образом улучшенное выражение или второе приближенное значение $S_{1}+\Delta S_{1}$ для главной функции $S$, оно может быть подобным же образом подставлено вместо первого приближенного значения $S_{1}$, с тем чтобы получить еще большее приближение ; этот процесс можно повторять бесконечно.

Аналогичный процесс можно применить для бесконечного улучшения первого приближенного выражения функций $Q$ или $V$.