1. Известные дифференциальные уравнения движения системы свободных точек, отталкивающих или притягивающих друг друга согласно любым функциям их расстояний и не возмущенных какой-либо внешней силой, могут быть представлены следующей формулой:
\[
\text { ” } m\left(x^{\prime \prime} \delta x+y^{\prime \prime} \delta y+z^{\prime \prime} \delta z\right)=\delta U .
\]

В этой формуле знак суммирования $\Sigma$ распространяется на все точки системы : $m$ – для любой такой точки это константа, называемая ее массой ; $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}$ – компоненты ускорения или вторые производные прямоугольных координат $x, y, z$, взятые по времени ; $\delta x, \delta y, \delta z$ – любые произвольные бесконечно малые смещения, которые может получить точка в тех же трех взаимно-перпендикулярных направлениях ; $\delta U$ представляет собой бесконечно малую, соответствующую этим смещениям вариацию функции $U$ масс

и взаимных расстояний отдельных точек системы, форма которой зависит от законов их взаимодействия согласно уравнению:
\[
U=\Sigma m m_{1} \cdot f(r),
\]

причем $r$ представляет собой расстояние между любыми двумя точками $m$, $m_{1}$, а функция $f(r)$ такова, что ее производная или дифференциал $f(r)$ выражает закон их отталкивания, являясь отрицательной в случае притяжения. Функция, обозначенная здесь $U$, может быть названа силовой функцией системы; она в высшей степени полезна в теоретической механике, в которую она была введена Лагранжем $\left[{ }^{66}\right]$ и дает следующие изящные формы дифференциальных уравнений движения, входящих в формулу (1):
\[
\left.\begin{array}{ll}
m_{1} x_{1}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta x_{1}}, & m_{2} x_{2}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta x_{2}}, \ldots, m_{n} x_{n}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta x_{n}} ; \\
m_{1} y_{1}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta y_{1}}, & m_{2} y_{2}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta y_{2}}, \ldots, m_{n} y_{n}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta y_{n}} ; \\
m_{1} z_{1}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta z_{1}}, & m_{2} z_{2}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta z_{2}}, \ldots, m_{n} z_{n}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta z_{n}},
\end{array}\right\}
\]

причем вторые члены этих уравнений представляют собой частные производные первого порядка функции $U\left[{ }^{67}\right]$. Однако, несмотря на изящество и простоту этого хорошо известного способа изложения главной задачи динамики, трудность решения этой задачи, или хотя бы выражения ее решения, до сих пор казалась непреодолимой, так что до сих пор для этих общих уравнений системы, состоящей из $n$ точек, было найдено только семь промежуточных интегралов или интегралов первого порядка с таким же числом произвольных постоянных вместо $3 n$ промежуточных и $3 n$ конечных интегралов, включающих $6 n$ постоянных. Кроме того, не найден такой интеграл относительно движения, который не нужно было бы проинтегрировать вновь. Не найдено также общее решение, определяющее (как это следует требовать от полного решения) $3 n$ отношений между $n$ массами $m_{1}, \ldots, m_{n}$, $3 n$ переменными координатами $x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$, переменным временем $t$ и $6 n$ начальными данными задачи, а именно начальными координатами $a_{1}, b_{1}, c_{1}, \ldots, a_{n}, b_{n}, c_{n}$ и их начальными скоростями $a_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, c_{1}^{\prime}, \ldots$, $a_{n}^{\prime}, b_{n}^{\prime}, c_{n}^{\prime}$; величины, названные здесь начальными, – это те, которые соответствуют произвольному началу времени. Однако (как будет видно далее) эти давно искомые зависимости можно выразить при помощи частных производных новой центральной или главной функции, к отысканию и использованию которой сводится трудность математической динамики.
2. Если мы для краткости напишем:
\[
T=\frac{1}{2} \Sigma m\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right),
\]

причем $2 T$ означает, как в «Mecanique Analytique», полную живую силу [ $\left.{ }^{68}\right]$ системы ( $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ по аналогии с нашим предыдущим обозначением представляют собой прямоугольные компоненты скорости точки $m$, или первые производные ее координат, взятые по времени) ; удобное и хорошо известное сочетание дифференциальных уравнений движения, получаемое путем замены вариаций координат их дифференциалами в формуле (1), может быть выражено следующим образом:
\[
d T=d U,
\]

что дает по интегрировании знаменитый закон живой силы :
\[
T=U+H .
\]

В этом выражении, которое представляет собой один из семи упомянутых выше известных интегралов, величина $H$ не зависит от времени и не меняется при переходе точек системы от одной группы положений к другой. Например, исходное уравнение, соответствующее начальному моменту времени, может быть написано следующим образом :
\[
T_{0}=U_{0}+H .
\]

Однако величина $H$ может получить любое произвольное приращение, когда мы мысленно переходим от системы, движущейся по одному пути, к той же системе, движущейся по другому пути, при тех же динамических соотношениях между ускорениями и положениями ее точек, но при различных начальных данных ; полученное таким образом приращение $H$, очевидно, связано с аналогичными приращениями функций $T$ и $U$ при помощи отношения
\[
\Delta T=\Delta U+\Delta H,
\]

а это в случае бесконечно малых изменений удобно записать следующим образом :
\[
\delta T=\delta U+\delta H .
\]

Это последнее отношение, будучи помножено на $d t$ и проинтегрировано, приводит к важному результату, ибо посредством (4) и (1) оно принимает следующий вид :
\[
\begin{array}{l}
\int \Sigma^{\prime} m\left(d x \cdot \delta x^{\prime}+d y \cdot \delta y^{\prime}+d z \cdot \delta z^{\prime}\right)=\int \Sigma^{\prime} m\left(d x^{\prime} \delta x+\right. \\
\left.+d y^{\prime} \cdot \delta y+d z^{\prime} \cdot \delta z\right)+\int \delta H d t,
\end{array}
\]

что дает согласно принципам вариационного исчисления
\[
\delta V=\Sigma^{\prime} m\left(x^{\prime} \delta x+y^{\prime} \delta y+z^{\prime} \delta z\right)-\Sigma^{\prime} m\left(a^{\prime} \delta a+b^{\prime} \delta b+c^{\prime} \delta c\right)+t \delta H,
\]

если мы обозначим через $V$ интеграл
\[
V=\int \Sigma^{\prime} m\left(x^{\prime} d x+y^{\prime} d y+z^{\prime} d z\right)=\int_{0}^{t} 2 T d t,
\]

а именно, накопленную живую силу, часто называемую действием системы от ее начального до конечного положения.

Если же мы будем рассматривать (и, как легко заметить, мы имеем на это право) действие $V$ как функцию начальных и конечных координат и величины $H$, то мы получим посредством (A) следующие группы уравнений : во-первых,
\[
\left.\begin{array}{lll}
\frac{\delta V}{\delta x_{1}}=m_{1} x_{1}^{\prime}, & \frac{\delta V}{\delta x_{2}}=m_{2} x_{2}^{\prime}, \ldots, & \frac{\delta V}{\delta x_{n}}=m_{n} x_{n}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V}{\delta y_{1}}=m_{1} y_{1}^{\prime}, & \frac{\delta V}{\delta y_{2}}=m_{2} y_{2}^{\prime}, \ldots, & \frac{\delta V}{\delta y_{n}}=m_{n} y_{n}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V}{\delta z_{1}}=m_{1} z_{1}^{\prime}, & \frac{\delta V}{\delta z_{2}}=m_{2} z_{2}^{\prime}, \ldots, & \frac{\delta V}{\delta z_{n}}=m_{n} z_{n}^{\prime} ;
\end{array}\right\}
\]

во-вторых,
\[
\left.\begin{array}{lll}
\frac{\delta V}{\delta a_{1}}=-m_{1} a_{1}^{\prime}, & \frac{\delta V}{\delta a_{2}}=-m_{2} a_{2}^{\prime}, \ldots, & \frac{\delta V}{\delta a_{n}}=-m_{n} a_{n}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V}{\delta b_{1}}=-m_{1} b_{1}^{\prime}, & \frac{\delta V}{\delta b_{2}}=-m_{2} b_{2}^{\prime}, \ldots, & \frac{\delta V}{\delta b_{n}}=-m_{n} b_{n}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V}{\delta c_{1}}=-m_{1} c_{1}^{\prime}, & \frac{\delta V}{\delta c_{2}}=-m_{2} c_{2}^{\prime}, \ldots, & \frac{\delta V}{\delta c_{n}}=-m_{n} c_{n}^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

и, наконец, уравнение,
\[
\frac{\delta V}{\delta H}=t
\]

Таким образом, если бы эта функция $V$ была известна, оставалось бы только исключить $H$ из $3 n+1$ уравнений (C) и (E) для того, чтобы получить все $3 n$ промежуточных интегралов или из (D) и (E) для того, чтобы получить все $3 n$ конечных интегралов дифференциальных уравнений движения, т. е. получить искомые $3 n$ зависимости между $3 n$ переменными координатами и временем, включающие также массы и упомянутые выше $6 n$ начальных данных. Открытие этих зависимостей (как мы уже говорили) представляло бы собой общее решение общей задачи динамики. Таким образом, мы по крайней мере свели общую задачу к отысканию и дифференцированию единственной функции $V$, которую мы будем называть характеристической функцией движения системы, а уравнение (А), выражающее фундаментальный закон ее вариации, будем называть уравнением характеристической функции или законом переменного действия.
3. Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше $6 n+1$ величин, а именно начальных и конечных координат и величины $H$, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными $3 n$ зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные $3 n+1$ зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с $H$. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная $H$. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно: 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы; 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион-

ного исчисления получить дифференциальные уравнения движения второго порядка, которые всегда можно получить другим путем. Поэтому Лагранж [ $\left.{ }^{69}\right]$, Лаплас и Пуассон $\left[{ }^{70}\right]$, по-видимому, не без основания пренебрежительно отзывались о полезности этого принципа при тогдашнем состоянии динамики. Возможно, что иной принцип, который вводится в настоящей работе под названием закона переменного действия, в котором мы переходим от действительного движения к другому, динамически возможному движению, варьируя крайние положения системы и (в общем) величину $H$, и который служит для выражения посредством единственной функции не только дифференциальных уравнений движения, но и их промежуточных и конечных интегралов, встретит другую оценку.