Обычная нерелятивистская динамика имеет дело с состоянием динамической системы в определенный момент времени, заданным значениями $q$ и $p$. С помощью уравнений движения можно, зная состояние в один момент времени, вычислить состояние в другой момент времени. Такие уравнения движения, записанные в гамильтоновой форме с однородными скоростями, требуют только $\mathrm{\Phi }$ первого класса. Чтобы построить динамическую теорию, необходимо ввести систему уравнений, допускающую наблюдателей с любыми скоростями, причем каждому наблюдателю ставится в соответствие момент времени. Под моментом мы подразумевали трехмерную гиперплоскость в пространстве-времени с нормалью внутри светового конуса. Момент времени задают, таким образом, четырьмя параметрами: тремя направляющими косинусами нормали гиперповерхности или скорости наблюдателя и четвертым параметром, позволяющим различать моменты для одного и того же наблюдателя.

С помощью релятивистской динамики можно, исходя из данного состояния в любой момент времени, построить новое состояние, соответствующее новому моменту времени. Зависимость динамических переменных от момента времени задается уравнением движения. Уравнения движения должны допускать произвольные движения момента, как параллельные переносы в пространстве-времени, так и изменения направления его нормали. Таким образом, первые четыре $\mathrm{\Phi }$ первого класса должны задать четыре свободных движения момента. Эти четыре параметра должны подчиняться уравнениям (17) или (33) как обычные динамические переменные $q$ и $p$, но в отличие от других $q$ и $p$ их удобно использовать в качестве $t$-переменных уравнения (48), описывающих изменение $q$ и $p$ с изменением момента времени. Другие формы релятивистской динамики, не включающие понятие момента, обсуждались ранее автором ${}^{\ast })$.

В этой работе состояние задается точкой в пространстве-времени. В этом формализме также использованы четыре $\mathrm{\Phi }$ первого класса, задающие четыре свободных движения фронта [236]. Наконец, мы можем задать состояние динамической системы на трехмерной, пространственно-подобной гиперповерхности. Деформации этой гиперповерхности задаются бесконечным множеством $\mathrm{\Phi }$ первого класса. В каждом из этих формализмов переменные, описывающие точку, фронт или пространственно-подобную гиперповерхность, рассматриваются как $q$, подчиняющиеся уравнениям (17) или (33) и могут быть использованы как $t$-величины в уравнениях (48). Рассмотренные выше $\mathrm{\Phi }$ первого класса — наименьшая возможная система, необходимая для построения релятивистской динамики в одной из рассмотренных выше форм. Возможны также и другие $\mathrm{\Phi }$. Так, например, в электродинамике, допускающей градиентные преобразования, существуют дополнительные степени свободы, которые требуют введения дополнительных $\mathrm{\Phi }$ первого класса.