После проведенной подготовки можно составить дифференциальные уравнения движения**). Я пользуюсь здесь принципом Гамильтона. Так как не действуют никакие силы, то следует положить
\[
\int \delta T d t=0,
\]

причем следует соблюдать соответствующий способ варьирования. Так как система координат $x, y, z$ мыслится. связанной с шаром, то кинетическая энергия есть раз навсегда заданная функция величин $p, q, r, u, v, w$, и мы получаем
\[
\int\left(\frac{\partial T}{\partial p} \delta p+\frac{\partial T}{\partial p} \delta q+\frac{\partial T}{\partial r} \delta r+\frac{\partial T}{\partial u} \delta u+\frac{\partial T}{\partial v} \delta v+\frac{\partial T}{\partial w} \delta w\right) d t=0 .
\]

Надо выразить встречающиеся здесь вариации составляющих скорости Вариация движения здесь производится опять так, что сначала каждое из пробегаемых в первоначальном движении положений получает малое перемещение. Перемещение разлагается на вращение вокруг центра шара и поступательное перемещение. Вращение и поступательное перемещение дают по осям $x, y, z$ составляющие $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ и $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$. Вариации составляющих скоростей представляются формулами***)
\[
\left.\begin{array}{l}
\delta p=\frac{d p^{\prime}}{d t}+q r^{\prime}-q^{\prime} r, \\
\delta q=\frac{d q^{\prime}}{d t}+r p^{\prime}-r^{\prime} p \\
\delta r=\frac{d r^{\prime}}{d t}+p q^{\prime}-p^{\prime} q
\end{array}\right\}
\]

и формулами
\[
\left.\begin{array}{c}
\delta u=\frac{d u^{\prime}}{d t}+v r^{\prime}-v^{\prime} r+w^{\prime} q-w q^{\prime}, \\
\delta v=\frac{d v^{\prime}}{d t}+w p^{\prime}-w^{\prime} p+u^{\prime} r-u r^{\prime}, \\
\delta w=\frac{d w^{\prime}}{d t}+u q^{\prime}-u^{\prime} q+v^{\prime} p-v p^{\prime} .
\end{array}\right\}
\]

Вывод этих формул основывается на перестановке символов $\frac{d}{d t}$ и $\delta$. Такая перестановка допустима, если время не варьируется, а это как раз и является условием варьирования для принципа Гамильтона.

Теперь в уравнении (37) мы вводим вместо $\delta p, \delta q, \delta r, \delta u, \delta v, \delta w$ правые части уравнений (38) и (39). Принимая во внимание, что вариации для начала и конца рассматриваемого интервала должны обращаться в нуль,

мы получаем после некоторых интегрирований по частям:
\[
\begin{array}{l}
\int\left\{\left(-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial p}+r \frac{\partial T}{\partial q}-q \frac{\partial T}{\partial r}+w \frac{\partial T}{\partial v}-v \frac{\partial T}{\partial w}\right) p^{\prime}+\right. \\
\quad+\left(-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q}+p \frac{\partial T}{\partial r}-r \frac{\partial T}{\partial p}+u \frac{\partial T}{\partial w}-w \frac{\partial T}{\partial u}\right) q^{\prime}+ \\
\quad+\left(-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial r}+q \frac{\partial T}{\partial p}-p \frac{\partial T}{\partial q}+v \frac{\partial T}{\partial u}-u \frac{\partial T}{\partial u}\right) r^{\prime}+ \\
\quad+\left(-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial u}+r \frac{\partial T}{\partial v}-q \frac{\partial T}{\partial w}\right) u^{\prime}+\left(-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v}+p \frac{\partial T}{\partial w}-r \frac{\partial T}{\partial u}\right) v^{\prime}+ \\
\left.\quad+\left(-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial w}+q \frac{\partial T}{\partial u}-p \frac{\partial T}{\partial v}\right) w^{\prime}\right\} d t=0
\end{array}
\]

До сих пор в этом параграфе не применялось условие, наложенное на движение. Так как шар должен катиться без скольжения, то и перемещения, соответствующие вариациям, которые являются виртуальными перемещениями, должны быть чистым качением. Каждое из этих малых перемещений разлагается на вращение и поступательное перемещение, и составляющие такого вращения и такого поступательного перемещения должны быть связаны соотношениями. Эти соотношения аналогичны соотношениям (36); они таковы :
\[
u^{\prime}=a\left(\gamma_{3} q^{\prime}-\gamma_{2} r^{\prime}\right), \quad v^{\prime}=a\left(\gamma_{1} r^{\prime}-\gamma_{3} p^{\prime}\right), \quad w^{\prime}=a\left(\gamma_{2} p^{\prime}-\gamma_{1} q^{\prime}\right) .
\]

Если мы введем эти значения $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$ в уравнение (40), то получим (так как составляющие $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ вращения произвольны) следующие уравнения:
\[
\begin{array}{r}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial p}-a \gamma_{3} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v}+a \gamma_{2} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial w}-r \frac{\partial T}{\partial q}+q \frac{\partial T}{\partial r}-a\left(\gamma_{3} r+\gamma_{2} q\right) \frac{\partial T}{\partial u}+ \\
+\left(-w+a \gamma_{2} p\right) \frac{\partial T}{\partial v}+\left(v+a \gamma_{3} p\right) \frac{\partial T}{\partial w}=0, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q}-a \gamma_{1} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial w}+a \gamma_{3} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial u}-p \frac{\partial T}{\partial r}+r \frac{\partial T}{\partial p}-a\left(\gamma_{1} p+\gamma_{3} r\right) \frac{\partial T}{\partial v}+ \\
+\left(-u+a \gamma_{3} q\right) \frac{\partial T}{\partial w}+\left(w+a \gamma_{1} q\right) \frac{\partial T}{\partial u}=0, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial r}-a \gamma_{2} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial u}+a \gamma_{1} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v}-q \frac{\partial T}{\partial p}+p \frac{\partial T}{\partial q}-a\left(\gamma_{2} q+\gamma_{1} p\right) \frac{\partial T}{\partial w}+ \\
+\left(-v+a \gamma_{1} r\right) \frac{\partial T}{\partial u}+\left(u+a \gamma_{2} r\right) \frac{\partial T}{\partial v}=0 .
\end{array}
\]

Это – искомые дифференциальные уравнения, которыми в соединении с условием (36) определяется движение *).