Следующим этапом в истории вариационных принципов, подготовленным как развитием механики, так и развитием геометрической оптики в интересующем нас аспекте, явились исследования ирландского математика У. Гамильтона**).

В 30-х годах XIX в. Гамильтон строит свой общий метод динамики на основе рассмотрения и развития оптико-механической аналогии.

Обширный комплекс его исследований сыграл важнейшую роль в развитии вариационных принципов механики.

Общие философские воззрения Гамильтона были близки к взглядам Беркли и Канта. В его письмах и конспектах мы находим много высказываний в духе идеалистической философии. Он даже пытался трактовать алгебру как науку о «чистом времени».

По мнению Гамильтона, «истина (науки. — Л. П.), строго говоря, идеальна и заключается в ее последовательности»*), т. е. в непротиворечивости.

В области методологии научного познания взгляды Гамильтона прогрессивны в отличие от его общефилософских воззрений. Так, определяя задачи физики, он говорит: «Цель физики как науки — констатировать и объяснять видимые явления, классифицировать и обобщать факты, открывать скрытое единство и постоянство природы среди видимого разнообразия и изменчивости, построить хотя бы отчасти историю внешнего мира, приспособленную к пониманию человека, дать отчет о прошлых явлениях и предвидеть будущие явления, изучать язык и истолковывать пророчества вселенной»**).

При рассмотрении методов научного познания в их историческом развитии Гамильтон различает две стадии: индуктивную и дедуктивную.

Наука, в частности оптика и динамика, по мнению Гамильтона, «имеет два различных направления процесса, которые могут быть названы путями анализа и синтеза, восходящей и нисходящей линиями, индуктивным и дедуктивным методом. В каждой физической науке мы должны восходить от фактов к законам путем индукции и анализа и можем нисходить от законов к следствиям дедуктивным или синтетическим путем. Мы должны собирать и группировать явления до тех пор, пока научное воображение различит в них скрытый закон и единство возникнет из многообразия; и затем мы должны вновь вывести из единства многообразие и с помощью открытого нами закона предвидеть еще не обнаруженные явления»***).

Таким образом, для построения дедуктивной науки необходимо сформулировать основной закон или принцип большой общности, который явится исходным пунктом всего исследования. Общий метод «должен вытекать из некоторого закона или принципа наивысшей общности», он должен быть «наивысшей и наиболее общей аксиомой в смысле Бэкона»****).

Что же собой представляет общая аксиома в смысле Бэкона? В «Новом органоне» мы читаем: «… много можно ожидать от наук, когда в надлежащей постепенности, т. е. по непрекращающемуся ряду ступенек, без перерыва, без скачков научатся восходить от частных фактов к аксиомам низшего порядка, от последних к средним аксиомам…, чтобы достигнуть самых широких обобщений. Ибо аксиомы низшего порядка мало чем отличаются от простого опыта. Но высшие аксиомы или самые широкие обобщения … суть чисто идеальные; это — настоящие отвлечения, не имеющие ни реаль-

ности, ни прочности. Настоящие аксиомы, надежные и как бы живые, суть средние аксиомы, на которых покоятся все надежды, все истинное счастье человечества … Значение же этих аксиом в том, что они могут дать больше, чем заключено в том материале, из которого они получены»*).

Приведенные выше слова Гамильтона очень хорошо определяют характер erо основных исследований: дедуктивное развитие той или иной теории на основе ранее найденных путем индукции общих принципов.

Рассмотрим сущность и значение работ Гамильтона в области геометрической оптики и механики.

Еще Герон выводил закон отражения света из принципа кратчайшего пути.

Пьер Ферма, как мы видели, поставил во главу угла своего исследования закона преломления принцип кратчайшего времени.

В 1808 г. Малюс доказал теорему, которая играет важную роль в геометрической оптике**). Теорема эта гласит, что если пучок световых лучей, выходящих из некоторого центра или вообще нормальных к заданной поверхности, подвергается любому числу преломлений, то пучок лучей, выходящих из последней поверхности, будет по-прежнему состоять из нормалей к некоторому семейству поверхностей.

Таким образом, эта теорема связывает световые лучи с некоторыми поверхностями, названными каустическими.

В 1816 г. Дюпен в общем виде дал доказательство этой теоремы для случая отражения света. Французская академия создала специальную комиссию в составе Араго, Ампера и Коши, подтвердившую правильность работы Дюпена. В 1825 г. Кетле и одновременно с ним Жергонн дали полное доказательство этой теоремы. —

Теорему Малюса можно рассматривать с трех различных точек зрения: во-первых, исходя из опытных законов отражения и преломления, во-вторых, исходя из принципа Ферма или принципа наименьшего действия и, наконец, в-третьих, исходя из волновой теории, в которой согласно построениям Гюйгенса-Френеля волновой фронт нормален к лучу.

Волновая теория делает теорему Малюса очевидной, ибо любое семейство волновых поверхностей имеет ортогональные траектории, которые и являются лучами. Это означает, что теорема Малюса заключена в скрытом виде в волновой теории света. Гамильтон замечает по этому новоду: «… более всего удивительно, что важная и оспаривавшаяся теорема была открыта и как нечто обыкновенное употреблялась Гюйгенсом более чем сто лет назад и затем была так полно забыта»***).

Интерес Гамильтона к оптике восходит еще к тому времени, когда он сидел на школьной скамье. Интерес этот возник благодаря изучению различных математических трактатов по оптике и механике, к которому Гамильтон приступил после того, как обнаружились его математические способности. Углубление этого интереса обусловливалось связью проблем геометрической оптики с вопросами конструкции астрономических инструментов, которые Гамильтон изучал в связи со своими астрономическими занятиями. Уже в 1824 г., т. е. девятнадцати лет он написал оставшуюся неопубликованной работу \»On caustics\» («O каустиках»). С того момента, когда он в 1827 г.

стал во главе Дублинской обсерватории, его интерес к оптике нашел и более непосредственное практическое основание.

Начиная с 1827 г., Гамильтон публикует ряд работ по теории систем лучей. По поводу формы этих работ Ф. Клейн делает очень меткое замечание. Он говорит, что «эти статьи по их форме суть все, что угодно, только не безупречные; в необозримом, неуклюжем порядке, полные невыведенных намеков и повторений, они все-таки представляют собою большое богатство мыслей»*). Первые работы Гамильтона были «по форме весьма растрепанными»**), замечает Лармор.

Эти работы, завершившиеся блестящим предсказанием конической рефракции, представляют основное из того, что сделано Гамильтоном в оптике. Он подошел к проблемам геометрической оптики с очень общей точки зрения, стремясь найти такое математическое соотношение, к которому сводились бы все проблемы этой науки. Он исходил при этом из мысли, что этап индукции, который он, как мы выше видели, считал в развитии всякой науки предшествующим этапу дедукции, для геометрической оптики уже завершен. История этой науки, по мнению Гамильтона, уже выявила наиболее общее свойство оптических явлений, которое, будучи сформулировано математически, должно быть положено в основу геометрической оптики. Излагая в кратком очерке историю оптики, Гамильтон прежде всего подчеркивает прямолинейность распространения света. Этот опытный факт в конце концов выкристаллизовывается в следующее важное положение, которое является «фундаментальной теоремой» оптики: «Связь между освещением и освещающим телом, или между рассматриваемым объектом и воспринимающим глазом, осуществляется посредством постепенного, но очень быстрого распространения некоторого предмета или влияния, или состояния, называемого светом, от светящихся или видимых тел вдоль математических или физических линий, называемых обычно лучами и оказывающихся при самых общих условиях точно или приближенно прямыми»***).

Для объяснения законов прямолинейного распространения света были предложены две основные теории. Это — теории Ньютона и Гюйгенса. По мнению Гамильтона, обе они основываются на сравнении, аналогии. Первая сравнивает распространение света с движением частиц; применяя к ним принцип инерции, эта теория легко объясняет факт прямолинейного распространения света. Вторая же сравнивает распространение света с распространением звука в воздухе и .водяными волнами. По мнению Гюйгенса, «нет такой вещи в обычном смысле слова, такого тела, которое двигалось бы от Солнца к Земле или от видимого объекта к глазу; а есть состояние, движение, возмущение, которые были сначала в одном месте, затем в другом»****). Эта теория утверждает существование эфира — некоторой среды, непрерывно заполняющей пространство. Развитая и обогащенная Френелем и Юнгом, она дает как будто бы большее согласие с опытными фактами, чем теория Ньютона.

Какая же теория кажется более приемлемой Гамильтону? Он пользуется сначала корпускулярными, а затем волновыми представлениями, но не потому, что считает, что природа света действительно такова, а потому,

что при их помощи можно лучше удовлетворить наблюдаемым фактам. Гамильтон рассматривает математическую оптику, не только не ставя перед собой, но даже считая вообще несущественной проблему о природе света. Сравнение с наблюдаемыми явлениями-это все, что может быть достигнуто. «Примем ли мы ньютонову или гюйгенсову, или какую-либо другую физическую теорию для объяснения законов, которые регулируют линии световой или видимой связи, мь можем рассматривать сами эти законы и свойства и отношения этих линейных траекторий света как важнейший предмет самостоятельного изучения и образовать отдельную науку, называемую часто математическои́ оптикой»*). В одном письме, определяя задачи своей теории системы лучей (и, между прочим, косвенно указывая на связь ее в конечной инстанции с практическими потребностями), он пишет: «Моей целью было не открывать новые феномены, не улучшать конструкции оптических инструментов, но с помощью дифференциального или флюксионного исчисления преобразовать геометрию света посредством установления единого метода для решений всех проблем этой науки, выводимых из рассмотрения центрального или характеристического соотношения»**). Для построения законов геометрической оптики достаточно одного представления о прямолинейности распространения света и принципа Ферма. Поскольку в «Теории систем лучей» рассматриваются вопросы геометрии света, постольку Гамильтон совершенно прав, когда говорит : «. . . для образования моего общего метода не является даже необходимым принимать какое-либо частное мнение относительно природы света»***). Этот метод, как мы видим, существенно феноменологичен. Однако эта феноменологичность диктуется самим характером изучаемых проблем, давая возможность наиболее быстрого и простого их охвата; кроме того, развиваемая таким образом теория является необходимым моментом для перехода к физической оптике, имеющей дело с теми или иными гипотезами о внутренней структуре света. Однако именно то, что Гамильтон решает задачи высшей геометрической оптики, очень характерно для его общего подхода к проблемам, лежащим вне чистой математики. Он сам указывает, что его основной целью является «ввести гармонию и единство в размышления и заключения оптики, рассматриваемой как часть чистой науки»****).

То, что для Гюйгенса и Юнга являлось проблемой, для Гамильтона -исходный пункт. Они ставили себе задачу объяснить опытный факт прямолинейного распространения света, выводя его из каких-то причин, скрытых во внутренней природе световых явлений. Гамильтон видит свою задачу не в обяснении этого факта, а в такой его формулировке, которая максимально удовлетворяла бы стремлению к единству и стройности математической схемы. Это не значит, что нельзя пользоваться вспомогательными конструкциями, вроде волновых фронтов, но не следует приписывать им реальность. Все значение этих вспомогательных конструкций состоит в том, чтобы сделать возможной математическую формулировку наблюдаемых соотношений. В этом Гамильтон убедился еще больше, когда в третьем добавлении к своей «Теории систем лучей» показал, что построенный им общий метод геометрической оптики может быть выражен как корпускулярным, так и волновым языком, причем, независимо от принятого аспекта,

весь аналитический аппарат сохраняется, ипри желании все выводы могут быть истолкованы как в терминах волновой, так и в терминах корпускулярной теории.

Основные научные интересы Гамильтона в этот период его жизни концентрировались вокруг таких математических проблем, которые так или иначе были связаны с астрономией. Его работы по оптике были в различной степени связаны с задачей улучшения астрономических наблюдательных средств, его динамические исследования — с задачами движения небесных тел и, особенно, с теорией возмущения. Он не проявлял большого интереса ни к измерительной технике астрономии, ни к отдельным вопросам этой науки. Его интересы не выходили за пределы математической разработки проблем оптики и динамики. Его занятия общей теорией оптически х систем связаны с проблемами изучения оптических свойств астрономическихинструментов. Это видно из простого перечисления названий некоторых его работ*).

Заглавия этих работ показывают, что Гамильтон непосредственно изучал и сам разрабатывал теорию оптических приборов. Долголетняя работа в качестве астронома Ирландии и руководителя Дублинской астрономической обсерватории непосредственно толкала Гамильтона к таким проблемам. В силу же особенностей его таланта деятельность его направлялась не по линии конструктивно-экспериментальной, а по линии теоретико-математической разработки тех или иных оптических проблем, непосредственно или в конечном счете имевших важное практическое значение. Что Гамильтон имел в виду практические интересы, видно из того, какие лучи рассматриваются им в его основной оптической работе «Теория систем лучей». Клейн говорит по этому поводу: «Гамильтон первоначально исходил в своих исследованиях систем лучей из практических запросов оптического приборостроения. Поэтому он рассматривал только такие световые волны, которые исходят из отдельных точек»**).

Қак мы уже отмечали выше, Гамильтон считал, что дедуктивная наука должна развиваться, отправляясь от некоторого обобщения опытных данных. Это обобщение должно характеризовать некоторое наиболее общее, типичное свойство рассматриваемого круга явлений. Соотношение, которое Гамильтон кладет в основу своего исследования, — это принцип Ферма.

Опыт показывает, говорит Гамильтон, что во всех случаях, когда мы имеем дело с распространением света в каких-либо средах при самых разнообразных условиях, траектория луча оказывается подчиненной одному основному соотношению. Это соотношение гласит, что путь распространения света от «одной точки к другой всегда оказывается таким, что если его сравнить с другими бесконечно близкими линиями, при помощи которых могут быть соединены эти точки в мысли и в геометрии, то некоторый интеграл, или сумма, называемый часто «действие» и зависящий по определенным правилам от длины и положения траектории и среды, в которой распространяется свет, меньше всех подобных интегралов для других соседних линий»***).

Центральная идея этого метода — идея характеристической функции для каждой оптической системы лучей. Это характеристическое соотношение, различное для различных систем, таково, что геометрические свойства

системы могут быть выведены из него методом, аналогичным тому, который был изобретен Декартом для алгебраического решения геометрических проблем. Все свойства оптических систем для каждой кривой или поверхности вытекают из основного соотношения. В этой теории устанавливается связь восьми величин, из которых шесть суть координаты двух переменных, оптически связанных точек в пространстве, седьмая есть индекс цвета (index of colour) и восьмая, которую Гамильтон назвал характеристической функцией, есть «действие» между двумя переменными точками. Эта функция называется характеристической, ибо Гамильтон нашел, что в характере зависимости этой функции от семи названных выше величин заключены все свойства оптической системы. Поэтому Гамильтон говорит: «Я рассматриваю все проблемы математической оптики, относящиеся ко всем мыслимым сочетаниям заркал, линз, кристаллов и атмосфер, как сводимые к изучению этой характеристической функции, посредством … фундаментальной формулы»*).

Гамильтон отмечает, что построить общую теорию системы лучей это значит «обобщить изучение одной системы так, чтобы можно было, не изменяя плана, перейти к изучению других и установить общие правила и общий метод для того, чтобы гармонично связывать между собой эти отдельные оптические устройства»**).

Для того чтобы решить эту задачу, надо воспользоваться новой математикой, в первую очередь аналитической геометрией Декарта. Первым применил этөт метод к геометрической оптике Малюс. Однако метод Гамильтона имеет более общий характер. Вводя одну функцию, которая полностью характеризует оптическую систему, Гамильтон указывает: «Функция, которую я… полагаю в основу своего метода дедукции в математической оптике, представлялась прежним авторам в другой связи выражением результата весьма высокой и обширной индукции ; она называется законом наименьшего действия, а иногда принципом наименьшего времени и заключает в себе все, что было до сих пор открыто относительно правил, определяющих форму и положение линий, по которым распространяется свет, и изменений направления этих линий, вызываемых отражением или преломлением, обычным или необычным. Некоторое количество, являющееся в одной теории действием, а в другой — временем, затрачиваемое при переходе от любой одной точки к любой другой, оказывается меньшим, если свет идет своим фактическим путем, а не каким-нибудь иным, или же, по крайней мере, имеет то, что на языке специалистов называется вариацией, равной нулю***).

Мы видим, что Гамильтон рассматривает вводимую им функцию как результат индукции в оптической науке. Эта функция охватывает всю геометрическую оптику. Но важно и другое. Гамильтон уже здесь отмечает в общем виде родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия. Конечно, отсюда еще довольно далеко до построения такой математической схемы, в которой оптика лучей совпала бы с механикой материальной точки. Здесь еще нет ничего принципиально нового, ибо родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия отмечалось и ранее. Лишь в последующее время, когда в разработанной Гамильтоном математической теории совпадут формы уравнений лучевой оптики и механики, определится то, что мы называем оптико-механической аналогией. Но уже в 1827 г. Гамильтон прекрасно

сознает математическую новизну своего метода, подчеркивая, что благодаря этому методу «математическая оптика представляется… в совершенно новом виде, аналогичном тому, в каком Декарт представил применение алгебры к геометрии»*).

Рассмотрим теперь математический метод Гамильтона, с помощью которого он исследовал законы систем лучей.

Если свет проходит через среду, оптическая плотность которой непрерывно изменяется (например земная атмосфера), то траектория луча будет кривой линией. Для определения этой линии надо, согласно правилам вариационного исчисления, исследовать вариацию интеграла $\int vds$, где $v$ — преломляющая сила среды, а $ds$ — элемент траектории; пределы интегрирования фиксированы. Имеем:
$$\begin{array}{l}+\int \frac{y}{i}\{\frac{dv}{d{x}_i}ds+dv\frac{d{x}_i}{ds}\}\delta x_i,\end{array}$$

тде ${\mathit{\alpha }}_i$ — косинусы углов, которые направления луча образуют с осями в конечном положении, ${\alpha }_{0i}$ — те же величины в начальном положении. Поскольку конечные положения фиксированы, то интегралы в правой части (1) обращаются в нуль.

Покажем, что лучи перпендикулярны к некоторым поверхностям (волновым поверхностям), для которых $\int vds$ равен некоторой определенной величине. Лучи исходят из одной точки или поверхности перпендикулярно к ней, и поэтому второй член в правой части (1) исчезает.
Тогда
$$\delta \int vds=v\sum _i^{\prime }{\alpha }_i\delta x_i.$$

Положим вариацию (2) равной нулю, т. е. интеграл равным некоторой постоянной величине; тогда
$$\sum _i^{\prime }{\alpha }_i\delta x_i=0,$$

что и доказывает, что траектория искривленного луча пересекает упомянутую поверхность под прямым углом.

Обозначим $\int vds=V$ для точки $x_i$ и траектории в среде со скоростью $v$; тогда косинусы ${\alpha }_i$ определяются уравнениями
$${\alpha }_i=\frac{1}{v}\frac{\partial V}{\partial x_i}.$$

Здесь $V$ — характеристическая функция Гамильтона, при помощи которой можно вывести все свойства системы лучей, если нам известен вид функции $v$.
Заметив, что $\sum _i{\alpha }_i^2=1$, из уравнения (3) легко получить :
$$v^2=\sum _i{\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\right)}^2.$$

Этой функцией Гамильтон и пользуется во всех своих последующих работах по оптике.

Найденный результат в виде соотношения (2) Гамильтон называет принципом постоянного действия (principle of Constant Action). Название это выбрано им из двух соображений: во-первых, для того, чтобы «отметить

связь с известным законом наименьшего действия», и, во-вторых, «потому что он (принцип постоянного действия. — Л. П.) дает непосредственно дифференциальное уравнение того важного класса поверхностей, которые согласно гипотезе ‘колебаний называются волнами, а согласно гипотезе испускания частиц могут быть названы поверхностями постоянного действия»*).
В этом же добавлении Гамильтон формулирует основной закон:
$$\delta \int vds=\sum _i\frac{\partial v}{\partial {\alpha }_i}\delta x_i$$

и показывает, что соотношение (5) приводит к следующим общим уравнениям луча :
$$\frac{\partial v}{\partial x_i}ds=d\frac{\partial v}{\partial x_i}(i=1,2,3),$$

причем два уравнения (6) определяют третье уравнение.
Эти уравнения непосредственно связаны с уравнениями динамики в форме Лагранжа. В самом деле, заметив, что ${\alpha }_i=\frac{d{x}_l}{ds}$, и обозначив $\frac{d{x}_i}{ds}=x_i$, найдем :
$$\frac{d}{ds}\frac{\partial v}{\partial x_i^{\prime }}-\frac{\partial v}{\partial x_i}=0$$

где $v=v(x_i,x_i^{\prime })$.
Это уравнение имеет ту же форму, что и известные уравнения динамики Лагранжа второго рода, которые являются необходимым условием для существования экстремума интеграла принципа Гамильтона-Остроградского.

Таким образом, уже здесь отчетливо видна связь развиваемой Гамильтоном математической теории систем лучей с механикой.

В третьем добавлении теория характеристической функции достигает большой общности. Здесь $v$ является уже функцией начальных и конечных координат и цветового индекса (Chromatic index), т. е., частоты:
$$v=v(x_i,x_{0i},\chi ).$$

В общем случае элемент криволинейного пути
$$ds=\sqrt{\sum _i{\left(d{x}_i\right)}^2},$$
a
$$v=v(x_i,{\alpha }_i=\frac{d{x}_i}{ds},\chi ).$$

Вариация $v$ равна :
$$\delta v=\sum _i\frac{\partial v}{\partial x_i}\delta x_i+\sum \frac{\partial v}{\partial {\alpha }_i}\delta {\alpha }_i+\frac{\partial v}{\partial \chi }\delta \chi ,$$
$\begin{array}{l}\text{ и так как }\\ \text{ условие }\end{array}{\alpha }_i^2=1$, то производные определятся так, чтобы удовлетворялось условие
$$\sum _i{\alpha }_i\frac{\partial v}{\partial {\alpha }_i}=v,$$
т. е. $v$ — однородная функция первого порядка относительно $a_i$.

Фундаментальная задача математической оптики состоит в определении зависимости $\alpha ,{\alpha }_{0i}$ от $x_i,x_{0i},\chi$. Эта задача решается с помощью основного уравнения, которое Гамильтон называет законом переменного действия:
$$\delta V=\delta \int vds=\frac{\sum }{i}(\frac{\partial v}{\partial {\alpha }_i}\delta x_i-\frac{\partial v_0}{\partial {\alpha }_{0i}}\delta x_{0i}).$$

Вариация $\delta V$ стационарна при распространении света. Это уравнение распадается на шесть уравнений, которые дают искомую зависимость:
$$\frac{\partial V}{\partial x_i}=\frac{\partial v}{\partial {\alpha }_i},-\frac{\partial V}{\partial x_{0}i}=\frac{\partial v_0}{\partial a_{0}i}(i=1,2,3).$$

Основная идея Гамильтона состоит в том, что он рассматривает $V=\int vds$ как функцию граничных точек. Другими словами, после того как значение $V$ вычислено интегрированием выражения $\delta V=0$ при постоянных пределах, он рассматривает $V$ как функцию этих пределов. Функцию $V$ он называет характеристической функцией, а в физике называют $\frac{1}{c}V=c(t-t_0)$ оптическим путем, который является основным понятием в геометрической оптике.

Как кажется с первого взгляда, уравнения (12) требуют для приложения к некоторой системе сред знания формы функции $V$ и вида функций $v$ и $v_0$ (т. е. оптических свойств конечной и начальных сред). Однако, как указывает Гамильтон, сами эти функции среды $v$ и $v_0$ могут быть выведены из характеристической функции $V$. Гамильтон показывает, что если $V$ есть однородная функция ${\alpha }_i$, а для $V$ имеем два уравнения в частных производных

и
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Omega }(\frac{\partial V}{\partial x_i},x_i,\chi )=0\\ {\mathrm{\Omega }}^{\prime }(\frac{\partial V}{\partial x_{0}i},x_{0i},\chi )=0,\end{array}\}$$

то, обозначив
$$\frac{\partial V}{\partial x_i}={\sigma }_i\text{ и }\frac{\partial V}{\partial x_{0i}}={\sigma }_{0i},$$

получим :
$$\frac{{\alpha }_i}{v}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial {\sigma }_i},\frac{{\alpha }_{0i}}{v_0}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial {\sigma }_{0i}},$$

откуда, после простых преобразований, найдем :
$$\frac{d{x}_i}{dV}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial {\sigma }_i},\frac{d{\sigma }_i}{dV}=-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_i}.$$

Родство формы уравнений (13) с уравнениями динамики очевидно: $V$ соответствует интегралу действия Эйлера — Лагранжа, уравнение (13) уравнению живых сил, $\chi$ — некоторой функции полной энергии.

Уравнения (15) имеют форму канонических уравнений динамики и выражают распространение поверхности $V=$ const как касательное преобразование вдоль луча.

Следовательно, развивая метод характеристической функции, мы вновь получили уравнения, имеющие форму уравнений динамики, с той лишь разницей, что раньше были получены уравнения, имеющие форму уравнений Лагранжа, теперь же — канонические уравнения, введенные в динамику Гамильтоном.

С математической точки зрения, переход от системы переменных $x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma$ к системе $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },{\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },{\gamma }^{\prime }$, или переход от одной поверхности к другой, можно рассматривать как преобразование.

Функция $V$ определяет, следовательно, такое преобразование пространства, которое переводит одну произвольную поверхность в другую. Если две первоначальные поверхности касаются в какой-либо точке, то полученные из них преобразованием две поверхности также будут касаться в некоторой точке; сопоставленной первой точке. Поэтому Софус Ли и назвал это преобразование касательным*).

Что же касается практического значения «принципа переменного действия», то Ф. Клейн справедливо указывает, что он «служит не для того, чтобы дать ответ на вопрос о собственных целях, которые преследует природа в оптических процессах, но для того, чтобы ответить на вполне законный вопрос конструктора оптических приборов, как нужно искусственно сочетать эти процессы для получения возможно более совершенного прибора»**).

Раздел 26-й третьего добавления к «Теории системы лучей» Гамильтон посвятил «увязке предшествовавшего взгляда на оптику с волновой (undulatory) теорией света». Как указывает заголовок этого отдела «величины $\sigma ,\tau ,v$ или $\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}$, т. е. частные производные первого порядка характеристической функции $V$, взятые по конечным координатам, представляют собой в волновой теории света компоненты нормальной медленности (normal slowne:s) распространения волн. Фундаментальная формула (11) может быть легко объяснена и доказана согласно принципам этой теории****).

Цель этого раздела состоит в том, чтобы показать правомерность найденных результатов в волновой теории. Все прежние рассуждения базировались на принципе наименьшего действия и развивались в терминах эмиссионной гипотезы. Гамильтон хочет показать, что все аналитические результаты могут быть сохранены. Заметим, что в своем нобелевском докладе Шредингер****) дает следующую характеристику принципа Ферма: «Таким образом, принцип Ферма представляется просто тривиальной квинтэссенцией (курсив Шредингера. — Л.П.) волновой теории». В волновой теории этот принцип находит свое обоснование: «только с точки зрения волновой теории принцип Ферма становится вполне понятным и перестает быть чудом»*****).

С точки зрения волновой теории, $V$ будет временем распространения света данного цвета от источника $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ до точки $x,y,z$ через некоторую комбинацию сред, т. е.
$$V=V(x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },\chi ).$$

Если нормальная волновая скорость $\omega$ задана как функция $\alpha ,\beta ,\gamma$ (направляющих косинусов нормали к волновой поверхности) и $x,y,z,\chi$, то $V$ может быть легко определено. Уравнение волны, имевшей в момент времени $t=0$ координаты $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$, будет
$$V(x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },x)=t.$$

Если эта волна проходит путь $x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z$ за время $t+\delta t$, то
$$\sum \frac{\partial V}{\partial x}\delta x=\delta t$$

и т. д. С другой стороны, очевидно, что
$$\mathbf{y}\alpha \delta x=\omega \delta t,$$

а следовательно,
$$\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{\alpha }{\omega },\frac{\partial V}{\partial y}=\frac{\beta }{\omega },\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{\gamma }{\omega }.$$

Вспоминая, что ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=1$, возводя уравнения (16) в квадрат и складывая их, получим:
$${\{{\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)}^2\}}^{1/2}=\frac{1}{\omega }.$$

Выясним волновой смысл величин ${\sigma }_i$, которые были определены уравнениями
$$\frac{\partial V}{\partial x_i}={\sigma }_i.$$

Величины ${\sigma }_i$ пропорциональны направляющим косинусам нормали к волне, для которой $V=$ const и которая имеет своим уравнением
$$\delta V={\sigma }_i\delta x_i=0.$$

Положим
$$\frac{1}{\sqrt{i}{\sigma }_i^2}=\omega \text{. }$$

Тогха направляющие косинусы выразятся произведением ${\sigma }_i\omega$ и $\omega$ будет нормальной скоростью, потому что бесконечно малое время $\delta V$, в течение которого волна распространяется по нормали на бесконечно малое расстояние $\delta l$ от точки $x_i$ до точки $x_i+{\sigma }_i\omega \delta l$, будет равно
$$\delta V=\sum _i{\sigma }_i{\sigma }_i\omega \delta l=\sum _i\omega \delta l{\left({\sigma }_i\right)}^2=\frac{\mid \delta l}{\omega }.$$

Следовательно, ${\sigma }_i$ можно назвать компонентами нормальной медленности. Отсюда легко выводится основное уравнение теории систем лучей Гамильтона.

Оптика лучей основывается на уравнении, имеющем в прямоугольных координатах вид
$$\sum _i{\left(\frac{\partial \psi }{\partial x_i}\right)}^2-\frac{1}{c^2}{\left(\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)}^2=0,$$

которое является дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка второй степени. В физической оптике, охватывающей явления интерференции и дифракции, основным будет уравнение
$$\sum _i\left(\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_i^2}\right)-\frac{1}{c^2}\left(\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}\right)=0^{\mathrm{\top }},$$

которое является дифференциальным уравнением второго порядка первой степени. Различие между этими фундаментальными уравнениями, таким образом, весьма велико. Однако, как известно, последнее уравнение переходит в первое в предельном случае бесконечно малой длины волны, выражая тем самым переход физической оптики в геометрическую.

Итак, Гамильтон показал, что геометрическая оптика сводится к одному и тому же аналитическому аппарату, независимо от того, пользуемся мы

в физической оптике волновыми или корпускулярными представлениями. Геометрическая оптика есть предельный случай физической оптики. Картины корпускулярная и волновая, вообще говоря, существенно различны, но при исследовании геометрических свойств оптического луча приводят к одним и тем же результатам. Луч может быть истолкован и как нормаль к некоторой волновой поверхности, и как траектория потока световых частиц. Математический формализм теории и в том, и в другом случае один и тот же. Уже в этом заключена идея оптико-механической аналогии.

Қак мы видели, обобщая принцип Ферма, Гамильтон рассматривал $v$ не только какфункцию координат точки $x_i$ и $\chi$, но и как функцию от ${\alpha }_i$ (направляющих косинусов луча по отношению к некоторой особой системе осей кристалла). Это дало ему возможность подойти к проблеме распространения света в двухосных кристаллах. Исследуя волновую поверхность в двухосных кристаллах, Гамильтон дал ясную картину ее геометрической формы и открыл существование четырех плоскостей, касающихся ее вдоль конических сечений.
22 октября 1832 г. Гамильтон представил Ирландской Академии третье добавление к своей «Теории систем лучей». В нем было теоретически пре́дсказано существование внешней и внутренней конической рефракции. Гамильтон немедленно по получении этого результата написал своему другу Г. Ллойду, прося его осуществить соответствующие опыты. После больших затруднений и неудач Ллойду удалось обнаружить предсказанные Гамильтоном явления. 14 декабря того же года Ллойд сообщил Гамильтону запиской, что он, наконец, нашел коническую рефракцию на кристаллах арагонита.

Работы Гамильтона по теории систем лучей остались мало известными на континенте. Одной из основных причин этого является то, что «Transactions» Ирландской Академии в Германии, Франции и России являлся редким и малодоступным журналом. Неумелая и запутанная форма изложения этих работ Гамильтона также не способствовала их распространению. Только постепенно идеи, заключенные в этих работах Гамильтона, становятся известными. В Англии Максвелл*), а в Германии Брунс**) и Ф. Клейн***) в той или иной степени, в связи с работами Гамильтона, продолжали развивать это направление, и впоследствии методы, созданные Гамильтоном, нашли широкое применение в геометрической оптике, теории оптических приборов и электронной оптике.