8. Если мы разделим выражение $H$ (17) на две любые части того же рода :
$$H_1+H_2=H,$$

где
$$H_1=F_1({\overline{\omega }}_1,{\overline{\omega }}_2,\dots ,{\overline{\omega }}_{3n},{\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{3n})-U_1({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{3n})$$

и
$$H_2=F_2({\overline{\omega }}_1,{\overline{\omega }}_2,\dots ,{\overline{\omega }}_{3n},{\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{3n})-U_2({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{3n}),$$

причем функции $F_1,F_2,U_1,U_2$ таковы, что
$$F_1+F_2=F,U_1+U_2=U,$$

то дифференциальные уравнения движения (A) примут вид
$$\frac{d{\eta }_i}{dt}=\frac{\delta H_1}{\delta {\overline{\omega }}_i}+\frac{\delta H_2}{\delta {\overline{\omega }}_i},\frac{d{\overline{\omega }}_i}{dt}=-\frac{\delta H_1}{\delta {\eta }_i}-\frac{\delta H_2}{\delta {\eta }_i},$$

и если часть $H_2$ и ее производные малы, то они не будут сильно отличаться от дифференциальных уравнений:
$$\frac{d{\eta }_i}{dt}=\frac{\delta H_1}{\delta {\overline{\omega }}_i},\frac{d{\overline{\omega }}_i}{dt}=-\frac{\delta H_1}{\delta {\eta }_i},$$

так что строгие интегралы последней системы будут приближенными интегралами первой. Тогда, путем соответствующего подбора преобладающего члена $\cdot H_1$ мы во всех случаях образуем и строго интегрируем такую систему $6n$ уравнений (H), дающую выражения для $6n$ переменных ${\eta }_i,{\overline{\omega }}_i$ в качестве функций времени $t$ и их собственных начальных значений $e_i$, $p_i$, которые могут быть написаны так:
$$\begin{array}{rl}{\eta }_i& ={\mathrm{\Phi }}_i(t,e_1,e_2,\dots ,e_{3n},p_1,p_2,\dots ,p_{3n}),\\ {\overline{\omega }}_i& ={\psi }_i(t,e_1,e_2,\dots ,e_{3n},p_1,p_2,\dots ,p_{3n}).\end{array}$$

Более простое движение, определенное таким образом посредством точных интегралов (Н), может быть названо невозмущенным движением предложенной системы $n$ точек, а более сложное движение, выраженное точными интегралами (G), может по контрасту быть названо возмущенным движением этой системы. Переход же от одной системы к другой можно обозначить как задачу возмущения.
9. Для того чтобы осуществить этот переход; надо отметить, что поскольку дифференциальные уравнения невозмущенного движения (H) имеют тот же вид, что и первоначальные уравнения (A), их интегралы могут быть выра-

жены аналогично, т. е. следующим образом :
$${\overline{\omega }}_i=\frac{\delta S_1}{\delta {\eta }_i},p_i=-\frac{\delta S_1}{\delta e_i},$$

причем $S_1$ здесь представляет собой главную функцию невозмущенного движенія или определенный интеграл
$$S_1={\int }_0^t(\mathrm{\Sigma }\overline{\omega }\frac{\delta H_1}{\delta \overline{\omega }}-H_1)dt,$$

рассматриваемый как функция времени и величин ${\eta }_i,e_i$. Подобным же образом, если мы представим полную главную функцию возмущенного движения как $S_1+S_2$, то строгие интегралы (G) могут быть выражены посредством (В) следующим образом :
$${\stackrel{⃛}{\omega }}_i=\frac{\delta S_1}{\delta {\eta }_i}+\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_i},p_i=-\frac{\delta S_1}{\delta e_i}-\frac{\delta S_2}{\delta e_i}.$$

Сравнивая формы (44) со второй группой уравнений (1) для интегралов невозмущенного движения, мы найдем, что следующие соотношения между функциями ${\mathrm{\Phi }}_i,S_1$ должны быть строго и тождественно истинными :
$${\eta }_i={\mathrm{\Phi }}_i(t,e_1,e_2,\dots ,e_{3n},-\frac{\delta S_1}{\delta e_1},-\frac{\delta S_1}{\delta e_2},\dots ,-\frac{\delta S_1}{\delta e_{3n}}),$$

и что, следовательно, при помощи равенств (К) интегралы возмущенного движения могут быть представлены в следующем виде :
$${\eta }_i={\mathrm{\Phi }}_i(t,e_1,e_2,\dots ,e_{3n},p_1+\frac{\delta S_2}{\delta e_1},p_2+\frac{\delta S_2}{\delta e_2},\dots ,p_{3n}+\frac{\delta S_2}{\delta e_{3n}}).$$

Таким образом, мы можем точно вычислить возмущенные переменные ${\eta }_i$ по правилам невозмущенного движения (44), если мы, не меняя времени $t$ или начальных значений $e_i$ этих переменных, которые определяют начальную конфигурацию, изменим (в общем) начальные скорости и направления путем прибавления к элементам $p_i$ следующих возмущающих членов :
$$\mathrm{\Delta }{p}_1=\frac{\delta S_2}{\delta e_1},\mathrm{\Delta }{p}_2=-\frac{\delta S_2}{\delta e_2},\dots ,\mathrm{\Delta }{p}_{3n}=\frac{\delta S_2}{\delta e_{3n}}.$$

Это представляет собой замечательный результат, охватывающий всю теорию возмущений. Мы можем вывести из него частные производные ${\eta }_i^{\prime }$ или связанные с ней величины ${\overline{\omega }}_i$, которые определяют возмущенные направления и скорости движения в любое время $t$. Однако аналогичное рассуждение тотчас дает общее выражение :
$${\overline{\omega }}_i^{\prime }=\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_i}+{\psi }_1(t,e_1,e_2,\dots ,e_{3n},p+\frac{⌜\delta S_2}{\delta e_1},p_2+\frac{\delta S_2}{\delta e_2},\dots ,p_{3n}+\frac{\delta S_2}{\delta e_{3n}}),$$

откуда следует, что после того, как мы изменим начальные скорости и направления или элементы $p_i$, как и раньше, при помощи возмущающих членов (M), можно применить правила невозмущенного движения (45) для вычисления скоростей и направлений во время $t$ или переменных величин $\overline{\omega }$, если, в конце концов, применить к вычисленным таким образом величинам следующие новые поправки на возмущение:
$$\mathrm{\Delta }{\overline{\omega }}_1=\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_1},\mathrm{\Delta }{\overline{\omega }}_2=\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_2},\dots ,\mathrm{\Delta }{\overline{\omega }}_{3n}=\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_{3n}}.$$