8. Если мы разделим выражение $H$ (17) на две любые части того же рода :
\[
H_{1}+H_{2}=H,
\]

где
\[
H_{1}=F_{1}\left(\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right)-U_{1}\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right)
\]

и
\[
H_{2}=F_{2}\left(\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right)-U_{2}\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right),
\]

причем функции $F_{1}, F_{2}, U_{1}, U_{2}$ таковы, что
\[
F_{1}+F_{2}=F, \quad U_{1}+U_{2}=U,
\]

то дифференциальные уравнения движения (A) примут вид
\[
\frac{d \eta_{i}}{d t}=\frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{i}}+\frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}_{i}}, \quad \frac{d \bar{\omega}_{i}}{d t}=-\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta_{i}}-\frac{\delta H_{2}}{\delta \eta_{i}},
\]

и если часть $H_{2}$ и ее производные малы, то они не будут сильно отличаться от дифференциальных уравнений:
\[
\frac{d \eta_{i}}{d t}=\frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{i}}, \quad \frac{d \bar{\omega}_{i}}{d t}=-\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta_{i}},
\]

так что строгие интегралы последней системы будут приближенными интегралами первой. Тогда, путем соответствующего подбора преобладающего члена $\cdot H_{1}$ мы во всех случаях образуем и строго интегрируем такую систему $6 n$ уравнений (H), дающую выражения для $6 n$ переменных $\eta_{i}, \bar{\omega}_{i}$ в качестве функций времени $t$ и их собственных начальных значений $e_{i}$, $p_{i}$, которые могут быть написаны так:
\[
\begin{aligned}
\eta_{i} & =\Phi_{i}\left(t, e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{3 n}\right), \\
\bar{\omega}_{i} & =\psi_{i}\left(t, e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{3 n}\right) .
\end{aligned}
\]

Более простое движение, определенное таким образом посредством точных интегралов (Н), может быть названо невозмущенным движением предложенной системы $n$ точек, а более сложное движение, выраженное точными интегралами (G), может по контрасту быть названо возмущенным движением этой системы. Переход же от одной системы к другой можно обозначить как задачу возмущения.
9. Для того чтобы осуществить этот переход; надо отметить, что поскольку дифференциальные уравнения невозмущенного движения (H) имеют тот же вид, что и первоначальные уравнения (A), их интегралы могут быть выра-

жены аналогично, т. е. следующим образом :
\[
\bar{\omega}_{i}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{i}}, \quad p_{i}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{i}},
\]

причем $S_{1}$ здесь представляет собой главную функцию невозмущенного движенія или определенный интеграл
\[
S_{1}=\int_{0}^{t}\left(\Sigma \bar{\omega} \frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}}-H_{1}\right) d t,
\]

рассматриваемый как функция времени и величин $\eta_{i}, e_{i}$. Подобным же образом, если мы представим полную главную функцию возмущенного движения как $S_{1}+S_{2}$, то строгие интегралы (G) могут быть выражены посредством (В) следующим образом :
\[
\dddot{\omega}_{i}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{i}}+\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{i}}, \quad p_{i}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{i}}-\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{i}} .
\]

Сравнивая формы (44) со второй группой уравнений (1) для интегралов невозмущенного движения, мы найдем, что следующие соотношения между функциями $\Phi_{i}, S_{1}$ должны быть строго и тождественно истинными :
\[
\eta_{i}=\Phi_{i}\left(t, e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n},-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{1}},-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{2}}, \ldots,-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{3 n}}\right),
\]

и что, следовательно, при помощи равенств (К) интегралы возмущенного движения могут быть представлены в следующем виде :
\[
\eta_{i}=\Phi_{i}\left(t, e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n}, p_{1}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{1}}, p_{2}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{2}}, \ldots, p_{3 n}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{3 n}}\right) .
\]

Таким образом, мы можем точно вычислить возмущенные переменные $\eta_{i}$ по правилам невозмущенного движения (44), если мы, не меняя времени $t$ или начальных значений $e_{i}$ этих переменных, которые определяют начальную конфигурацию, изменим (в общем) начальные скорости и направления путем прибавления к элементам $p_{i}$ следующих возмущающих членов :
\[
\Delta p_{1}=\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{1}}, \quad \Delta p_{2}=-\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{2}}, \ldots, \Delta p_{3 n}=\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{3 n}} .
\]

Это представляет собой замечательный результат, охватывающий всю теорию возмущений. Мы можем вывести из него частные производные $\eta_{i}^{\prime}$ или связанные с ней величины $\bar{\omega}_{i}$, которые определяют возмущенные направления и скорости движения в любое время $t$. Однако аналогичное рассуждение тотчас дает общее выражение :
\[
\bar{\omega}_{i}^{\prime}=\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{i}}+\psi_{1}\left(t, e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n}, p+\frac{\left\ulcorner\delta S_{2}\right.}{\delta e_{1}}, p_{2}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{2}}, \ldots, p_{3 n}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{3 n}}\right),
\]

откуда следует, что после того, как мы изменим начальные скорости и направления или элементы $p_{i}$, как и раньше, при помощи возмущающих членов (M), можно применить правила невозмущенного движения (45) для вычисления скоростей и направлений во время $t$ или переменных величин $\bar{\omega}$, если, в конце концов, применить к вычисленным таким образом величинам следующие новые поправки на возмущение:
\[
\Delta \bar{\omega}_{1}=\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}, \quad \Delta \bar{\omega}_{2}=\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{2}}, \ldots, \Delta \bar{\omega}_{3 n}=\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3 n}} .
\]