4. Для проверки, которой не следует пренебрегать, и в то же время для иллюстрации этого нового принципа мы можем вывести известные дифференциальные уравнения движения из нашей системы промежуточных интегралов и затем снова показать соответствие их нашей конечной интегральной системе. В качестве предпосылки к такой проверке полезно отметить, что конечное уравнение (6) живой силы в сочетании с системой (C) принимает следующий новый вид [71] :
\[
\frac{1}{! 2} \sum \frac{1}{m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z}\right)^{2}\right\}=U+H,
\]

а начальное уравнение живой силы (7) с помощью (D) принимает вид
\[
\frac{1}{2} \sum \frac{1}{m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta a}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta b}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta c}\right)^{2}\right\}=U_{0}+H .
\]

Этим двум уравнениям в частных производных, начальному и конечному, первого порядка, но второй степени, должна тождественно удовлетворять характеристическая функция $V$; они дают (как мы увидим далее) основное средство для раскрытия формы этой функции $V$ и имеют существенное значение для ее теории. Если бы форма этой функции была известна, то мы могли бы исключить $3 n-1$ начальных координат из $3 n$ уравнений (C), и хотя мы еще не можем фактически осуществить процесс этого исключения, мы вправе утверждать, что оно удалит наряду с другими и остающуюся начальную координату и приведет к уравнению (6) конечной живой силы, которое затем могло бы быть преобразовано в уравнение (F). Подобным же образом мы можем заключить, что все $3 n$ конечных координат могут быть совместно исключены из $3 n$ уравнений (D) и что результатом этого будет начальное уравнение живой силы (7) или преобразованное уравнение (G). Поэтому мы можем рассматривать закон живой силы, который помог нам раскрыть свойства нашей характеристической функции $V$, как включенный в эти свойства и получающийся в каждом частном случае путем исключения из систем (C) и (D); при рассмотрении любой из этих систем или при проведении любого другого динамического исследования методом этой характеристической функции мы вправе использовать уравнения в частных производных (F) и (G), которым эта функция необходимо должна удовлетворять.

Теперь нам будет легко вывести, как мы и предполагали, известные уравнения движения (3) второго порядка посредством дифференцирования и исключения постоянных из нашей промежуточной интегральной системы

(C), (E) или даже из части этой системы, а именно из группы (C) в сочетании с уравнением (F). Таким образом мы получаем :
\[
\begin{aligned}
m_{1} x_{1}^{\prime \prime} & =\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta x_{1}}=x_{1}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1}^{2}}+x_{2}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta x_{2}}+\ldots+x_{n}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta x_{n}}+ \\
& +y_{1}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta y_{1}}+y_{2}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta y_{2}}+\ldots+y_{n}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta y_{n}}+z_{1}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta z_{1}}+ \\
& +z_{2}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta z_{2}}+\ldots+z_{n}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta z_{n}}=\frac{1}{m_{1}} \frac{\delta V}{\delta x_{1}} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1}^{2}}+ \\
& +\frac{1}{m_{2}} \frac{\delta V}{\delta x_{2}} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta x_{2}}+\ldots+\frac{1}{m_{n}} \frac{\delta V}{\delta x_{n}} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta x_{n}}+\frac{1}{m_{1}} \frac{\delta V}{\delta y_{1}} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta y_{1}}+ \\
& +\frac{1}{m_{2}} \frac{\delta V}{\delta y_{2}} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta y_{2}}+\ldots+\frac{1}{m_{n}} \frac{\delta V}{\delta y_{n}} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta y_{n}}+ \\
& +\frac{1}{m_{1}} \frac{\delta V}{\delta z_{1}} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta z_{1}}+\frac{1}{m_{2}} \frac{\delta V}{\delta z_{2}} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta z_{2}}+\ldots+\frac{1}{m_{n}} \frac{\delta V}{\delta z_{n}} \frac{\delta^{2} V}{\delta x_{1} \delta z_{n}}= \\
& =\frac{\delta}{\delta x_{1}} \Sigma \cdot \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z}\right)^{2}\right\}=\frac{\delta}{\delta x_{1}}(U+H),
\end{aligned}
\]
т. е. мы получаем
\[
m_{1} x_{1}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta x_{1}} .
\]

Подобным же образом мы можем (при помощи дифференцирования) вывести из интегралов (C) и из выражения (F) все другие известные дифференциальные уравнения движения второго порядка, содержащиеся в группе (3), или, точнее, мы можем сразу же вывести формулу (1), которая содержит все эти известные уравнения, приняв во внимание, что промежуточные интегралы (C) вместе с соотношением ( $\mathrm{F}$ ) дают [72]
\[
\begin{array}{l}
\sum m(\ddot{x} \delta x+\ddot{y} \delta y+z \delta z)=\sum\left(\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta x} \delta x+\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta y} \delta y+\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta z} \delta z\right)= \\
=\sum \frac{1}{m}\left(\frac{\delta V}{\delta x} \frac{\delta}{\delta x}+\frac{\delta V}{\delta y} \frac{\delta}{\delta y}+\frac{\delta V}{\delta z} \frac{\delta}{\delta z}\right) \sum\left(\frac{\delta V}{\delta x} \delta x+\frac{\delta V}{\delta y} \delta y+\frac{\delta V}{\delta z} \delta z\right)= \\
=\sum\left(\delta x \frac{\delta}{\delta x}+\delta y \frac{\delta}{\delta y}+\delta z \frac{\delta}{\delta z}\right) \sum \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z}\right)^{2}\right\}= \\
=\sum\left(\delta x \frac{\delta}{\delta x}+\delta y \frac{\delta}{\delta y}+\delta z \frac{\delta}{\delta z}\right)(U+H)=\delta U .
\end{array}
\]
5. Теперь мы должны показать, что наша промежуточная интегральная система, состоящая из уравнений (C) и (E) с $3 n$ произвольными постоянными $a_{1}, b_{1}, c_{1}, \ldots, a_{n}, b_{n}, c_{n}$ (включающая также вспомогательную постоянную $H$ ), совместна с нашей конечной интегральной системой уравнений (D) и (E), которая содержит $3 n$ других произвольных постоянных, именно $a_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, c_{1}^{\prime}, \ldots$ $\ldots, a_{n}^{\prime}, b_{n}^{\prime}, c_{n}^{\prime}$. Взяв производные от уравнений (C), (D), (E) по времени, получим для первой группы:
\[
\left.\begin{array}{lll}
\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta x_{1}}=m_{1} x_{1}^{\prime \prime}, & \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta x_{2}}=m_{2} x_{2}^{\prime \prime}, \ldots, & \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta x_{n}}=m_{n} x_{n}^{\prime \prime} ; \\
\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta y_{1}}=m_{1} y_{1}^{\prime \prime}, & \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta y_{2}}=m_{2} y_{2}^{\prime \prime}, \ldots, & \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta y_{n}}=m_{n} y_{n}^{\prime \prime} ; \\
\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta z_{1}}=m_{1} z_{1}^{\prime \prime}, & \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta z_{2}}=m_{2} z_{2}^{\prime \prime}, \ldots, & \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta z_{n}}=m_{n} z_{n}^{\prime \prime} ;
\end{array}\right\}
\]

для второй группы :
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta a_{1}}=0, \quad \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta a_{2}}=0, \ldots, \quad \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta a_{n}}=0 ; \\
\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta b_{1}}=0, \quad \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta b_{2}}=0, \ldots, \quad \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta b_{n}}=0 ; \\
\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta c_{1}}=0, \quad \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta c_{2}}=0, \ldots, \quad \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta c_{n}}=0 \\
\end{array}
\]

и, наконец, для последнего уравнения
\[
\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta H}=1 .
\]

Комбинируя уравнения (C) с (H) и с соотношением (F), мы вывели в предыдущем параграфе известные уравнения движения (3) и теперь должны показать совместность тех же промежуточных интегралов (C) с группой производных (I), выведенных из конечных интегралов.
Первое уравнение группы (I) может быть развернуто так:
\[
\begin{array}{r}
0=x_{1}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta a_{1} \delta x_{1}}+x_{2}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta a_{1} \delta x_{2}}+\ldots+x_{n}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta a_{1} \delta x_{n}}+y_{1}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta a_{1} \delta y_{1}}+y_{2}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta a_{1} \delta y_{2}}+\ldots \\
\ldots+y_{n}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta a_{1} \delta y_{n}}+z_{1}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta a_{1} \delta z_{1}}+z_{2}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta a_{1} \delta z_{2}}+\ldots+z_{n}^{\prime} \frac{\delta^{2} V}{\delta a_{1} \delta z_{n}} ;(1)
\end{array}
\]

другие могут быть развернуты аналогичным образом. Поэтому, для того чтобы показать, что они удовлетворяются группой (С), достаточно доказать, что верны следующие уравнения :
\[
\left.\begin{array}{l}
0=\frac{\delta}{\delta a_{i}} \sum \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z}\right)^{2}\right\}, \\
0=\frac{\delta}{\delta b_{i}} \sum \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z}\right)^{2}\right\}, \\
0=\frac{\delta}{\delta c_{i}} \sum \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z}\right)^{2}\right\},
\end{array}\right\}
\]

где целое число $i$ получает любое значение от 1 до $n$ включительно. Это можно немедленно показать и получить таким образом требуемую проверку, для чего достаточно взять вариацию выражения (F) по начальным координатам, подобно тому как в предыдущей проверке мы брали ее вариацию по конечным координатам, и таким образом получить результаты, которые согласуются с известными уравнениями движения и могут быть представлены следующим образом :
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta}{\delta x_{i}} \sum \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z}\right)^{2}\right\}=\frac{\delta U}{\delta x_{i}} ; \\
\frac{\delta}{\delta y_{i}} \sum \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z}\right)^{2}\right\}=\frac{\delta U}{\delta y_{i}} ; \\
\frac{\delta}{\delta z_{i}} \sum \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z}\right)^{2}\right\}=\frac{\delta U}{\delta z_{i}} .
\end{array}\right\}
\]

То же отношение (F), когда оно варьируется по величине $H$, приводит к выражению
\[
\frac{\delta}{\delta H} \sum \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z}\right)^{2}\right\}=1,
\]

а это последнее, будучи развернуто, согласуется с уравнением (К), что представляет собой новое подтверждение совместности наших предыдущих результатов. Точно так же не многим труднее было бы, исходя из изложенных выше принципов, прямо проинтегрировать наши интегралы первого порядка и таким образом вывести нашу конечную интегральную систему другим способом.

6. Мы сможем считать еще одним подтверждением наших собственных общих интегральных уравнений доказательство того, что они заключают в себе не только известный закон живой силы, но также шесть других известных интегралов первого порядка : закон движения центра тяжести и закон площадей. Для этой цели необходимо только отметить, что из концепции нашей характеристической функции $V$ с очевидностью следует, что эта функция зависит от начальных и конечных положений притягивающихся или отталкивающихся точек системы, не как отнесенных к какому-либо внешнему стандарту, а только как сравниваемых друг с другом; следовательно, эта функция не будет меняться, если мы, не делая никаких реальных изменений ни в начальной, ни в конечной конфигурации, ни в их отношении друг к другу, сразу изменим все начальные и все конечные положения точек системы при помощи какого-нибудь общего движения, будь то перенос или вращение [73]. Теперь, рассматривая три координатных переноса, мы получим три следующих уравнения в частных производных первого порядка, которым должна удовлетворять функция $V$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
\sum \frac{\delta V}{\delta x}+\sum \frac{\delta V}{\delta a}=0 ; \\
\sum \frac{\delta V}{\delta y}+\sum \frac{\delta V}{\delta b}=0 ; \\
\sum \frac{\delta V}{\delta z}+\sum \frac{\delta V}{\delta c}=0,
\end{array}\right\}
\]

а рассматривая три координатных вращения, мы получим три других соотношения между частными производными того же порядка той же характеристической функции :
\[
\left.\begin{array}{l}
\sum\left(x \frac{\delta V}{\delta y}-y \frac{\delta V}{\delta x}\right)+\Sigma\left(a \frac{\delta V}{\delta b}-b \frac{\delta V}{\delta a}\right)=0 \\
\sum\left(y \frac{\delta V}{\delta z}-z \frac{\delta V}{\delta y}\right)+\Sigma\left(b \frac{\delta V}{\delta c}-c \frac{\delta V}{\delta b}\right)=0 \\
\Sigma\left(z \frac{\delta V}{\delta x}-x \frac{\delta V}{\delta z}\right)+\Sigma\left(c \frac{\delta V}{\delta a}-a \frac{\delta V}{\delta c}\right)=0
\end{array}\right\}
\]

Если мы заменим конечные производные $V$ конечными компонентами импульca, а начальные производные – начальными компонентами, взятыми с отрицательным знаком согласно динамическим свойствам этой функции, выраженным интегралами (C) и (D), то мы изменим также уравнения в частных производных (О) и (Р) и получим следующее:

и
\[
\left.\begin{array}{rl}
\Sigma m x^{\prime}=\Sigma m a^{\prime} ; \quad \Sigma m y^{\prime} & =\Sigma m b^{\prime} ; \quad \sum m z^{\prime}=\Sigma m c^{\prime} ; \\
\Sigma m\left(x y^{\prime}-y x^{\prime}\right) & =\Sigma m\left(a b^{\prime}-b a^{\prime}\right) ; \\
\Sigma m\left(y z^{\prime}-z y^{\prime}\right) & =\Sigma m\left(b c^{\prime}-c b^{\prime}\right) ; \\
\Sigma m\left(z x^{\prime}-x z^{\prime}\right) & =\Sigma m\left(c a^{\prime}-a c^{\prime}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, таким путем мы можем вывести из свойств нашей характеристической функции шесть других известных интегралов, упомянутых выше, помимо того седьмого, который содержится в законе живой силы и который помог нам открыть наш метод.