13. Предположим, что теория невозмущенного движения дала нам $6 n$ постоянных $e_{i}, p_{i}$ или любые комбинации их $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{8 n}$ в качестве функций $6 n$ переменных $\eta_{i}, \bar{\omega}_{i}$ и времени $t$, которые могут быть обозначены так:
\[
k_{i}=X_{i}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}\right) .
\]

Эти элементы $k_{i}$ дают взаимно выражения для переменных $\eta_{i}, \bar{\omega}_{i}$ в терминах этих элементов и времени, аналогичные (44) и (45) и могущие быть записанными аналогичным образом:
\[
\eta_{i}=\Phi_{i}\left(t, k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{6 n}\right), \quad \vec{\omega}_{i}=\psi_{i}\left(t, k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{6 n}\right) .
\]

Тогда полная производная каждого такого элемента или функции $k_{i}$, взятая по времени (в том виде, в каком она явно и неявно входит в выражение (54)), должна исчезать в невозмущенном движении. Таким образом, посредством

дифференциальных уравнений такого движения (H) должно строго и тождественно иметь место следующее общее соотношение:
\[
0=\frac{\delta k_{i}}{\delta t}+\mathbf{y}\left(\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta} \frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}}-\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}} \frac{\delta H_{1}}{\delta \eta}\right) .
\]

Если, переходя к возмущенному движению, мы сохраняем уравнение (54) в качестве определения величины $k_{i}$, то эта величина больше не будет постоянной, но будет продолжать удовлетворять обратным соотношениям (55) и может быть по аналогии названа переменным элементом движения, а ее полная производная по времени может быть посредством тождественного уравнения (56) и при помощи дифференциальных уравнений возмущенного движения (G) строго выражена следующим образом :
\[
\frac{d k_{i}}{d t}=\Sigma\left(\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta} \frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}}-\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}} \frac{\delta H_{2}}{\delta \eta}\right) .
\]
14. Этот результат ( $\left.\mathrm{A}^{1}\right)$ заключает в себе всю теорию постепенного варьирования элементов возмущенного движения системы; однако он может быть подвергнут полезному преобразованию путем подстановки выражений (55) вместо переменных $\eta_{i}, \bar{\omega}_{i}$ как функций времени и элементов движения, поскольку это приведет к системе $6 n$ точных и простых дифференциальных уравнений первого порядка между этими переменными элементами и временем. Таким образом, если мы выражаем величину $H_{2}$ как функцию этих последних переменных, то ее вариация $\delta \mathrm{H}_{2}$ принимает следующий, новый вид:
\[
\delta H_{2}=\Sigma \frac{\delta H_{2}}{\delta k} \delta k+\frac{\delta H_{2}}{\delta t} \delta t,
\]

что дает путем сопоставления с формой (48) и при помощи (54)
\[
\frac{\delta H_{2}}{\delta \eta_{r}}=\sum \frac{\delta H_{2}}{\delta k} \frac{\delta k}{\delta \eta_{r}} ; \quad \frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}_{r}}=\sum \frac{\delta H_{2}}{\delta k} \frac{\delta k}{\delta \bar{\omega}_{r}} .
\]

Таким образом, общее уравнение ( $\left.\mathrm{A}^{1}\right)$ преобразуется в следующее :
\[
\frac{d k_{i}}{d t}=a_{i, 1} \frac{\delta H_{2}}{\delta k_{1}}+a_{i, 2} \frac{\delta H_{2}}{\delta k_{2}}+\ldots+a_{i, 6 n} \frac{\delta H_{2}}{\delta k_{6} n},
\]

где
\[
a_{i, s}=\sum\left(\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta} \frac{\delta k_{s}}{\delta \overline{\bar{\omega}}}-\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}} \frac{\delta k_{s}}{\delta \eta}\right),
\]

так что остается только исключить переменные $\eta, \bar{\omega}$ из выражений этих последних коэффициентов. Замечательно то, что это исключение устраняет также символ $t$ и оставляет коэффициенты $a_{i, s}$, выраженные как функции одних элементов $k$ и не включающие явно времени. Эта общая теорема динамики, которая, возможно, немного шире, чем аналогичные результаты, полученные Лагранжем и Пуассоном, поскольку в ней возмущающие члены в дифференциальных уравнениях движения не зависят обязательно от конфигурации, может быть исследована следующим образом.
15. Знак суммы $\Sigma$ в (C) подобно тому же знаку без индекса в других аналогичных уравнениях, в которых он уже встречался в этой работе, относится не к явно введенным индексам, какими, например, здесь являются $i, s$ в величине, подлежащей суммированию, а к индексу, который не введен явно и который здесь можно обозначить $r$. Таким образом, если мы для боль-

шей ясности введем этот переменный индекс и его пределы, то выражение (C1) превратится в следующее :
\[
a_{i, s}=\sum_{(n 1}^{3 n}\left(\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{r}}-\frac{\delta \dot{k_{i}}}{\delta \dot{\omega}_{r}} \frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{r}}\right),
\]

а его полная производная по времени может быть разделена на следующие две части:
\[
\frac{d}{d t} a_{i, s}=\sum_{(r) 1}^{3 n}\left(\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}} \frac{d}{d t} \frac{d k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{r}}-\frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{r}} \frac{d}{d t} \frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}}\right)+\sum_{(r) 1}^{3 n}\left(\frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{d}{d t} \frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}}-\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{d}{d t} \frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{r}}\right),
\]

которые мы далее будем вычислять отдельно и затем сложим вместе. Согласно определению (54) и дифференциальным уравнениям возмущенного движения (G) имеем равенства
\[
\frac{d}{d t} \frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}}=\frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta t \delta \bar{\omega}_{r}}+\Sigma_{(u) 1}^{3 n}\left\{\frac{\delta^{2} k}{\delta \eta_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}\left(\frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{u}}+\frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}_{u}}\right)-\frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}\left(\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta_{u}}+\frac{\delta H_{2}}{\delta \eta_{u}}\right)\right\},
\]

в которых вследствие тождества (56)
\[
\frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta t \delta \bar{\omega}_{r}}=-\frac{\delta}{\delta \bar{\omega}_{r}} \sum_{(u) 1}^{3 n}\left(\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{u}} \frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{u}}-\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{u}} \frac{\delta H_{1}}{\delta \eta_{u}}\right) .
\]

Поэтому мы имеем
\[
\frac{d}{d t} \frac{\delta \dot{k}_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}}=\sum_{(u) 1}^{3 n}\left(\frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta \eta_{u} \delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}_{u}}-\frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta H_{2}}{\delta \eta_{u}}+\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{u}} \frac{\delta^{2} H_{1}}{\delta \eta_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}-\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{u}} \frac{\delta^{2} H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}\right) .
\]
$\frac{d}{d t} \frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{r}}$ может быть найдена отсюда путем простой замены $i$ на $s$, так что $\left[{ }^{106}\right]$
\[
\begin{array}{l}
\sum_{(r) 1}^{3 n}\left(\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}} \frac{d}{d t} \frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{r}}-\frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{r}} \frac{d}{d t} \frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}}\right)=\sum_{(r, u) 1,1}^{3 n, 3 n}\left\{\left(\frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \check{\omega}_{r}}-\right.\right. \\
\left.\quad-\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta^{2} k}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}\right) \frac{\delta H_{2}}{\delta \eta_{u}}+\left(\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta^{2} k_{s}}{\delta \eta_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}-\frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta \eta_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}\right) \frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}_{u}}+ \\
\left.\quad+\left(\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{u}}-\frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{u}}\right) \frac{\delta^{2} H_{1}}{\delta \eta_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}+\left(\frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{u}}-\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{u}}\right) \frac{\delta^{2} H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}\right\}
\end{array}
\]

и аналогично
\[
\begin{array}{l}
\sum_{(r) 1}^{3 n}\left(\frac{\delta k_{s}}{\delta \overline{\bar{\omega}}_{r}} \frac{d}{d t} \frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}}-\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{d}{d t} \frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{r}}\right)=\sum_{(r, u) 1,1}^{3 n, 3 n}\left\{\left(\frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta \eta_{u} \delta \eta_{r}} \cdots\right.\right. \\
\left.\quad-\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta^{2} k_{s}}{\delta \eta_{u} \delta \eta_{r}}\right) \frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}_{u}}+\left(\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta^{2} k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \eta-}-\frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \eta_{r}}\right) \frac{\delta H_{r}}{\delta \eta_{u}}+ \\
\left.\quad+\left(\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{u}}-\frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{u}}\right) \frac{\delta^{2} H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \eta_{r}}+\left(\frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{2}} \frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{u}}-\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{u}}\right) \frac{\delta^{2} H_{1}}{\delta \eta_{u} \delta \eta_{r}}\right\}
\end{array}
\]

Следовательно, сложив два последних выражения и произведя необходимые сокращения, мы находим при помощи соотношений (60) [107]
\[
\frac{d}{d t} a_{i, s}=\sum_{(u) 1}^{3 n}\left(A_{i, s}^{(u)} \frac{\delta H_{2}}{\delta \eta_{u}}+B_{i, s}^{(u)} \frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}_{u}}\right),
\]

где
$A_{i, s}^{(u)}=\sum_{(r) 1}^{3 n}\left(\frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}-\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta^{2} k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}+\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta^{2} k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \eta_{r}}-\frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{u} \delta \eta_{r}}\right)$,
$B_{i, s}^{(u)}=\sum^{3}{ }^{3 n} 1\left(\frac{\delta k_{s}}{\delta \bar{\omega}_{r}} \frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta \eta_{u} \delta \eta_{r}}-\frac{\delta k_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}}-\frac{\delta^{2} k_{s}}{\delta \eta_{u} \delta \eta_{r}}+\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta^{2} k_{s}}{\delta \eta_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}-\frac{\delta k_{s}}{\delta \eta_{r}} \frac{\delta^{2} k_{i}}{\delta \eta_{u} \delta \bar{\omega}_{r}}\right)$.
Поскольку общая форма ( $\mathrm{D}^{1}$ )для $\frac{d}{d t} a_{i, s}$ не содержит никакого члена, независимого от возмущающих величин $\frac{\delta H_{2}}{\delta \eta}, \frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}}$, то отсюда легко сделатьважный вывод, уже упоминавшийся ранее, а именно, что производные $a_{i, s}$ в дифференциалах (B1) элементов могут быть выражены как функции одних этих элементов, не включающих явно время [108].
Очевидно также, что коэффициенты $a_{i, s}$ обладают следующим свойством :

и
\[
a_{s, i}=-a_{i, s}
\]
\[
a_{i, i}=0 \text {; }
\]

поэтому член, пропорциональный $\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{i}}$, исчезает из выражения (B1) для $\frac{d k_{i}}{d t}$, а член $\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{i}} a_{i, s} \frac{\delta H_{2}}{\delta k_{s}}$ в выражении $\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{i}} \frac{d k_{i}}{d t}$ при сложении уничтожает член $\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{s}} a_{s, i} \frac{\delta H_{2}}{\delta k_{i}}$ в выражении $\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{s}} \frac{d k_{s}}{d t}$. Поэтому мы имеем
\[
\Sigma \frac{\delta H_{2}}{\delta k} \frac{d k}{d t}=0
\]

или
\[
\frac{d H_{2}}{d t}=\frac{\delta H_{2}}{\delta t} .
\]

Это означает, что если мы берем первую полную производную возмущающего выражения $H_{2}$ по времени, то элементы могут рассматриваться как постоянные.