Определение е 1. Элемент пути материальной системы называется более прямым, чем какой-либо другой, если он имеет меньшую кривизну.
Определение 2. Прямейшим элементом пути называется возможный элемент пути, являющийся более прямым, чем все другие возможные элементы путей, которые имеют вместе с ним общее положение и направление.
Определение 3. Путь называется самым прямым, если все элементы его самые прямые.
Аналитическое представление. Все элементы пути, среди которых есть прямейший элемент, имеют общее положение и направление, т. е. имеют одинаковые значения координат и первых производных от координат по независимым переменным. Кривизна их выражается через вторые производные от координат. С помощью их и различаются элементы пути. Ясно, что вторые производные должны быть такими функциями координат и первых производных, которые обращали бы кривизну самого прямого элемента в минимум.
Уравнения, которые выражают это условие, должны выполняться для всех положений прямейшего пути; они, таким образом, являются одновременно дифференциальными уравнениями.
3адача 1. Выразить дифференциальные уравнения прямейшего пути материальной системы в прямоугольных координатах материальной системы.
Возьмем в качестве независимого переменного длину пути. Так қак имеются в виду возможные пути, то $3 n$ величин $x_{
u}^{\prime}$ согласно пп. 128 и $100\left[{ }^{178}\right]$ подчиняются $i$ уравнениям:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} x_{L^{
u}} x_{v}^{\prime}=0 \text {. }
\]

Следовательно, $3 n$ величин $x_{v}^{\prime \prime}$ подчиняются $i$ уравнениям:
\[
\sum_{
u=1}^{3 n} x_{L^{
u}} x_{
u}^{\prime \prime}+\sum_{
u=1}^{3 n} \sum_{\mu=1}^{3 n} \frac{\partial x_{L_{
u}}}{\partial x_{\mu}} x_{
u}^{\prime} x_{\mu}^{\prime}=0,
\]

которые получаются из (а) посредством дифференцирования.

Предполагая (b) непротиворечивыми, мы должны так определить $x_{v}^{\prime \prime}$, чтобы они обращали кривизну $c$ (п. 106) или, что то же самое, $\frac{1}{2} c^{2}$ в минимум, а именно, выражение
\[
\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{3 n} \frac{m_{v}}{m} x_{v}^{\prime \prime 2}
\]

должно принять минимальное значение.
По правилам дифференциального исчисления поступаем следующим образом: умножаем каждое из уравнений (b) на неопределенный множитель, который для $L$-го уравнения назовем $\Xi_{L}$; далее, суммируем частные производные по каждой из величин $x_{v}^{\prime \prime}$ левой стороны полученных уравнений с частными производными, взятыми по той же величине от формы (с), которую следует привести к минимуму; приравниваем полученные суммы нулю и получаем $3 n$ уравнений вида
\[
\frac{m_{v}}{m} x_{v}^{\prime \prime}+\sum_{L=1}^{i} x_{L}, \Xi_{L}=0,
\]

которые с $i$ уравнениями (b) дают для определения $3 n+i$ величин $x_{
u}^{\prime \prime}$ и $\Xi$ $3 n+i$ линейных однородных уравнений, и, следовательно, имея в виду (c), найдем наименьшую кривизну. Выполнение (d) для всех положений возможного пути является, таким образом, необходимым условием для того, чтобы путь был прямейшим, и уравнения (d) являются, следовательно, искомыми дифференциальными уравнениями прямейшего пути.
Примечание 1. Уравнения (d) представляют также и достаточные условия минимума, ибо вторые производные
\[
\frac{\partial^{2} c^{2}}{\partial x_{v}^{*} \partial x_{\mu}^{*} z_{2}^{2}} .
\]

исчезают, коль скоро $
u$ и $\mu$ различные; если же $v$ и $\mu$ равны, то они необходимо положительны. Следовательно, значение кривизны не может иметь других значений, кроме минимума. Выполнение уравнений (d) для всех положений возможного пути есть, следовательно, достаточное условие того, чтобы путь был прямейшим.
Примечание 2. Имея в виду п. $72[179]$, можно уравнения (d) записать так:
\[
\sqrt{\frac{m_{
u}}{m}} \cdot \frac{d}{d s} \cos \left(s, x_{v}\right)=-\sum_{L=1}^{i} x_{L}, \Xi_{L} .
\]

Уравнения (d) дают, следовательно, представление о том, как должно меняться направление вдоль пути, чтобы путь был прямейшим; именно, каждое из этих уравнений дает изменение наклона пути относительно некоторой определенной прямоугольной координаты.
3адача 2. Выразить в обобщенных координатах дифференциальные уравнения прямейшего пути материальной системы.
Возьмем опять в качестве независимого переменного длину пути. Координаты $p_{\varrho}$ и их производные $p_{\varrho}^{\prime}$ удовлетворяют $k$ уравнениям п. 130:
\[
\sum_{\rho=1}^{r} p_{\varkappa e} p_{Q}^{\prime}=0
\]

а величины $p_{\varrho}^{\prime \prime}$ – уравнениям:
\[
\sum_{\varrho=1}^{r} p_{\varkappa \varrho} p_{\varrho}^{\prime \prime}+\sum_{\varrho=1}^{r} \sum_{\sigma=1}^{r} \frac{\partial p_{\star \varrho}}{\partial p_{\sigma}} p_{\varrho}^{\prime} p_{\sigma}^{\prime}=0 .
\]

Среди всех значений $p_{\varrho}^{\prime \prime}$, удовлетворяющих этим уравнениям, имеются те, которые обращают кривизну $c$, а следовательно, и правую сторону уравнения (с) п. 108 в минимум. Если мы поступим по правилам дифференциального исчисления, как в п. 155 , т. е. введем множитель $\Pi_{x}$, на который умножим $x$-е уравнение (b), то получим необходимое условие минимума в форме:
\[
\sum_{\sigma=1}^{r} a_{\varrho \sigma} p_{\sigma}^{\prime \prime}+\sum_{\sigma=1}^{r} \sum_{\tau=1}^{r}\left(\frac{\partial a_{\rho \sigma}}{\partial p_{\tau}}-\frac{1}{2} \frac{\partial a_{\sigma \tau}}{\partial p_{\varrho}}\right) p_{\sigma}^{\prime} p_{\tau}^{\prime}+\sum_{\varkappa=1}^{k} p_{\varkappa \varrho} \Pi_{\varkappa}=0,
\]

где $\varrho$ для каждого уравнения получает определенное значение от 1 до $r$. Вместе с уравнениями (b) они образуют $r+k$ неоднородных линейных уравнений для определения $r+k$ величин $p_{\varrho}^{\prime \prime}$ и $\Pi_{\varkappa}$, а затем по п. $108\left[{ }^{180}\right]$ определяется наименьшая кривизна. Выполнение уравнений (с) для всех положений пути является необходимым условием для того, чтобы путь был прямейшим.
Примечание 1. Выполнение уравнений (с) является вместе с тем и достаточным условием для минимума кривизны, а следовательно, и для прямейшего пути. Ибо п. 108 есть лишь трансформация п. 106 для кривизны. Следовательно, здесь, как и в п. 156, найдем, что уравнения (с) достаточны для минимума кривизны, т. е. для прямейшего пути [181].
Примечание 2. Согласно п. 75 имеем
\[
\sqrt{a_{\varrho \varrho}} \cos \left(\widehat{s, p_{\varrho}}\right)=\sum_{\sigma=1}^{r} a_{\varrho \sigma} p_{\sigma}^{\prime},
\]

следовательно,
\[
\frac{d}{d s}\left(\sqrt{a_{\varrho \varrho}} \cos \left(\widehat{s, p_{\varrho}}\right)\right)=\sum_{\sigma=1}^{r} a_{\varrho \sigma} p_{\sigma}+\sum_{\sigma=1}^{r} \sum_{\tau=1}^{r} \frac{\partial a_{\varrho \sigma}}{\partial p_{\tau}} p_{\sigma}^{\prime} p_{\tau}^{\prime} .
\]

Поэтому уравнения (158) можно записать в таком виде:
\[
\frac{d}{d s}\left(\sqrt{a_{\varrho \varrho}} \cos \left(s, p_{\varrho}\right)\right)=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1}^{r} \sum_{\tau=1}^{r} \frac{\partial a_{\sigma \tau}}{\partial p_{\varrho}} p_{\sigma}^{\prime} p_{\tau}^{\prime}-\sum_{\gamma=1}^{k} p_{\varkappa \varrho} \Pi_{x} .
\]

Уравнения (с) п. 158 дают, следовательно, представление о том, как должно меняться направление вдоль пути, чтобы путь оставался прямейшим. Именно, каждое из этих уравнений дает изменение наклона пути отнөсительно определенной координаты $p_{\varrho}$.
Торема. Из данного положения в данном направлении возможен один и только один прямейший путь. Ибо, если заданы положение и направление, то уравнения пп. 158 и 155 определяют, и притом однозначно, значения для изменения направления; следовательно, они через данные величины однозначно определяют начальное положение и направление в ближайшем элементе пути; таким же образом – для следующего элемента и т. д. до бесконечности.
Следствие. Вообще невозможно провести прямейший путь между двумя любыми положениями заданной системы.
Ибо множество возможных перемещений из данного положения равно числу свобод движения системы. Многообразие возможных направлений в одном положении и поэтому многообразие прямейших путей из него на единицу меньше. Многообразие положений, которые достигаются из данного положения прямейшими путями, так же точно равно числу степеней свободы. Однако многообразие возможных положений может равняться числу используемых координат, а поэтому вообще число их больше, чем число направлений.

3амечание 1. Для того чтобы все прямейшие пути материальной системы, положения которой отмечаются с помощью ре, можно было представить уравнениями только между этими координатами, не является необходимым знание каких-либо $3 n$ функций, которые полностью определяют положение отдельных точек системы как функции $p_{e}$. Для этого, напротив, достаточно, чтобы наряду с уравнениями условий системы, выраженными через $p_{\varrho}$, были даны $\frac{1}{2} r(r+1)$ величин $a_{\varrho \sigma}$ как известные функции от $p_{\varrho}$.
Ибо дифференциальные уравнения прямейшего пути (158c) могут быть записаны явно, когда наряду с $p_{\varkappa}$ заданы $a_{\varrho \sigma}$ как функции $p_{\varrho}$.
3амечание 2. Для того чтобы прямейший путь материальной системы, положение которой определяется с помощью $p_{\varrho}$, выразить через уравнения для этих $p_{e}$, достаточно, наряду со знанием уравнений условий для $p_{\ell}$, знания любого бесконечно малого возможного перемещения как функции этих координат $p_{e}$ и их изменений.
Именно, если $d s$ является указанной длиной в требуемой форме, то будет иметь место
\[
a_{\varrho \sigma}=\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} d s^{2}}{\partial d p_{\varrho} \partial d p_{\sigma}} .
\]
3амечание 3. Для того чтобы знать значение кривизны в каждом положении прямейшего пути, недостаточно знания $\frac{1}{2} r(r+1)$ функций $a_{\varrho \sigma}$. Необходимо еще знание $\frac{1}{4} r^{2}(r+1)^{2}$ функций $a_{\varrho \sigma \lambda \mu}$ п. 108 [182 ].
Знание положения всех отдельных точек как функций $p_{e}$ также не является необходимым для определения кривизны.