В связи с развитием термодинамики и молекулярно-кинетической теории тепловых явлений в середине XIX в. перед сторонниками механистического мировоззрения возникла задача свести этот новый круг проблем к механике. В первую очередь речь шла о втором начале термодинамики, которое, с характерной для него и глубоко чуждой классической механике идеей необратимости, вносило новый элемент в физическую картину мира. Первые попытки вывести второе начало термодинамики из механических принципов были сделаны Больцманом*), Клаузиусом**) и Чили***) в 60-70-х годах XIX в. Чили ошибочно полагал, что он вывел второе начало прямо из принципа Гамильтона, в то время как Больцман и Клаузиус видели, что для решения этой задачи надо внести в принцип Гамильтона существенное изменение, которое расширит сам принцип, придав ему, однако, по существу, различный смысл внутри механики и вне ее.

Введя представление о времени прохождения точкой замкнутого цикла $i$ и о фазе движения, а также о средних значениях координат и скоростей, Клаузиус с помощью закона сохранения энергии находит выражение, аналогичное по форме принципу наименьшего действия, с той только разницей, что интегрирование производится от нуля до $i$. Таким образом, здесь предположен замкнутый характер действительного и варьированного движений, не совпадающих ни в одной точке, в то время как в обычном принципе наименьшего действия начальные и конечные точки являются общими.

Для кинетической энергии, которую получила система, Клаузиус далее находит :
\[
E_{\text {кин }}=T \delta \sum m c \ln T_{i},
\]

где $T$ – абсолютная температура, введенная из предположения, что $\frac{m}{2} \bar{v}^{2}=m c T$, а $c$ – некоторая определенная для каждой точки постоянная. Обозначив $A \delta E_{\text {кин }}=\delta Q$, где $A$ – тепловой эквивалент работы, и $A \sum 2 m c \ln T_{i}$ через $S$, напишем $\delta Q=T \delta S$, где $S$ есть та самая величина, которую Клаузиус назвал энтропией; заменив $\delta$ на $d$ и проинтегрировав это уравнение для кругового процесса, получим $\oint \frac{d Q}{T}=0$. Следовательно, при

введенных допущениях о движении и характере варьирования «второе начало механической теории теплоты сводится к общим механическим принципам»*).

Анализ работ Чили (1872-1873 гг.), который считал, что вывел второе начало из принципа Гамильтона без всяких дополнительных допущений, и даже вывел второе начало из первого, показывает, что результаты Чилл ошибочны; Чили не принял во внимание ни характера варьирования, ни того, что, когда $U$ претерпевают изменения, независимые от изменения координат, принцип Гамильтона неприменим, ни того, что при неупорядоченном движении точек нельзя вводить общее время $i$ для всех точек.

Далее, в 1873 г. Клаузиус**), введя канонические переменные и используя вместо принципа Гамильтона принцип наименьшего действия, который менее удобен для целей обобщения механики на тепловые явления, получил выражение, аналогичное второму началу. Однако и в этом случае говорить о прямом выводе второго начала из принципов механики нельзя. Полученные выражения оказались эвристически бесполезными и физически отнюдь не поддаются сколько-нибудь простому и наглядному истолкованию. По существу, идея физики, выводимой из одного (и только одного) единообразно понимаемого принципа, не была реализована, а подменена идеей объединения различных областей физики (в данном случае механики и теории теплоты) с помощ ю одного соотношения, но рассматриваемого с разных, внутренне неувязанных точек зрения. Это означало, что феноменологическая увязка теории теплоты и механики не обогатила физическую картину мира.

В 1866 г. Больцман поставил вопрос о «механическом значении второго начала теории теплоты». Для того чтобы ответить на него, он рассматривал средние значения силовой функции и живой силы системы, в которой движения являются периодическими, и вариации этих средних значений, когда изменяются внешние воздействия на систему. В такой постановке задача, естественно, приводится к принципу Гамильтона. Обобщая принцип Гамильтона, найдем:
\[
2 \delta \int_{t_{0}+\delta t_{0}}^{t_{1}+\delta t_{1}} T d t=\int_{t_{0}+\delta t_{0}}^{t_{1}+\delta t_{1}}(\delta h+\delta V) d t+\mathcal{Y}\left|p_{i} \delta q_{i}\right|_{t_{0}+\delta t_{0}}^{t_{1}+\delta t_{1}},
\]

где $\ddot{V}$ – потенциальная энергия, с которой связаны силы, приложенные к системе для того, чтобы сохранить связи постоянными, а $p_{i}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}}$. Этим уравнением воспользовались в 1871-1872 гг. Чили и Клаузиус; в 1897 г. Больцман вывел его в самом общем виде: теплота, сообщенная системе при некотором переходе, равна сумме приращения внутренней неупорядоченной энергии и упорядоченной работы, произведенной системой. Если этот переход совершается непрерывно и постепенно от момента $t_{0}$ до момента $t_{i}$, то для него выводится формула Больцмана в общем виде :
\[
\Delta Q=\frac{1}{t_{1}-t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta Q d t=\frac{1}{t_{1}-t_{0}}\left[2 \delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t-\Sigma\left|p_{i} \delta q_{i}\right|_{t_{0}+\delta t_{0}}^{t_{2}+\delta t_{1}}\right] .
\]

В случае периодического движения последний член исчезает, $\int_{\tau} T d t=\bar{T} \tau$, где $\bar{T}$ – среднее значение кинетической энергии, $\tau$ – период, и получаем $\Delta Q=\frac{1}{\tau} \delta \int_{\tau} T d t=\frac{1}{\tau} 2 \delta(T \tau)$. Если процесс адиабатический, то $\Delta Q=0$ и $\bar{T} \tau=$ const, т. е. $T \tau$ – адиабатический инвариант. Этот же метод можно применить к изучению условно-периодических систем, которые можно рассматривать как наложение совокупности периодических систем с различными несоизмеримыми периодами.

Такими процессами можно апроксимировать тепловые движения, исследуя их с помощью обобщенного принципа Гамильтона. Найденные аналоги не принесли сколько-нибудь нового и перспективного понимания тепловых явлений, в то время как статистическая механика вскрыла глубокий смысл необратимости в учении о вероятности состояния системы и о флуктуациях, представление 0 которых чуждо классической механике. Однако рассмотренное направление дало ряд результатов, которые обогатили физическую науку: обобщение принципа Гамильтона, теорию циклических систем, понятие об обобщенных вариациях и об условно-периодических движениях. Они нашли немаловажное применение в различных областях физики.

Трудности, возникшие перед физикой, стремившейся свести все многообразие физических явлений к механическому движению, послужили одной из причин назревавшего в конце XIX в. кризиса в физике, выразившегося, в частности, в появлении направлений, проповедовавших отказ от объяснения явлений и переход к чистому описанию. В физике конца XIX в. эту идею провозгласил так называемый энергетизм. Энергетики пытались построить всю физику на основе понятия энергии (исключив вещество с его сложной атомистической структурой), опираясь на закон сохранения энергии и принцип Гамильтона. Больцман подверг критике допущенные энергетиками научные ошибки, а Ленин – их философскую концепцию. Крах «энергетики» показал, что построить физику чисто феноменологически нельзя. Тот факт, что и энергетики, и их противники пользовались принципом Гамильтона, показывает, что один и тот же математический аппарат может служить для оформления различных физических картин. Физическая картина мира может строиться при помощи принципа Гамильтона, но не может быть из него выводима (если не знать заранее, что требуется получить).

В XIX в. идеал Лапласа еще казался осуществимым. Согласно Гельмгольцу, сведе́ние всех физических явлений к действию механических сил является основой полного понимания природы. В 80-х годах XIXв. Гельмгольц*) пришел к выводу, что для решения этой основной задачи нужно использовать принцип наименьшего действия, обобщив его на тот случай, когда лагранжиан есть функция $q$ и $\dot{q}$ любой формы, т. е. отказаться от характерного для механики допущения, что кинетическая энергия есть однородная квадратичная форма скоростей, а потенциальная энергия функция только координат (и времени). Принцип наименьшего действия, по мнению Гельмгольца, представляет собой эвристический принцип для формулирования законов новых классов явлений. Для такого расширения сферы применения принципа необходимо ввести в рассмотрение скрытые движения некоторых недоступных нашему наблюдению масс. Клаузиус пытался решить ту же проблему, введя гипотезу об изменении законов природы, происходящем по определенным законам. Однако установление

такой иерархии законов создает новые трудности для науки. Гельмгольц же строит механические модели, которые могут иметь свойства, аналогичные тепловым процессам. Таким аналогом могут служить циклические системы, т. е. такие, свойства которых не зависят от абсолютной величины координат, а зависят только от скорости их изменения. Поэтому основной проблемой является построение лагранжиана (по терминологии Гельмгольца-кинетического потенциала) для подобных систем. Центральную роль играет в этой проблеме кинетический потенциал, в который скорости входят линейно. В ряде статей и основной работе «О физическом значении принципа наименьшего действия» Гельмгольц с помощью кинетического потенциала и представления о скрытых движениях пытался охватить единой механической схемой термо- и электродинамику. Выведя значение преобразованного кинетического потенциала
\[
L=\tilde{L}-\frac{y_{b}}{\prime} c_{b} \dot{q}_{b},
\]

где $c_{b}$– постоянные, представляющие неизменяющиеся моменты циклического движения, а $\widetilde{L}$ зависит от $q_{a}$ и $\dot{q}_{a}$, определяющих положение и скорость цикла в целом, и в отличие от $L$ вместо координат отдельных точек $q_{b}$ содержит также $q_{a}$ и $\dot{q}_{a}$, через которые они теперь выражены. Таким образом, в $L$, кроме квадратичной функции, входят члены 之’ $c_{b} \dot{q}_{b}$, которые, после подстановки в них решения для $q_{b}$, содержат скорости $\dot{q}_{a}$ в первой степени. Это и есть основная особенность циклических систем. Очевидно, что $\tilde{L}$ останется неизменным при изменении направления процесса на обратное (при перемене знаков $\dot{q}_{a}$ ), а для движения, характеризуемого кинетическим потенциалом $L$, получится новый кинетический потенциал и, следовательно, другое дифференциальное уравнение. Процесс необратим. Однако наблюдаемых циклических движений недостаточно для объяснения необратимых движений. Поэтому Гельмгольц допускает, что существуют скрытые циклические движения (примером их может служить движение системы из быстро вращающегося шара, заключенного в непроницаемую оболочку, которая является также опорой оси вращения).

Рассматривая взаимоотношения между силами, действующими одновременно на систему в различных направлениях, и соответствующими им скоростями и ускорениями, Гельмгольц*) с помощью выражения кинетического потенциала и уравнений Лагранжа выводит законы взаимности между силами и ускорениями, силами и скоростями, силами и координатами. Так, например, $\frac{\partial F_{a}}{\partial \ddot{q}_{c}}=\frac{\partial F_{c}}{\partial \ddot{q}_{a}}$, где $F_{a}, F_{c}$ – силы, действующие на $q_{a}$ и $q_{c} ; \ddot{q}_{a}, \ddot{q}_{c}$ – соответствующие ускорения. Если определенное приращение $\ddot{q}_{c}$ увеличивает силу $F_{a}$, то равное приращение $\ddot{q}_{a}$ увеличит силу $F_{c}$ в том же отношении. Эти соотношения взаимности интересны тем, что они приложимы и к немеханическим явлениям. Гельмгольц получает из них электродинамический закон Ленца, закон термоэлектрического эффекта и ряд других.

Гельмгольц исследовал также вопрос о том, какая форма кинетического потенциала требуется электродинамикой Максвелла.

Стремление устранить из физики понятие потенциальной энергии является характерной особенностью кинетического направления в физике второй половины XIX в. В 1883-1888 гг. Дж. Дж. Томсон**) использовал полу-

ченные Раусом в механике результаты для того, чтобы показать, что различные виды потенциальной энергии, наблюдаемые в природе, могут рассматриваться как наблюдаемый эффект скрытых движений. Исходя из убеждения, что итоги развития физики за предшествующие пятьдесят лет показывают объяснимость всех физических явлений динамическими принципами, Дж. Томсон ставит перед собой задачу с помощью принципа Гамильтона и уравнений Лагранжа исследовать различные физические явления без использования второго начала термодинамики. Преимущество такого подхода – в фундаментально-обобщающем характере его; трудность – в том, что в каждом отдельном случае требуется дальнейшее исследование для перевода физических величин на язык механических понятий, т. е. необходим некоторый критерий для установления того, является ли та или иная физическая величина координатой или ее производной. Используя тот факт, что применение принципа Гамильтона не требует знания природы механизма исследуемых систем, Дж. Томсон развивает кинетическую концепцию потенциальной энергии.

Пусть в $T$ некоторые координаты $q_{j}$ входят только в виде $\dot{q}_{j}$ и нет выражений вида произведений $\dot{q}_{i} \dot{q}_{j}$, тогда для $s=i$
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=0, \\
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}^{-}}=c_{j} .
\end{array}
\]
\[
\text { а для } s=j
\]

Исключим теперь $\dot{q}_{j}$. Этот важный шаг был сделан впервые Раусом. Координаты $q_{j}$ Дж. Томсон назвал киностеническими, У. Томсон и П. Тэт игнорируемыми координатами, Гельмгольц дал этим явлениям наименование скрытых движений. По исключении $\dot{q}_{j}$ величина $T$ перейдет в $T$ и
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \tilde{T}}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial \tilde{T}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial}{\partial q_{i}} \Sigma c_{j} q_{j}
\]

где правая сторона-функция только $q_{i}$. Если рассматривать правую сторону как силовую функцию $U$, то можно объяснить появление силовой функции чисто кинетическим способом и свести, таким образом, потенциальную энергию к кинетической энергии «игнорируемых» масс. С точки зрения Дж. Томсона, вся энергия – кинетическая, все члены в уравнениях Лагранжа выражают кинетическую энергию и вопрос только в том, создается ли эта кинетическая энергия изменением обычных или игнорируемых координат. Глубокая идея объяснения всех явлений свойствами материи в движении ограничена у Дж. Томсона представлением о том, что это движение является механическим, и именно к нему сводятся все другие виды наблюдаемых изменений.
М. Планк утверждал, что объединение различных областей физики в единое целое может быть выполнено с помощью принципа Гамильтона. С точкі зрения М. Планка*), развитой им в первой четверти XX в., общим принципом всех обратимых процессов является принцип наименьшего действия, который лежит в основе построения единой физической картины мира, так как он совершенно симметрично заключает в себе четыре мировые координаты и инвариантен при всех лоренцовых преобразованиях. Принцип наименьшего действия возник в механике, но сфера его применимости охватывает термодинамику и электродинамику. Поэтому задача объединения

теоретической физики должна решаться с его помощью, для чего надо рассмотреть случаи, когда конфигурация системы определяется конечным числом координат, а также те, в которых координаты состояния системы представляют собой непрерывное многообразие. В первом случае принцип Гамильтона дает :
\[
\int_{t_{9}}^{t_{1}} d t \Sigma\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \delta \dot{q}_{i}+\Phi_{i} \delta q_{i}\right)=0,
\]

где $\Phi_{i}$ – слагающие внешних сил по координатам, а во втором
\[
\int d t\left[\int d \tau \cdot \rho \dot{\Sigma}_{i} \delta \dot{q}_{i}-\int d \tau\left(\frac{\partial f}{\partial x_{x}} \delta x_{x}+\frac{\partial f}{\partial x_{y}} \delta x_{y}+\ldots\right)+\int d \sigma \Sigma \Phi_{i} \delta q_{i}\right]=0,
\]

где $d, d \sigma$ – соответственно элементы объема и поверхности, $p$ – плотность, $f$ – некоторая однородная функция второй степени, представляющая потенциальную энергию единицы объема, а $x_{x}=\frac{\partial q_{1}}{\partial x}, \ldots$ – величины деформаций. Важнейшим вопросом является применение принципа Гамильтона к термодинамическим процессам. В этом случае переменными будут $p, V, T, S$ и изменение энергии (или полной работы) $A=-p \delta V+T \delta S$, которое надо сопоставить с общим выражением $A=\Phi_{1} \delta q_{1}+\Phi_{2} \delta q_{2}$. Примем $V$ и $\mathcal{S}$ за координаты, а $p$ и $T$ будут как бы слагающими сил $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$. Так как термодинамическое обратимое изменение состояния протекает бесконечно медленно, то $\dot{V}, \dot{S}$ и т. д. можно положить равными нулю и из принципа Гамильтона получим :
\[
\Phi+\frac{\partial L}{\partial q}=0
\]

или
\[
-p+\left(\frac{\partial L}{\partial V}\right)_{S}=0, \quad T+\left(\frac{\partial L}{\partial S}\right)_{V}=0,
\]

а так как из $E=\Sigma^{\prime} \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-L$ следует в данном случае $E=-L$, где $E-$ полная энергия, то написанное уравнение есть измененная запись уравнения $d S=d E+p \frac{d V}{T}$.

Рассмотренный выше метод исследования термодинамических явлений Гельмгольца имеет совершенно иной смысл. У него координата $V$ сохраняется, а вместо $S$ вводится некоторая циклическая координата $\varepsilon$, входящая в выражение $L$ только в виде $\dot{\varepsilon}$; эта производная представляет температуру, следовательно, $L=L(V, T)$ и $A=-p \delta V+E \delta \varepsilon$, откуда на основании принципа наименьшего действия получим:
\[
-p+\left(\frac{\partial L}{\partial V}\right)_{T}=0, \quad E-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{V}=0
\]

или
\[
d\left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{V}=E d t, \quad \text { и } \quad\left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{V}=S
\]
(произвольная постоянная, равная нулю).
Так как $E=\dot{\varepsilon} \frac{\partial L}{\partial \dot{\varepsilon}}-L=T \frac{\partial L}{\partial T}-L$, то $L=-(E-T S)$, т. е. $L$ противоположно по знаку свободной энергии системы. Позиция Гельмгольца по сравнению с точкой зрения Планка имеет то принципиальное преимущество, что тепловая энергия рассматривается им как движение некоторых масс, а слабость ее в том, что эти массы – скрытые, ненаблюдаемые.

Развитие электродинамики в XIX в. поставило перед механистической концепцией физики еще более трудную проблему, чем развитие теории теплоты, так как здесь наряду с частицей или ансамблем частиц впервые возникла проблема непрерывного поля.

Функция Лагранжа $L=L(q, \dot{q}, t)$ представляет собою функцию времени и функционал от возможных траекторий $q_{i}(t)$ частиц системы. По аналогии можно предположить, что функция Лагранжа для поля является функционалом от амплитуды $\psi(\boldsymbol{r}, t)$. Обычно ее представляют в виде интеграла от плстности лагранжиана, взятого по всему пространству:
\[
L=\int \tilde{L}(\psi, \operatorname{grad} \psi, \dot{\psi}, t) d V,
\]

где появление $\operatorname{grad} \psi$ в аргументе $\widetilde{L}$ обязано тому обстоятельству, что поле имеет несчетно большое число степеней свободы и $\psi$ непрерывно зависит от $\boldsymbol{r}$. Так как обычно предполагается, что лагранжиан зависит от функций поля и их производных не выше первого порядка, то соответствующие уравнения оказываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Для свободных полей на лагранжиан налагается требование линейности и однородности уравнений этих полей. Қ этим уравнениям приводят лишь лагранжианы, квадратичные по функциям поля и их производным. Эти условия в совокупности с релятивистской инвариантностью и трансформационными свойствами функций поля определяют лагранжиан с точностью до коэффициентов. Если исходить из вариационной задачи, то уравнения Эйлера-Лагранжа должны быть именно уравнениями поля.

Продолжая классическую традицию английской физики У. Томсона, Фарадея Мак-Куллоха, Максвелла, которые шли по пути построения физических (механических) моделей на основе аналогии, Лармор*) в конце XIX в. также ставит перед собой задачу сведе́ния всего многообразия явлений к динамическим принципам. Он считает центральной задачей разработку идеи о каком-либо определенном характере связи между эфиром и веществом. Для этой цели он воспользовался принципом наименьшего действия, который, по его мнению, позволяет свести к динамике такие физические теории, внутренний динамический механизм которых скрыт от непосредственного наблюдения. Аналогичную точку зрения на проблемы электродинамики развивал ранее Гельмгольц. Лармор находит классический вид лагранжиана и, воспользовавшись определением величин $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ и тем, что полная энергия системы связана с $L$, выводит уравнения Максвелла. Легко доказать, идя несколько иным путем, что уравнения
\[
\operatorname{div} \varepsilon \boldsymbol{E}=4 \pi \rho, \quad \text { rot } \boldsymbol{H}=\frac{\partial}{\partial t} \varepsilon E+4 \pi \boldsymbol{J}
\]

и вариационные принципы в форме $\delta \int L d t$ эквивалентны четырем уравнениям Максвелла.

Подобрав лагранжиан, соответствующий заранее известному виду выражения электрической и магнитной энергии, Лармор получает уравнения Максвелла. Зададим лагранжиан в виде
\[
L=F-e \Phi+e \sum A_{i} \frac{\dot{x}_{i}}{c},
\]

где $\Phi, \boldsymbol{A}$ – скалярный и векторный потенциалы, $e$ – заряд частицы, $c$ скорость света, а $F=m_{0} c^{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\right)$; тогда для гамильтоновой функ-

ции $H$ получим выражение
\[
H=c \sqrt{\sum\left(p_{i}-\frac{e A_{i}}{c}\right)^{2}+m_{0} c^{2}}-m_{0} c^{2}+e \Phi .
\]

Таким образом, канонические уравнения Гамильтона применимы к задаче движения заряда в электромагнитном поле, но, в отличие от динамики, $H$ уже не является однородной квадратичной функцией моментов, даже в нерелятивистском приближении.

Принцип Гамильтона применим к описанию явлений в любом поле, отличающемся от обычной задачи динамики тем, что в последней есть одна независимая переменная $t$ и несколько зависимых переменных $q_{i}$, в то время как в случае поля $q_{i}$ и $t$ являются независимыми переменными, а величины, характеризующие поле, являются зависимыми переменными. Поле и заряженные тела образуют систему, подчиняющуюся гамильтоновой динамике.

В начале XX в. Г. Ми*) развил точку зрения, аналогичную позиции Лармора. Он, как и ряд других физиков, представлял себе единую картину мира как картину одной формы движения. В этом смысле электромагнитная картина ничем не отличается от механической. И та, и другая не отражают реальной структуры материального мира.

Анализ характерного для развития физики XIX в. метода построения моделей всех немеханических явлений на основе механических аналогий был дан в 90 -х годах XIX в. Г. Герцем и А. Пуанкаре. Герц пришел к выводу, что бесконечно много физических совершенно различных систем могут быть моделями одной и той же системы и каждая система есть модель бесконечно многих, совершенно различных систем. Таким образом, механистическая картина мира не однозначна. К таким же выводам пришел А. Пуанкаре, исходя из рассмотрения механических моделей, которые строятся с помощью принципа Гамильтона. Таким образом, механистическое объяснение не выполняет своей главной задачи, так как оно не позволяет сделать скольконибудь однозначный вывод о сущности явлений природы. Это – необходимое следствие немеханической сущности явлений природы и фактически окончательное падение механицизма. Впрочем, как это часто бывает, исторически он пережил сам себя. А. Пуанкаре делает отсюда идеалистические выводы, которые подверг глубокой и справедливой критике В. И. Ленин.

Итак, можно сказать, что в классической теории теплоты и в классической теории поля вариационные принципы использовались либо для реализации попыток механического или электромагнитного объяснения всех физических явлений, либо для феноменологического объединения их законов в одной математической форме.