Кроме того недостатка, что при обычном способе выражения принципа наименьшего действия теорема живых сил не вводится в интеграл, выражающий этот принцип, плохо еще то, что обычно говорят: интеграл должен быть наибольшим или наименьшим; между тем надо сказать: его первая вариация должна обращаться в нуль. Смешение этих никоим образом не тождественных требований так вошло в обычай, что его едва можно поставить в упрек авторам. На этой почве между Лагранжем и Пуассоном произошло замечательное qui pro quo, которое относится к кратчайшей линии. Лагранж говорит совершенно справедливо, что в этом случае интеграл никогда не может сделаться максимумом, потому что как ни длинна будет кривая, соединяющая две точки на данной поверхности, всегда можно найти еще более длинную, а отсюда он заключает, что интеграл всегда должен быть минимумом. Напротив, Пуассон, который знал, что интеграл в известных случаях, в частности для замкнутой поверхности, за известными границами перестает быть минимумом, заключил отсюда, что в этих случаях интеграл должен быть максимумом. Оба заключения неправильны ; в случае кратчайших линий интеграл во всяком случае никогда не будет максимумом, а будет либо минимумом, либо ни тем, ни другим, – ни максимумом, ни минимумом.

Исключение времени из интеграла, рассматриваемого при получении принципа наименьшего действия, должно производиться обязательно при помощи принципа живой силы, а не при помощи принципа площадей или какого-либо другого интегрального уравнения задачи ; только таким путем можно придти к принципу наименьшего действия. Лагранж в одном месте говорит, что он в Туринском Мемуаре вывел дифференциальные уравнения движения из принципа наименьшего действия в соединении с принципом живых сил. Такой способ выражения после сделанных выше замечаний не допустим. Лагранж применил только что открытое им вариационное исчисление к использованному уже Эйлером принципу наименьшего действия, но употребил при этом принцип живых сил в расширенном виде, приданном

ему Даниилом Бернулли, и таким образом пришел к общему символическому уравнению динамики, из которого мы исходили и которое мы здесь еще раз напишем :
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right\}=\sum\left(X \delta x_{i}+Y \delta y_{i}+Z \delta z_{i}\right),
\]

где в правой части надо поставить $\delta U$, когда имеет место принцип живых сил. Если отвлечься от того, что $\delta U$ в принятом в вариационном исчислении смысле только тогда может быть поставлена в правой части уравнения, когда величины $X, Y, Z$ являются частными производными одной и той же функции $U$, и рассматривать $\delta U$ просто как символическое сокращенное обозначение, то равенство
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right\}=\delta U
\]

будет служить также и для того случая, когда теорема живых сил не имеет места. Это уравнение, как уже раньше было упомянуто, справедливо также и тогда, когда имеются условные уравнения, но тогда вариации не будут больше зависимы друг от друга. Если имеется $m$ условных уравнений
\[
f=0, \quad \varphi=0, \ldots,
\]

то между вариациями тоже существует $m$ условных уравнений :
\[
\left.\begin{array}{l}
\Sigma\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0, \\
\Sigma\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0
\end{array}\right\}
\]

и т.д.
При помощи этих $m$ уравнений можно исключить из уравнения (1) $m$ из $3 n$ вариаций $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$, и если после этого оставшиеся вариации положить независимыми друг от друга, то символическое уравнение (1) распадется на дифференциальные уравнения движения. Но это исключение было бы очень затруднительно и имело бы, кроме того, некоторые неприятные стороны ; во-первых, пришлось бы некоторые координаты предпочесть другим, и поэтому получились бы несимметричные формулы, а, во-вторых, для различного числа условных уравнений получалась бы различная форма результатов исключения, вследствие чего общность исследования была бы сильно затруднена. Все эти трудности преодолел Лагранж введением множителей (метод, который уже Эйлер часто употреблял в задачах «de maximis et minimis»). Так как в уравнения (1) и (4) вариации $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ входят линейно, то исключение $m$ из них можно произвести следующим образом. Умножаем уравнения (4) соответственно на множители $\lambda, \mu, \ldots$ и складываем их с (1); полученное уравнение назовем ( $\alpha$ ).

Определяем теперь множители $\lambda, \mu, \ldots$ так, чтобы в уравнении $(\alpha)$ $m$ выражений, умноженных на вариации $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}, \ldots$, тождественно обращались в нуль; тогда, приравняв нулю выражения, умноженные на остальные $3 n-m$ вариаций, получим дифференциальные уравнения задачи. Таким образом, видим, что в уравнении ( $\alpha$ ) все $3 n$ выражений, умноженных на $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}, \ldots$, надо положить равными нулю и рассматривать эти уравнения так, что $m$ из них определяют множители $\lambda, \mu, \ldots$, а остальные, в которые надо подставить найденные таким образом множители, дают дифференциальные уравнения задачи. Другими словами, из $3 n$ уравнений, на которые распадается уравнение ( $\alpha$ ), если все вариации рассматривать

как независимые, надо исключить $m$ множителей $\lambda, \mu, \ldots$, и тогда получатся $3 n-m$ дифференциальных уравнений задачи. Но вместо того, чтобы производить это исключение, лучше оставить неизвестные множители в $3 n$ уравнениях и исследовать дальше эти последние ; они будут тогда иметь вид:
\[
\begin{array}{l}
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=X_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\ldots, \\
m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=Y_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\ldots, \\
m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=Z_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}+\ldots,
\end{array}
\]

где для всех $n$ значений $i$ везде входят одни и те же множители $\lambda, \mu, \ldots$ Это и есть та форма, которую Лагранж дал уравнениям движения системы, связанной любыми условиями.

Величины, прибавленные к силам $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$, выражают действие системы, т. е. изменение, которое приложенные силы претерпевают благодаря связям материальных точек. К этому же результату приходят в статике, когда доказывают, что в случае, когда в $n$ точках системы приложены силы
\[
\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\ldots, \quad \lambda \frac{\partial l}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\ldots, \quad \lambda \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}+\ldots,
\]

параллельные координатным осям, то эти силы уничтожаются связями системы, откуда вытекает, что уничтожаемые связями системы силы не определены, но содержат неопределенные величины $\lambda, \mu, \ldots$ Поэтому введение множителей $\lambda, \mu, \ldots$ не есть просто искусственный прием вычисления, 一 на самом деле эти величины имеют в статике вполне определенное значение. От только что приведенной теоремы статики можно теперь перейти к уравнениям (5) движения, притом основывая переход от статики к механике на следующем рассуждении.

Благодаря связям системы материальные точки не могут следовать сообщенным им импульсам. Чтобы получить истинное движение, надо присоединить такие силы, комплекс которых уничтожался бы связями системы и после присоединения которых систему можно было бы рассматривать так, будто точки следуют приложенным к ним силам без сопротивления; другими словами, после присоединения сил, уничтожающихся связями системы, можно рассматривать систему как свободную. Это можно установить как принцип, и из него сами собою получатся уравнения (5).

Именно этот принцип, давший нам благодаря присутствию связей системы изменение сил, вызывающих ускорение, служит также и для того, чтобы найти изменение мгновенных сил, возникающее под действием связей системы. Формулы, которые тут надо применить, совершенно те же самые. Если на точку $m_{i}$ действуют мгновенные импульсы $a_{i}, b_{i}, c_{i}$, то, принимая во внимание связи системы, получим следующие измененные импульсы :
\[
\left.\begin{array}{c}
a_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\ldots, \\
b_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\ldots, \\
c_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\mu_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где величины $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ снова остаются одними и теми же для всех точек системы.

Если мы хотим определить величины $\lambda, \mu, \ldots$ и $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$, то надо дифференцировать уравнения $f=0, \quad \varphi=0, \ldots$ Для определения величин $\lambda, \mu, \ldots$ их надо продифференцировать два раза и затем подставить вторые производные координат из уравнений (5); для определения же величин $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ их нужно дифференцировать только один раз, так как мгновенные импульсы пропорциональны скоростям, т. е. первым производным. Разложим, в самом деле, уравнения для определения $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$, предполагая, что мгновенные импульсы $a_{i}, b_{i}, c_{i}$ действуют в начале движения и что система в этот момент находится в полном покое. При таких обстоятельствах мы можем для начала движения совсем не принимать во внимание силы, вызывающие ускорение, так как эти силы могут дать только бесконечно малые скорости, поэтому мы должны для определения $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ составить дифференциальные уравнения
\[
\begin{array}{l}
\sum\left\{\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{d f}{\partial z_{i}} \frac{d z_{i}}{d t}\right\}=0 \\
\sum\left\{\frac{\partial \varphi}{d x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \frac{d z_{i}}{d t}\right\}=0,
\end{array}
\]

и т. д. и подставить в них вместо $\frac{d x_{i}}{d t}, \frac{d y_{i}}{d t}, \frac{d z_{i}}{d t}$ величины (6), разделив их предварительно на $m_{i}$. Это дает следующий результат : полагаем
\[
\begin{array}{l}
A=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} a_{i}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} b_{i}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} c_{i}\right), \\
B=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} a_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} b_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} c_{i}\right), \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
(f, f)=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}\right), \\
(f, \varphi)=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}\right), \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{array}
\]

тогда для определения $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ имеем уравнения :
\[
\left.\begin{array}{l}
0=A+(f, f) \lambda_{1}+(f, \varphi) \mu_{1}+(f, \psi)
u_{1}+\ldots, \\
0=B+(\varphi, f) \lambda_{1}+(\varphi, \varphi) \mu_{1}+(\varphi, \psi)
u_{1}+\ldots, \\
0=C+(\psi, f) \lambda_{1}+(\psi, \varphi) \mu_{1}+(\psi, \psi) v_{1}+\ldots
\end{array}\right\}
\]

и т. д.
Той же формы будут уравнения для определения $\lambda, \mu, \ldots$, только тут $A, B, C, \ldots$ принимают другие значения.

Возвращаемся теперь к дифференциальным уравнениям (5). Если мы их помножим соответственно на $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ и сложим все $3 n$ произведений, то получим снова символическое уравнение, которое мы обозначили выше через ( $\alpha$ ), именно :
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right)=\delta U+\lambda \delta f+\mu \delta \varphi+\ldots ;
\]

это уравнение равнозначно системе (5).

Чтобы рассмотреть всю совокупность задач, которые содержатся в уравнениях (5), мы должны принять во внимание случай, когда в условия входит явно время ; тогда тоже имеют место уравнения (5). Чтобы получить представление о том, как время может входить в условия, предположим, например, что материальные точки связаны с подвижными центрами, движение которых дано; связь эта такова, что центры действуют на материальные точки, не вызывая реакции. Но для этого предположения необходимо дать подвижным центрам массы, которые по сравнению с массами материальных точек бесконечно велики. В этом случае без дальнейших рассуждений берем для материальных точек уравнения (5) ; подвижные же центры сохраняют без изменения данные им движения. В самом деле, пусть $M$ будет масса одного центра, принимаемая за бесконечно большую, $p$ – одна из его координат ; тогда сила, действующая в направлении координаты $p$, пропорциональна $M$; если мы назовем ее $M P$, то имеем, принимая во внимание связи системы,
\[
M \frac{d^{2} p}{d t^{2}}=M P+\lambda \frac{\partial f}{\partial p}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial p}+\ldots
\]

После деления на бесконечно большую массу $M$ получим
\[
\frac{d^{2} p}{d t^{2}}=P,
\]

все же остальные члены выпадут. То же получим для прочих координат, т. е. центры следуют данным им движениям, не обращая внимания на связи. Значения $\lambda, \mu, \ldots$ и $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ будут здесь, конечно, другие, чем раньше, так как при дифференцировании присоединяются еще частные производные по $t$. Например, к $A$ (уравнения (7)) присоединяется член $\frac{\partial f}{\partial t}$, к $B$-член $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ и т. д.

Однако время может входить в условия совершенно иначе, например, когда связь двух точек ослабляется или расширяется, хотя бы при возрастании температуры ; но все условия такого рода можно свести к подвижным центрам, если только взять как основное положение, что две связи, которые приводят к одним и тем же уравнениям; могут заменять одна другую.

Время, кроме того, может еще очень затруднить дело, если, например, с течением времени меняются массы. Но до сих пор не было необходимости делать это предположение для мировой системы, так как наблюдения, нужные, чтобы решить, имеет ли оно место, еще недостаточно точны.