Во втором отделе этой четвертой части [ ${}^{158}]$ был установлен в качестве принципа, выражающего в краткой форме способ действия чистых движущих сил, принцип Гамильтона
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}(\mathrm{\Phi }-L)dt=0,$$

из которого путем выполнения указанным в этом отделе способом вариации временно́го интеграла мы вывели лагранжевы уравнения движения для любых координат в такой форме :
$$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_i}-\frac{\partial L}{\partial p_i}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\right)=0.$$

В обоих выражениях, различающихся между собой только по форме, фигурируют как функции состояния обе известные формы энергии : потенциальная $\mathrm{\Phi }$ и кинетическая $L$. Тем самым область применимости этих принципов ограничивается консервативными системами, в которых действующие силы либо являются исключительно внутренними (свободные системы), либо такими внешними силами, для которых известно выражение потенциальной энергии, например сила тяжести или притяжение Солнцем в примерах $\mathrm{\S }\mathrm{\S }73$ и 74 . Однако часто случается, что необходимо предусмотреть действие таких внешних сил, величина и направление которых в каждый данный момент, правда, известны, но консервативность которых не установлена, а иногда и не может быть установлена; это имеет место во всех тех неполных отображениях действительности, в которых оперируют с силами, входящими в расчет как заданные функции времени.

Вышеизложенные принципы механики можно расширить таким образом, что они смогут дать правильное основание также и для решения только что упомянутых задач. Именно, к потенциальной энергии присоединяют определенные добавочные члены, которые при дифференцировании по координатам дают, наряду с консервативными внутренними силами, и внешние силы. Эти внешние силы можно мыслить разложенными на составляющие, из которых каждая ускоряет только одну координату системы ; составляю-

щую, соответствующую координате $p_i$, мы обозначим через ( $-P_i$ ). Поставленный здесь знак (-) не ограничивает по существу направления силы, ибо $P_i$ следует рассматривать как алгебрическую величину. Когда при движении системы координата изменяется на $d{p}_i$, то при этом, если (- $P_i$ ) имеет положительное значение, внешняя сила производит работу, следовательно, энергия системы увеличивается ; наоборот, если при этом (-P ${}_i$ ) отрицательна, иначе говоря, если сама величина $P_i$ имеет положительное значение, то система производит работу за счет своего запаса энергии. Количество этой отданной наружу энергии, согласно определению понятия работы, равно $+P_{i}d{p}_i$; выбор знака (-) при составляющей силы и имел целью дать положительное по форме выражение этой работе, произведенной системой ; можно сказать, что $P_i$ есть та сила, с которой система реагирует на внешние влияния, увеличивающие координату $p_i$. Если ввести условие, что $P_i$ не зависят от внутреннего состояния системы и являются заданными функциями времени или в простейшем случае вообще постоянны, то добавочные члены легко находятся в форме суммы, которая содержит каждую из сил $P_i$, умноженную на соответствующую координату $p_i$. (Именно такое добавление мы уже делали в конце § 60, в условиях равновесия, уравнение (154b) $\left[{}^{159}\right]$; только знак там был противоположным, потому что внешние силы там были введены положительными.) Принцип Гамильтона приобретает тогда расширенную форму:
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}(\mathrm{\Phi }-L+\mathrm{\Sigma }{P}_i{p}_i)dt=0.$$

Вариация интеграла и теперь таюже может быть выполнена путем варьирования $p_i$, как и в § 65 , причем следует оставить в силе условие, что положения, получающиеся в результате виртуальных перемещений, проходятся точками системы одновременно с действительными положениями и что $P_i$ как функции одного только времени не участвуют в вариации. Отсюда вытекает требование :
$${\int }_{t_0}^{t_1}dt\sum _i[P_i+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_i}-\frac{\partial L}{\partial p_i}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\right)]\delta p_i=0,$$

которое при произвольных функциях времени $\delta p_i$ может быть удовлетворено только в том случае, если во всякое время выражение, заключенное в прямые скобки, для любого значения $i$ в отдельности равно нулю. Таким путем получается следующая система уравнений :
$$P_i=-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_i}+\frac{\partial L}{\partial p_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\right),$$

которая и дает желаемое расширение дифференциальных уравнений Лагранжа. Реакция движущейся системы против внешних сил (ибо таков смысл величин $P_i$ ) складывается из внутренних сил ( $-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_i})$ и аналогов центробежной силы $(+\frac{\partial L}{\partial pi})$, из которых вычитаются скорости изменения количеств движения (mutationes motus (изменения движения) второй аксиомы Ньютона), представляющиеся после выполнения над $L$ предписанных дифференцирований как однородные линейные функции ускорений. Если $p_i$ означают декартовы координаты в неподвижной системе, то
$$L=\frac{1}{2}\sum m_i{\left(\frac{d{x}_i}{dt}\right)}^2,$$

следовательно,
$$\frac{\partial L}{\partial q_i}=m_i\frac{d{x}_i}{dt}\text{ и }\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\right)=m_i\frac{d^2{x}_i}{d{t}^2},$$
т. е., по определению Ньютона, силы, которые сообщили бы соответствующим точкам, если бы те были свободны, как раз их фактические ускорения. Взятые со знаком минус, с которым они входят в уравнение (4), эти составные части реакции соответствуют отрицательным д’аламберовым добавочным силам, которые способны уравновесить приложенные силы, в то время как только положительные д’аламберовы добавочные силы управляют движением. Между прочим, можно и уравнения (4) преобразовать, перенося производные от количеств движения со знаком плюс влево, а силы $P_i$ со знаком минус — вправо ; но тогда мы не будем иметь дело с реакциями, а будем иметь уравнения, которые представляют ускорения как результат действия внутренних и внешних сил.