В своей очень интересной статье «О физическом значении принципа наименьшего действия» Г. Гельмгольц*) называет взятый по времени интеграл $\frac{1}{t} \int_{0}^{t}(F-L) d t$, где $F$ и $L$ означают потенциальную энергию системы и ее живую силу, «средним значением кинетического потенциала» и устанавливает следующий принцип: «Среднее значение кинетического потенциала на действительном пути системы есть минимум сравнительно со значениями его на других близких путях, которые приводят систему в по же время из того же начального в то же конечное положение». По моему мнению, среднее значение кинетического потенциала в этом случае имеет не минимум, а максимум. Это можно доказать следующим образом. Займемся для простоты случаем одной только материальной точки (с двумя или тремя степенями свободы) и сравним ее действительное движение по пути $a b c$ с другим, воображаемым, кинематически возможным, которое происходит по пути ahc за то же время (см. рисунок). Возьмем на пути ahc какую-нибудь точку $е$ и определим такое действительное движение нашей материальной точки, при котором она по пути $a$ приходит из $a$ в $e$ в то же время, как при воображаемом движении по пути ahe. Если точку е мы будем постепенно перемещать от $a$ к $c$, то путь ае будет изменяться, начиная с бесконечно малого пути и кончая путем $a b c$. Предположим, что материальная точка за бесконечно малый промежуток времени $d t$ переходит в воображаемом движении из $e$ в $d$, а в действительном движении по пути $a g$ из $f$ в $g$. Так как действительные движения по пути $a f$ и аe происходят за один и тот же промежуток времени, то на основании принципа Гамильтона мы получим
\[
\int^{a b}(F-L) d t-\int^{a f}(F-L) d t=-m v \cos \alpha d \sigma,
\]

где $m$ – масса материальной точки, $v$ – ее скорость в точке $f, d \sigma$ – бесконечно малая линия ef и $\alpha-$ угол $g f e$. Положив $f g=d s$ и $e g=d l$, мы из бесконечно малого треугольника $\operatorname{efg}$ найдем
\[
d l^{2}=d s^{2}+d \sigma^{2}-2 d s d \sigma \cdot \cos \alpha .
\]

Отсюда получается неравенство
\[
\frac{m}{2}\left(\frac{d t}{d t}\right)^{2} d t>\frac{m}{2}\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2} d t-m \frac{d s}{d t} d \sigma \cdot \cos \alpha,
\]

которое на основании вышенаписанной формулы переходит в следующее:
\[
\frac{m}{2}\left(\frac{d l}{d t}\right)^{2} d t>\frac{m}{2}\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2} d t+\int^{a b}(F-L) d t-\int^{a f}(F-L) d t .
\]

Прибавим к обеим частям этого неравенства $F_{g} d t$, где $F_{g}$ означает потенциальную энергию в точке $g$, и дадим ему такой вид:
\[
\int^{a f}(F-L) d t+\left[F_{g}-\frac{m}{2}\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}\right] d t-\int^{a e}(F-L) d t>\left[F_{g}-\frac{m}{2}\left(\frac{d l}{d t}\right)^{2}\right] d t,
\]

или
\[
\int^{a g}(F-L) d t-\int^{a e}(F-L) d t>\left[F_{g}-\frac{m}{2}\left(\frac{d l}{d t}\right)^{2}\right] d t .
\]

Сложим такие неравенства для всех элементов $d t$ воображаемого движения :
\[
\int^{a b c}(F-L) d t>\int^{a h c}(F-L) d t .
\]

Разделив обе части этого неравенства на время $t$, в течение которого происходит движение по путям $a b c$ и $a h c$, найдем, что среднее значение кинетического потенциала в действительном движении будет больше среднего значения его в воображаемом движении. Это доказательство легко может быть распространено на любую систему материальных точек.

Справедливость моего положения можно проверить и на примерах. Вообразим материальную точку, брошенную со скоростью $v_{0}$ под углом $\varphi$ к горизонту и движущуюся по параболе под действием силы тяжести, и сравним ее движение с равномерным движением, которое происходит за то же время по прямой линии, соединяющей точки пересечения параболы с горизонтальной плоскостью; мы получим среднее значение кинетического потенциала для прямолинейного движения
\[
\frac{1}{2} m v_{0}^{2} \sin ^{2} \varphi-\frac{m v_{0}^{2}}{2},
\]

которое, очевидно, меньше, чем среднее значение кинетического потенциала
\[
\frac{2}{3} m v_{0}^{2} \sin ^{2} \varphi-\frac{m v_{0}^{2}}{2}
\]

для параболического движения.