Мы переходим теперь к новому принципу, который уже не дает, подобно прежним, интеграла $\left[{ }^{134}\right]$. Это есть \”principe de la moindre action», неправильно называемый принципом наименьшего действия. Значение его заключается, во-первых, в той форме, которую он придает дифференциальным уравнениям движения, во-вторых, в том, что он дает функцию, которая обращается в минимум, когда удовлетворяются эти дифференциальные уравнения. Хотя такой минимум существует во всех задачах, но, как правило, неизвестно, где его искать. Поэтому, в то время как самое интересное в этом принципе то, что вообще можно получить минимум, раньше придавали преувеличенное значение тому, что такой минимум существует. Пример принципа, о котором идет речь, встречается в уже ранее цитированной статье Эйлера «De motu projectorum».

После того как Эйлер доказал этот принцип для случая притяжения к неподвижным центрам, ему не удалось доказать его для взаимных притяжений, для которых было неизвестно значение принципа живой силы ; поэтому он довольствуется тем заявлением, что для случая взаимных притяжений выкладки были бы слишком длинны, но принцип наименьшего действия должен и здесь иметь место, так как основные положения здоровой метафизики показали, что силы природы всегда обязательно должны производить наименьшее действие (как он думал, благодаря присущей телам инертности). Но этого не показывает ни здоровая и никакая вообще метафизика, и на самом деле Эйлера побудило к такой фразе только неправильное понимание названия «наименьшее действие». Мопертюи хотел этим названием выразить, что природа свои действия производит с наименьшей затратой сил, и в этом заключается истинное значение названия «principe de la moindre action».

Почти во всех учебниках, даже и в лучших, как Пуассона, Лагранжа и Лапласа, этот принцип представлен так, что, по моему мнению, его нельзя понять. Именно, говорится, что интеграл
\[
\int \sum m_{i} v_{i} d s_{i}
\]
(где $v_{i}=\frac{d s_{t}}{d t}$ обозначает скорость точки $m_{i}$ ) должен быть минимумом, если интегрирование производится от одного положения системы до другого. При этом, правда, говорится, что теорема применима только в том случае, если имеет место теорема живых сил, но при этом забывают сказать, что при

помощи теоремы живых сил необходимо исключить из предыдущего интеграла время и все свести к пространственным элементам. Минимум предыдущего интеграла надо понимать так, что когда даны начальное и конечное положения системы, то из всех возможных путей, ведущих из одного положения в другое, для действительно пробегаемого пути интеграл будет минимумом [135].
Исключим время из предыдущего интеграла. Так как $\boldsymbol{v}_{i}=\frac{d s i}{d t}$, то
\[
\int \Sigma m_{i} \boldsymbol{v}_{i} d s_{i}=\int \frac{\Sigma m_{i} d s_{i}^{2}}{d t} .
\]

Но по теореме живых сил
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}=U+h\left[{ }^{136}\right],
\]

или
\[
\begin{array}{c}
\frac{\Sigma m_{i} d s_{i}^{2}}{d t^{2}}=2(U+h), \\
\frac{1}{d t}=\sqrt{\frac{2(U+h)}{\Sigma m_{i} d s_{i}^{2}}} .
\end{array}
\]

Если внести это значение $1 / d t$, то получим
\[
\int \sum m_{i} v_{i} d s_{i}=\int \sqrt{2(U+\bar{h})} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}} .
\]

Дифференциальные уравнения движения дают после интегрирования $3 n$ координаты задачи, выраженные через время; но из двух таких выражений для координат можно исключить время и получить при желании $3 n-1$ координат, выраженных через одну из них, например через $x_{1}$. При таком предположении можно вместо $\sum m_{i} d s_{i}^{2}$ подставить $\sum m_{i}\left(\frac{d s_{i}}{d x_{1}}\right)^{2} d x_{1}^{2}$, и тогда получится интеграл в форме
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left(\frac{d s_{i}}{d x_{1}}\right)^{2} d x_{1}^{2}}
\]

с которой связано теперь вполне определенное понятие.
Напишем теперь, чтобы не давать ни одной из координат предпочтения, интеграл в прежней форме:
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}} ;
\]

тогда мы можем принцип наименьшего действия выразить так:
Если даны два положения системы (т.е. если известны значения, которые принимают для $x_{1}=$ а и $x_{1}=$ остальные $3 n-1$ координат) и интеграл
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}
\]

распространен на весь путь системы от первого ее положения до второго, то его значение будет для истинного пути минимумом по сравнению со всеми остальными возможными путями, т. е. с такими, которые совместны с условиями системы (если таковые существуют). Таким образом,
\[
\int \sqrt{2(U+\bar{h})} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}
\]

будет минимумом или
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}=0\left[{ }^{13 i}\right] .
\]

Теперь уже трудно найти метафизическую причину для принципа наименьшего действия, когда он, какэто необходимо, выражен в этой истинной форме. Существуют minima совсем другого рода, из которых тоже можно получить дифференциальные уравнения движения и которые в этом отношении обещают много больше.

Принципу наименьшего действия должно быть поставлено еще одно ограничение. Именно, минимум интеграла имеет место не между двумя любыми положениями системы, но только тогда, когда конечное и начальное положения достаточно близки друг к другу [138]. Мы сейчас объясним, какую границу здесь нельзя перехходить.

Рассмотрим сначала один особенный случай. Пусть единственная материальная точка двигается по данной поверхности под влиянием начального толчка, и пусть на нее не действуют силы притяжения. В этом случае $U=0$, а сумма $\Sigma m_{i} d s_{i}^{2}$ превращается в $m d s^{2}$; таким образом, $\int d s$ или $s$ будет минимумом, т.е. материальная точка описывает кратчайшую линию на данной поверхности. Но кратчайшие линии сохраняют свое свойство быть минимумом только между известными границами; например, на шаре, где кратчайшими линиями служат большие круги, это свойство не имеет места, как только будем рассматривать длину, которая больше, чем $180^{\circ}$. Чтобы это увидеть, не надо обращаться к дополнению до $360^{\circ}$, что ничего не доказало бы, так как minima должны иметь место всегда только по отношению к бесконечно близко лежащим линиям; мы убеждаемся в этом иным способом. Пусть $B$ будет полюсом $A$; продолжим большой круг $A \alpha B$ через $B$ до $C$ и проведем большой круг $A \beta B$ бесконечно близко к $A \alpha B$; тогда $A \alpha B C=A \beta B+B C=A \beta+\beta B+B C$. Далее, пусть $\beta$ лежит бесконечно близко к $B$, а $\beta C$ есть дуга большого круга; тогда $\beta C<\beta B+B C$ Рис. 1. и, следовательно, ломаная линия $A \beta+\beta C$ меньше, чем большой круг $A \alpha B C$. Таким образом, на шаре $180^{\circ}$ есть граница минимальных свойств. Чтобы эту границу определить в общем случае, я установил путем более глубоких исследований следующую теорему.

Если из какой-нибудь точки поверхности провести по всем направлениям кратчайшие линии, то могут встретиться два случая: две бесконечно близкие кратчайшие линии либо проходят все время одна возле другой, не пересекаясь, либо они вновь пересекаются, и тогда последовательность всех точек пересечения образует их огибающую кривую. В первом случае кратчайшие линии никогда не перестают быть кратчайшими, во втором они будут таковыми только до точки касания с огибающей кривой.

Первое имеет место, как это само собой разумеется, для всех развертывающихся поверхностей, так как на плоскости прямые, проходящие через одну точку, никогда вновь не пересекаются; далее, как я нашел, это имеет место для всех вогнуто-выпуклых поверхностей, т. е. для таких, у которых два взаимно-перпендикулярных нормальных сечения имеют радиусы кривизны, направленные в противоположные стороны, например для однополостного гиперболоида и для гиперболического параболоида. Из этого, впрочем, не следует, что не могут сушествовать вогнуто-вогнутые поверхности, которые не принадлежали бы к этой категории, по крайней мере невозможность такого случая не доказана.

Пример второго рода дает эллипсоид вращения. Возьмем его мало отличающимся от шара; тогда кратчайшие линии, которые проходят через

любую точку поверхности, хотя и не будут, как на шаре, пересекаться все в полюсе, но будут в окрестности полюса иметь маленькую огибающую кривую. При поверхностном рассмотрении это обстоятельство кажется парадоксальным; действительно, огибающая кривая вообще имеет то свойство, что система кривых, которые она огибает, не может входить во внутреннюю ее область. Поэтому должна была бы существовать часть поверхности, обладающая тем свойством, что в любую точку пространства, ограниченного этой поверхностью, нельзя провести из данной точки кратчайшую линию, что невозможно. Но парадокс этот выясняется при более точном исследовании огибающей кривой, как видно из прилагаемого чертежа, на котором $A B C D$ изображает огибающую кривую, которая приблизительно имеет вид эволюты эллипса, а $E F G$ – кратчайшую линию. Она выходит из $E$, входит в часть поверхности, ограниченную огибающей, касается ее в точке $F$ и перестает с этого места быть кратчайшей линией. Это свойство кратчайших линий, что они перестают быть таковыми после соприкосновения с общей их огибающей, найдено, как сказано, путем глубоких исследований; но после того как оно найдено, его легко увидеть, потому что когда две бесконечно близкие кратчайшие линии пересекаются, в их точке пересечения обращается в нуль не только первая, но и вторая вариация, и разность сводится, таким образом, к бесконечно малым величинам третьего порядка, т. е. не будет никакого минимума.
Мы возвращаемся теперь снова к общему рассмотрению минимума для принципа наименьшего действия. Произвольные постоянные, которые получаются после интегрирования дифференциальных уравнений движения, определятся всего проще через начальные положения иначальные скорости движения; черезэти начальные данные определятся все постоянные интегрирования, так что не может быть никакой многозначности. Но в принципе наименьшего действия предполагаются заданными не начальные положения и начальные скорости, а начальные и конечные положения системы. Поэтому, чтобы найти истинное движение, надо решить уравнения, определяющие начальные скорости из конечных положений. Эти уравнения не обязательно будут линейными, вследствие чего можно получить несколько систем значений начальных скоростей, и им соответствует тогда несколько движений системы из данных начальных положений в данные конечные положения, и все эти движения дают minima относительно бесконечно близких к ним движений. Если теперь интервал начальных и конечных положений изменять непрерывно, начиная от нуля, то различные системы значений, которые получаются при решении уравнений для начальных скоростей, также будут изменяться. Когда при таком изменении систем значений наступит случай, что две системы значений равны друг другу, то это и будет границей, за которой нет больше минимума.

Эту теорему, которая, кстати сказать, не имеет никакого значения для механики в узком смысле, я опубликовал в журнале Крелля*), но только как заметку без доказательства. Как пример к ней, рассмотрим движение планет вокруг Солнца. Даны : фокус $A$ эллипса как местоположение Солнца, большая ось эллипса и, кроме того, два положения $p$ и $q$ планеты. Обозначим

второй, пока неизвестный, фокус через $B$; тогда через данные отрезки определятся расстояния точки $B$ от обоих положений планеты $p$ и $q$, а именно, эти расстояния равны $a-A p$ и $a-A q$ благодаря известному свойству эллипса. Но это дает для $B$ два положения $B$ и $B^{\prime}$, одно выше, другое ниже линии, соединяющей $p$ и $q$. Таким образом, получаются два эллипса, а вместе с тем также два движения планеты, которые возможны при заданных отрезках. Чтобы оба решения совпали, точки $B$ и $B^{\prime}$ должны лежать на линии, соединяющей $p$ и $q$, т. е. $p, B$ и $q$ должны лежать на одной прямой, а тогда $q$ совпадает с $p^{\prime}$. Таким образом, $p^{\prime}$ обозначает границу, за которую нельзя распространять интеграл, имеющий начало в $p$, так, чтобы он не переставал быть минимумом.

Мы возвращаемся теперь к собственно механическому значению принципа наименьшего действия. Оно состоит в том, что в уравнении (1) этой лекции заключаются основные уравнения динамики в том случае, когда имеет место принцип живой силы. В самом деле, уравнение (1) имело вид
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{m_{i} d s_{i}^{2}}=0 .
\]

Рис. 3.
Здесь после исключения времени все координаты можно выразить как функции одной из них, например $x_{1}$, и поэтому можно написать:
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left(\frac{d s_{i}}{d x_{1}}\right)^{2}} d x_{1}^{2}=0
\]

или
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d x_{1}}\right)^{2}\right\}} d x_{1}=0 .
\]

Если положим теперь
\[
\frac{d x_{i}}{d x_{1}}=x_{i}^{\prime}, \quad \frac{d y_{i}}{d x_{1}}=y_{i}^{\prime}, \quad \frac{d z_{i}}{d x_{1}}=z_{i}^{\prime},
\]

T0
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)} d x_{1}=0 .
\]

Вводя обозначения
\[
2(U+h)=A, \quad \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)=B, \quad \sqrt{A} \sqrt{B}=P,
\]

имеем, наконец,
\[
\delta \int P d x_{1}=0
\]

откуда получаем правило: подставляем в $\int P d x_{1}$ вместо $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ соответственно $x_{i}+\delta x_{i}, y_{i}+\delta y_{i}, z_{i}+\delta z_{i}$, где $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ обозначают произвольные функции, умноженные на бесконечно малый множитель $\alpha$ и не обращающиеся в бесконечность внутри границ интегрирования, разлагаем по степеням $\alpha$, и тогда полагаем член, умноженный на первую степень $\alpha$, равным нулю. При этом надо заметить, что, во-первых, так как границы интегрирования даны, то от них не будет никаких вариаций, во-вторых, что по той же причине все вариации на границах должны исчезать и, наконец, что $\delta x_{1}$ вообще есть нуль, так как $x_{1}$ – независимая переменная.

Поэтому по правилам вариационного исчисления получаем
\[
\begin{array}{c}
\delta \int P d x_{1}=\int \delta P d x_{1}= \\
=\int \sum\left(\frac{\partial P}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial P}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial P}{\partial z_{i}} \delta z_{i}+\frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \delta x_{i}^{\prime}+\frac{\partial P}{\partial y_{i}^{\prime}} \delta y_{i}^{\prime}+\frac{\partial P}{\partial z_{i}^{\prime}} \delta z_{i}^{\prime}\right) d x_{1} .
\end{array}
\]

Ho
\[
\int \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \delta x_{i}^{\prime} d x_{1}=\int \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \frac{d \delta x_{i}}{d x_{1}} d x_{1}=\frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \delta x_{i}-\int \frac{d \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}} \delta x_{i} d x_{1}
\]

или, так как $\delta x_{i}$ исчезает на границах интегрирования,
\[
\int \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \delta x_{i}^{\prime} d x_{1}=-\int \frac{d-\frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}} \delta x_{i} d x_{1} .
\]

Подобные же уравнения получатся для $y_{i}$ и $z_{i}$; пользуясь ими, получим
\[
\begin{aligned}
\delta \int P d x_{1}=\int \sum\left[\left(\frac{\partial P}{\partial x_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}\right) \delta x_{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial y_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial y_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}\right) \delta y_{i}+\right. \\
\left.+\left(\frac{\partial P}{\partial z_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial z_{i}^{i}}}{d x_{1}}\right) \delta z_{i}\right] d x_{1} .
\end{aligned}
\]

Ho
\[
\begin{aligned}
P=\sqrt{A} \sqrt{B}, \quad A & =2(U+h), \quad B=\sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right), \\
\frac{\partial P}{\partial x_{i}} & =\frac{1}{2} \sqrt{\frac{B}{A}} \frac{\partial A}{\partial x_{i}^{\prime}}=\sqrt{\frac{B}{A}} \frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \\
\frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} & =\frac{1}{2} \sqrt{\frac{A}{B}} \frac{\partial B}{\partial x_{i}^{\prime}}=\sqrt{\frac{A}{B}} m_{i} x_{i}^{\prime} ;
\end{aligned}
\]

следовательно,
\[
\frac{\partial P}{\partial x_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}=\sqrt{\frac{B}{A}} \frac{\partial U}{\partial x_{i}}-\frac{d\left(m_{i} \sqrt{\frac{A}{B}} \frac{d x_{i}}{d x_{1}}\right)}{d x_{1}} .
\]

Если теперь положим (см. стр. 298)
\[
\sqrt{\frac{\bar{B}}{A}} d x_{1}=d t
\]

то получим
\[
\frac{\partial P}{\partial x_{i}}-\frac{d \cdot \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\top}}}{d x_{1}}=\sqrt{\frac{B}{A}}\left(\frac{\partial U}{\partial x_{1}}-m \frac{d^{2} x_{i}}{d l^{2}}\right)
\]

и подобные же уравнения для $y_{i}$ и $z_{i}$. Введя эти выражения, найдем
\[
\begin{aligned}
\delta \int P d x_{1}=\int \sqrt{\frac{B}{A}} \sum\left\{\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} x^{2}}{d t^{2}}\right) \delta x_{i}+\right. & \left(\frac{\partial U}{\partial y_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right) \delta y_{i}+ \\
& \left.+\left(\frac{\partial U}{\partial z_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right) \delta z_{i}\right\} d x_{1} .
\end{aligned}
\]

Но так как по нашему принципу эта вариация должна исчезнуть, то имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
0=\sum\left\{\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}\right) \delta x_{i}+\left(\frac{\partial U}{\partial y_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right) \delta y_{i}+\left(\frac{\partial U}{\partial z_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right) \delta z_{i}\right\} \\
\text { или } \\
\sum m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right)=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right),
\end{array}\right\}
\]

а это есть прежнее символическое уравнение [139].
Уравнение (2) есть не что иное, как теорема живых сил : действительно, при помощи квадратуры получаем
\[
B d x_{1}^{2}=A d t^{2}
\]

или
\[
\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}=2(U+h) .
\]

Это можно было предвидеть, так как мы исключили время из интеграла принципа наименьшего действия при помощи теоремы живых сил.