Во втором отделе этой четвертой части [ $\left.{ }^{158}\right]$ был установлен в качестве принципа, выражающего в краткой форме способ действия чистых движущих сил, принцип Гамильтона
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}(\Phi-L) d t=0,
\]
из которого путем выполнения указанным в этом отделе способом вариации временно́го интеграла мы вывели лагранжевы уравнения движения для любых координат в такой форме :
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial p_{i}}-\frac{\partial L}{\partial p_{i}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right)=0 .
\]
В обоих выражениях, различающихся между собой только по форме, фигурируют как функции состояния обе известные формы энергии : потенциальная $\Phi$ и кинетическая $L$. Тем самым область применимости этих принципов ограничивается консервативными системами, в которых действующие силы либо являются исключительно внутренними (свободные системы), либо такими внешними силами, для которых известно выражение потенциальной энергии, например сила тяжести или притяжение Солнцем в примерах $\S \S 73$ и 74 . Однако часто случается, что необходимо предусмотреть действие таких внешних сил, величина и направление которых в каждый данный момент, правда, известны, но консервативность которых не установлена, а иногда и не может быть установлена; это имеет место во всех тех неполных отображениях действительности, в которых оперируют с силами, входящими в расчет как заданные функции времени.
Вышеизложенные принципы механики можно расширить таким образом, что они смогут дать правильное основание также и для решения только что упомянутых задач. Именно, к потенциальной энергии присоединяют определенные добавочные члены, которые при дифференцировании по координатам дают, наряду с консервативными внутренними силами, и внешние силы. Эти внешние силы можно мыслить разложенными на составляющие, из которых каждая ускоряет только одну координату системы ; составляю-
щую, соответствующую координате $p_{i}$, мы обозначим через ( $-P_{i}$ ). Поставленный здесь знак (-) не ограничивает по существу направления силы, ибо $P_{i}$ следует рассматривать как алгебрическую величину. Когда при движении системы координата изменяется на $d p_{i}$, то при этом, если (- $P_{i}$ ) имеет положительное значение, внешняя сила производит работу, следовательно, энергия системы увеличивается ; наоборот, если при этом (-P ${ }_{i}$ ) отрицательна, иначе говоря, если сама величина $P_{i}$ имеет положительное значение, то система производит работу за счет своего запаса энергии. Количество этой отданной наружу энергии, согласно определению понятия работы, равно $+P_{i} d p_{i}$; выбор знака (-) при составляющей силы и имел целью дать положительное по форме выражение этой работе, произведенной системой ; можно сказать, что $P_{i}$ есть та сила, с которой система реагирует на внешние влияния, увеличивающие координату $p_{i}$. Если ввести условие, что $P_{i}$ не зависят от внутреннего состояния системы и являются заданными функциями времени или в простейшем случае вообще постоянны, то добавочные члены легко находятся в форме суммы, которая содержит каждую из сил $P_{i}$, умноженную на соответствующую координату $p_{i}$. (Именно такое добавление мы уже делали в конце § 60, в условиях равновесия, уравнение (154b) $\left[{ }^{159}\right]$; только знак там был противоположным, потому что внешние силы там были введены положительными.) Принцип Гамильтона приобретает тогда расширенную форму:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\Phi-L+\Sigma P_{i} p_{i}\right) d t=0 .
\]
Вариация интеграла и теперь таюже может быть выполнена путем варьирования $p_{i}$, как и в § 65 , причем следует оставить в силе условие, что положения, получающиеся в результате виртуальных перемещений, проходятся точками системы одновременно с действительными положениями и что $P_{i}$ как функции одного только времени не участвуют в вариации. Отсюда вытекает требование :
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \sum_{i}\left[P_{i}+\frac{\partial \Phi}{\partial p_{i}}-\frac{\partial L}{\partial p_{i}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right)\right] \delta p_{i}=0,
\]
которое при произвольных функциях времени $\delta p_{i}$ может быть удовлетворено только в том случае, если во всякое время выражение, заключенное в прямые скобки, для любого значения $i$ в отдельности равно нулю. Таким путем получается следующая система уравнений :
\[
P_{i}=-\frac{\partial \Phi}{\partial p_{i}}+\frac{\partial L}{\partial p_{i}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right),
\]
которая и дает желаемое расширение дифференциальных уравнений Лагранжа. Реакция движущейся системы против внешних сил (ибо таков смысл величин $P_{i}$ ) складывается из внутренних сил ( $\left.-\frac{\partial \Phi}{\partial p_{i}}\right)$ и аналогов центробежной силы $\left(+\frac{\partial L}{\partial p i}\right)$, из которых вычитаются скорости изменения количеств движения (mutationes motus (изменения движения) второй аксиомы Ньютона), представляющиеся после выполнения над $L$ предписанных дифференцирований как однородные линейные функции ускорений. Если $p_{i}$ означают декартовы координаты в неподвижной системе, то
\[
L=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2},
\]
следовательно,
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=m_{i} \frac{d x_{i}}{d t} \quad \text { и } \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right)=m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}},
\]
т. е., по определению Ньютона, силы, которые сообщили бы соответствующим точкам, если бы те были свободны, как раз их фактические ускорения. Взятые со знаком минус, с которым они входят в уравнение (4), эти составные части реакции соответствуют отрицательным д’аламберовым добавочным силам, которые способны уравновесить приложенные силы, в то время как только положительные д’аламберовы добавочные силы управляют движением. Между прочим, можно и уравнения (4) преобразовать, перенося производные от количеств движения со знаком плюс влево, а силы $P_{i}$ со знаком минус – вправо ; но тогда мы не будем иметь дело с реакциями, а будем иметь уравнения, которые представляют ускорения как результат действия внутренних и внешних сил.
