Говоря в этой статье о принципе наименьшего действия, я хотел бы, чтобы под этим понимали не только первоначальную форму этого принципа, принадлежащую П. де Мопертюи*), которая, между прочим, лишь много позже (это сделал Лагранж) получила точное определение условий варьирования и полное доказательство. Я хочу под этим названием, как самым старым и наиболее известным, понимать также различные преобразованные формы этого предложения, которые были развиты из принципа Мопертюи У. Гамильтоном**) [152]. Последний составил два дифференциальных уравнения, которые, как показал К. Якоби, могут быть объединены в одно ; эти уравнения служат исходным пунктом упомянутых выше, а также многих других возможных преобразований, причем физические предположения, лежащие в основе расчетов, совершенно не меняются.

Названные исследователи сначала применили принцип наименьшего действия лишь к механике весомых тел и представляли при помощи этого принципа либо движение системы совершенно свободных материальных точек, либо системы материальных точек, подчиненных жестким связям. Физические предположения, из которых они исходили, в основном заключались в законах движения Ньютона и том способе, каким обычно в механике в соответствии с опытом определяли действие неизменяемых связей, наложенных на материальные точки. Однако позже, когда научились правильно обращаться с интегралом Мопертюи, выяснилось, что нужна также предпосылка о справедливости закона сохранения энергии***). Сначала это казалось существенным ограничением области пригодности принципа наименьшего действия, пока новейшие физические исследования не показали, что закон сохранения энергии имеет всеобщую значимость, так что упомянутое кажущееся ограничение на деле ничего не ограничивает. Нужно только для исследуемого явления знать полностью все формы, в которых проявляются эквиваленты энергии, чтобы включить их в расчеты. С другой стороны, казалось спорным, могут ли быть подведены под принцип наименьшего действия другие физические процессы, которые не сводятся непосредственно к движению весомых масс и ньютоновым законам, процессы, в которых, однако, фигурируют известные количества энергии.

В качестве формы принципа наименьшего действия, наиболее удобной для исследований, которые я намерен изложить, я изберу одну из гамиль-

тоновых форм, которая допускает, что на соответствующую механическую систему, кроме внутренних, исключительно консервативных сил, действуют также внешние силы, зависящие от времени; работа этих внешних сил должна быть подсчитана особо. Если обозначить через $F$ потенциальную энергию системы, через $L-$ ее живую силу, то функция (гамильтонова главная функция), временной интеграл которой при нормальном движении между крайними положениями принимает экстремальное значение, будет
\[
H=F-L,
\]

в то время как энергия системы
\[
E=F+L .
\]

Здесь $F$ зависит только от координат, а $L$ есть однородная функция второго порядка от скоростей.

Функция $H$ есть та самая функция, через производные которой Лагранж выразил силы, которыми движущаяся система действует на внешние тела. Ввиду того, что функция $H$ играет важную роль во всех относящихся сюда задачах, я хотел бы именно вследствие указанной ее связи с силами предложить для нее название кинетического потенциала. В различных разделах физики предложен целый ряд соответствующих названий. Сюда относится потенциал двух электрических токов Ф. Е. Неймана, электродинамический потенциал Р. Клаузиуса*); Дж. У. Гиббс**) называет в термодинамике ту самую функцию, которую я называю свободной энергией, силовой функцией для постоянной температуры, тогда как П. Дюгем***) называет ту же функцию термодинамическим потенциалом. Таким образом, имеется достаточно прецедентов для выбора нового названия.

Принцип наименьшего действия может быть тогда высказан в следующей форме :

Среднее значение кинетического потенциала, подсчитанное для одинаковых элементов времени и взятое со знаком минус, является минимальным на действительном пути системы по сравнению со всеми другими соседними путями, которые приводят за одно и то же время из начального положения в конечное. Для покоя кинетический потенциал переходит в значение потенциальной энергии (или потенциала в прежнем смысле слова). В этом случае нет надобности брать среднее значение, так как различные при движении значения делаются здесь равными между собой. Для покоя наш закон говорит просто, что потенциальная энергия при равновесии должна иметь минимум ****).

Якоби показал, что функция $H$ может содержать время также explicite, не делая невозможным образование вариации и вытекающего отсюда дифференциального уравнения. Я использовал это, чтобы добавить к $H$ еще сумму $\Sigma\left(P_{i} \cdot p_{i}\right)$, в которой $p_{i}$ обозначает координату, а $P_{i}$ – силу, действующую в направлении координаты $p_{i}$; смысл этого будет точнее разъяснен ниже. Величины $P_{i}$ рассматриваются как заданные функции времени, однако независимые от координат. В этой форме теорема о минимуме вариации дает уравнения Лагранжа для сил $P_{i}$. Тем самым целый ряд специаль-

ных исследований, основанных на уравнениях Лагранжа, оказывается подведенным под несколько видоизмененный принцип наименьшего действия. Там, где нужно отличать этот видоизмененный принцип от первоначального, я буду называть его законом минимума отрицательного кинетического потенциала.

Форма уравнений движения, данная Лагранжем, важна именно потому, что мы можем ее применить ко всем случаям, в которых участвуют различные, еще не облеченные в математическую форму процессы, как-то: трение, гальваническое сопротивление $\left[{ }^{153}\right]$ и т. д., и где между этими силами и консервативными силами системы, входящими в формулу Лагранжа, должно иметь место равновесие.

Из других эквивалентов работы здесь подлежат рассмотрению наряду с потенциальной и кинетической энергиями весомых масс также термические, электродинамические и электромагнитные эквиваленты. Движение тепла до сих пор рассматривалось во всяком случае как особенно сложный случай движения весомых атомов. Но так как нагретые тела одновременно излучают волны в эфире, то это ограничение, которое при простейших допущениях позволяет на самом деле вывести закон Карно, как это показали Клаузиус*) и Больцман**), может рассматриваться лишь как гипотеза, достаточная на первых порах ; действие других сил, например электродинамических, не может быть с уверенностью исключено.

С другой стороны, то, что известные законы обратимых процессов могут быть фактически выражены в форме уравнений Лагранжа, а следовательно, и в форме теоремы минимальности кинетического потенциала, я доказал в моих статьях о статике моноциклических движений***). Но при этом обнаруживается, что температура, которая измеряет интенсивность термического движения, входит в функцию, подлежащую интегрированию, в значительно более сложной форме, чем та, в которой скорости входят в выражение кинетической энергии весомых систем. В вышеупомянутых статьях я показал, что подобные формы при известных ограничивающих предположениях могут возникать путем исключения некоторых координат и для систем весомых масс, так что появление таких, более сложных форм не находится в противоречии с возможностью применения лагранжевых уравнений движения. Однако, если хотят изучать общие свойства систем, подчиняющихся принципу наименьшего действия, необходимо отбросить старое, более узкое предположение, согласно которому скорости входят только в выражение живой силы и притом в форме однородной функции второй степени: надо исследовать, как будет обстоять делю, если $H$ есть функция любого вида от координат и скоростей.

Экспериментальные подтверждения того факта, что и химические силы, когда мы можем их принудить работать обратимым образом, подчиняются закону Карно, могут быть получены, правда, пока в очень небольшом числе случаев, но эти случаи тем более примечательны, что в них мы устанавливаем количественные зависимости между процессами, казалось бы, совершенно различной природы****).

Наконец, наблюдения над электромагнитными и электродинамическими дальнодействиями замкнутых электрических токов привели к выражениям для пондеромоторных и электромоторных сил, которые во всяком случае примыкают к выражениям, которые Лагранж дал для механики весомых тел. Первым, кто дал такую формулировку для законов электродинамики, был Ф. Нейман *) (старший). Электрические токи, т. е. количество электричества, которое в единицу времени проходит через элемент поверхности, ограниченный материальными частицами проводника, рассматриваются им как скорости. Позже В. Вебер и Клаузиус дали другие формы, в которых вместо скоростей тока фигурируют относительная или абсолютная скорости количеств электричества в пространстве. Для замкнутых токов следствия из этих разных формулировок во всем совпадают. Они оказываются различными для незамкнутых токов. Накопленные в этой области факты показывают, что закон Неймана недостаточен, если, применяя его, принимать в расчет только движение электричества, происходящее в проводнике. Нужно, кроме того, принять во внимание также рассмотренные Фарадеем и Максвеллом движения электричества в изоляторах, которые имеют место при возникновении или при исчезновении в них диэлектрической поляризации. Если таким путем расширить закон Неймана, то под него подойдут и экспериментально изученные до сего времени действия незамкнутых токов.

Однако и здесь имеется различие в форме функций по сравнению с функциями для весомых масс. Для электродинамических явлений скорости электричества входят в функцию второй степени, коэффициенты ксторой, однако, даже при переходе к прямоугольным координатам не делаются постоянными в отличие от того, что имеет место для масс в выражснии кинстической энергии весомых систем. Наконец, коль скоро в действие вступают постоянные магниты, появляются линейные функции скоростей.

Как раз исследования формы кинетического потенциала, требуемой максвелловой теорией электродинамики [154], привели меня к настоящим предварительным рассуждениям.

Наконец, и учение о свете во всех основных вопросах может быть согласовано с гипотезой о том, что эфир является средой со свойствами, подобными свойствам твердого упругого весомого тела. Известные трудности в теории отражения и преломления еще легче преодолеваются, если исходить из максвелловой электромагнитной гипотезы. Можно быть того или другого мнения, но нужно признать годность принципа наименьшего действия для светового движения, по крайней мере, поскольку его явления объясняются указанными теориями.

Отсюда ясно уже теперь, что область применимости принципа наименьшего действия расширилась далеко за пределы механики весомых тел и что большие надежды Мопертюи на его всеобщность приближаются, как кажется, к осуществлению, как бы ни были скудны механические доказательства и как бы ни были полны противоречий метафизические умозрительные рассуждения, которые сам автор сумел привести в пользу своего нового принципа.

Уже теперь можно считать вероятным, что этот принцип является общим законом для всех обратимых естественных процессов, что же касается необратимых процессов, как, например, возникновение и распространение тепла, то эта необратимость заключается не в сущности предмета, а только лишь

в ограниченности наших средств, которые не позволяют нам вновь упорядочить беспорядочные атомные движения или изменить направление движения всех атомов, охваченных тепловым движением, на точно противоположное первоначальному.

Во всяком случае, мне кажется, что всеобщая значимость принципа наименьшего действия настолько не подлежит сомнению, что он может претендовать на большую роль в качестве эвристического принципа и путеводной нити в исканиях формулировок для законов новых классов явлений.

У этого принципа имеется преимущество, которое заключается в возможности объединить в узких рамках одной формулы все условия, влияющие на изучаемый класс явлений, и таким образом окинуть взглядом все существенное в них.

При таком положении вещей я счел нужным рассмотреть доказательство обобщенного принципа и общие выводы. Этот обзор может быть весьма кратким в тех частях, где речь идет о применении уже известных методов при несколько расширенных допущениях. При этом я старался выделить именно те следствия, которые относятся к условиям, доступным наблюдению, и которые, будучи сформулированы, способны служить признаком пригодности принципа в соответствующей области.

В § 1 изложена теорема о минимуме кинетического потенциала при самых широких предположениях о природе функции $H$ и из этой теоремы выведены уравнения движения в форме Лагранжа. Здесь же обсуждены те изменения, с помощью которых эти обобщенные формы могут быть применены к изучению системы подвижных тел.

В § 2 из нашей формы принципа выводится закон сохранения энергии и показывается, как можно определить значение энергии из значения кинетического потенциала. Мы имеем
\[
E=H-\sum_{i}\left(q_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right),
\]

где $q_{i}$ – скорости. При этом обнаруживается, что, наоборот, не в каждом случае, в котором установлено постоянство энергии, имеет силу и принцип наименьшего действия. Последний, стало быть, высказывает больше, чем первый, и нашей задачей является установить, в чем именно заключается эта разница. Одновременно с этим приводятся некоторые конкретные механические и физические процессы, с тем чтобы их можно было использовать в качестве примеров, поясняющих содержание как двух первых параграфов, так и последующих, и тем самым сделать более наглядным значение принципа.

В § 3 изложен разбор противоположной задачи, а именно задачи о том, как вывести $H$ из $E$. Это достигается интегрированием вышеприведенного дифференциального уравнения, что вводит, следовательно, произвольные постоянные интегрирования, которые должны быть однородными функциями первой степени от $q_{i}$. Этот шаг имеет то значение, что после него оказывается возможным, зная полностью зависимость энергии от координат и скоростей, найти кинетический потенциал и вместе с тем определить все движение системы в предположении, что имеет место принцип наименьшего действия. Члены, линейные относительно $q_{i}$, соответствующие «скрытым движениям», большей частью определяются без затруднений.

В § 4 рассматриваются соотношения взаимности между силами, которыми система действует на окружающие тела, с одной стороны, и ее ускорениями и скоростями – с другой. Среди этих соотношений много в высшей степени интересных зависимостей между физическими явлениями, например:

связь между электромагнитными и электродинамическими законами Ампера, с одной стороны, и законом индукции – с другой ; ряд термодинамических законов, например связь между увеличением давления, вызванным повышением температуры, в замкнутом объеме и повышением температуры в результате сжатия; аналогичные факты при термоэлектрических и электрохимических процессах. Наконец, можно доказать, что принцип наименьшего действия пригоден всякий раз, когда имеют место перечисленные в § 4 соотношения взаимности между силами. Но это доказательство я откладываю до более позднего сообщения.

В § 5 коротко повторяются теоремы Гамильтона в общей форме, а в § 6 даются вытекающие отсюда законы взаимности для изменений в прямом и обратном движениях, возникающих в системе в результате небольших толчков. Здесь мы встречаемся с соотношениями взаимности в области звука и света, которые я доказал, но только для покоящихся систем, в своих более ранних работах.

Наконец, в § 7 вместо скоростей вводятся количества движения, что дает новую форму вариационной задачи, а также, наряду с уже известными измененными представлениями сил, дает другой закон взаимности прямого и обратного движений.