31. Возвращаясь теперь от движения единственной точки к более важному исследованию системы притягивающихся или отталкивающихся точек, получим дифференциальные уравнения (A), которые могут быть представлены следующим образом :
\[
d t \delta H=\Sigma(d \eta \delta \bar{\omega}-d \bar{\omega} \delta \eta),
\]

а для того, чтобы отделить абсолютное движение всей системы в пространстве от движения ее точек относительно друг друга, примем следующие отметки положения :
\[
x_{n}=\frac{\Sigma m x}{\Sigma m}, \quad y_{n}=\frac{\Sigma m y}{\Sigma m}, \quad z_{n}=\frac{\Sigma m z}{\Sigma m}
\]

и
\[
\xi_{i}=x_{i}-x_{n}, \quad \eta_{i}=y_{i}-y_{n}, \quad \zeta_{i}=z_{i}-z_{n} .
\]

Это три прямоугольные координаты центра тяжести системы, отнесенные к началу координат, закрепленному в пространстве, и $3 n-3$ прямоугольные координаты $n-1$ масс $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n-1}$, отнесенные к $n$-й массе $m_{n}$, как к внутреннему или движущемуся началу координат, но с осями, параллельными первым [118].
Затем мы найдем, как и в предшествующей статье*),
\[
\begin{aligned}
T=\frac{1}{2}\left(x_{\prime \prime}^{\prime 2}+y_{\prime \prime}^{\prime 2}+z_{\prime \prime}^{\prime 2}\right) \Sigma m & +\frac{1}{2}
u^{\prime} m\left(\xi^{\prime 2}+\eta^{\prime 2}+\zeta^{\prime 2}\right)- \\
& -\frac{1}{2 \Sigma m}\left\{\left(\Sigma, m \xi^{\prime}\right)^{2}+\left(\Sigma, m \eta^{\prime}\right)^{2}+\left(\Sigma, m \zeta^{\prime}\right)^{2}\right\},
\end{aligned}
\]

причем знак суммирования $\Sigma$, относится только к первым $n-1$ массам. Поэтому
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2 \Sigma m}\left\{\left(\frac{\delta T}{\delta x_{\prime \prime}^{\prime \prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta T}{\delta y_{\prime \prime}^{\prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta T}{\delta z_{z_{\prime}^{\prime \prime}}}\right)^{2}\right\}+ \\
& +\frac{1}{2} \Sigma, \frac{1}{m}\left\{\left(\frac{\delta T}{\delta \xi^{\prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta T}{\delta \zeta^{\prime}}\right)^{2}\right\}+ \\
& +\frac{1}{2 m_{n}}\left\{\left(\Sigma, \frac{\delta T}{\delta \xi^{\prime}}\right)^{2}+\left(\Sigma, \frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime}}\right)^{2}+\left(\Sigma, \frac{\delta T}{\delta \xi^{\prime}}\right)^{2}\right\} .
\end{aligned}
\]

Если мы затем положим для сокращения :
\[
\left.\begin{array}{l}
x^{\prime}=\frac{1}{m} \frac{\delta T}{\delta \xi^{\prime}}=\xi^{\prime}-\frac{\Sigma, m \xi^{\prime}}{\Sigma m} \\
y^{\prime}=\frac{1}{m} \frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime}}=\eta^{\prime}-\frac{\Sigma^{\prime} m \eta^{\prime}}{\Sigma m}, \\
z^{\prime}=\frac{1}{m} \frac{\delta T}{\delta \zeta^{\prime}}=\zeta^{\prime}-\frac{\Sigma, m \zeta^{\prime}}{\Sigma m},
\end{array}\right\}
\]

то получим выражение
\[
\begin{aligned}
H=\frac{1}{2}\left(x_{l \prime}^{\prime 2}+y_{n}^{\prime 2}+z_{l \prime}^{\prime 2}\right) \Sigma & m+\frac{1}{2} \Sigma, m\left(x_{\prime}^{\prime 2}+y_{\prime}^{\prime 2}+z_{\prime}^{\prime 2}\right)+ \\
& +\frac{1}{2 m_{n}}\left\{\left(\Sigma, m x_{\prime}^{\prime}\right)^{2}+\left(\Sigma, m y_{\prime}^{\prime}\right)^{2}+\left(\Sigma, m z_{\prime}^{\prime}\right)^{2}\right\}-U .\left(\mathrm{B}^{2}\right)
\end{aligned}
\]

Вариацию этого выражения следует сравнить со следующей формой ( $\mathrm{A}^{2}$ ): $d t \delta H=\left(d x_{\prime \prime} \delta x_{\prime \prime}^{\prime}-d x_{\prime \prime}^{\prime} \delta x_{\prime \prime}+d y_{n} \delta y_{\prime \prime}^{\prime}-d y_{\prime \prime}^{\prime} \delta y_{\prime \prime}+d z_{\prime \prime} \delta z_{\prime \prime}^{\prime}-d z_{\prime \prime}^{\prime} \delta z_{n}\right) \Sigma m+$
\[
+\Sigma, m\left(d \xi \delta x^{\prime}-d x^{\prime} \delta \xi+d \eta \delta y^{\prime}-d y^{\prime} \delta \eta+d \zeta \delta z^{\prime}-d z^{\prime} \delta \zeta\right),
\]

чтобы образовать посредством нашего общего метода $6 n$ дифференциальных уравнений движения первого порядка между $6 n$ величинами $x_{n}, y_{n}, z_{n}$, $x_{n}^{\prime}, y_{n}^{\prime}, z_{l}^{\prime}, \xi, \eta, \zeta, x_{1}^{\prime}, y_{1}^{\prime}, z_{\prime}^{\prime}$ и временем $t$. Определяя таким образом вариацию $H$, мы должны помнить, что силовая функция $U$ зависит только от $3 n-3$ внутренних координат $\xi, \eta, \zeta$ и имеет вид
\[
\begin{array}{l}
U=m_{n}\left(m_{1} f_{1}+m_{2} f_{2}+\ldots+m_{n-1} f_{n-1}\right)+ \\
\quad+m_{1} m_{2} f_{1,2}+m_{1} m_{3} f_{1,3}+\ldots+m_{n-2} m_{n-1} f_{n-2, n-1},
\end{array}
\]

где $f_{i}$ есть функция расстояния $m_{i}$ от $m_{n}$, а $f_{i, k}$ – функция расстояния $m_{i}$ от $m_{k}$, так что их производные функции или первые дифференциальные коэффициенты, взятые по расстояниям, выражают законы взаимного отталкивания, являясь отрицательными в случае притяжения.

Далее, мы получим две отдельные группы уравнений: для движения всей системы точек в пространстве и для движения этих точек относительно друг друга, а именно, во-первых, группу
\[
\left.\begin{array}{ll}
d x_{n}=x_{\prime \prime}^{\prime} d t, & d x_{n}^{\prime}=0 \\
d y_{n}=y_{n}^{\prime} d t, & d y_{n}^{\prime}=0 \\
d z_{n}=z_{n}^{\prime} d t, & d z_{\prime \prime}^{\prime}=0
\end{array}\right\}
\]

и, во-вторых, группу
\[
\left.\begin{array}{ll}
d \xi=\left(x^{\prime}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma, m x^{\prime}\right) d t, & d x^{\prime}=\frac{1}{m} \frac{\delta U}{\partial \xi} d t \\
d \eta=\left(y^{\prime}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma, m y^{\prime}\right) d t, & d y^{\prime}=\frac{1}{m} \frac{\delta U}{\delta \eta} d t \\
d \zeta=\left(z^{\prime}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma, m z^{\prime}\right) d t, & d z_{\prime}^{\prime}=\frac{1}{m} \frac{\delta U}{\delta \xi} d t
\end{array}\right\}
\]

Шесть дифференциальных уравнений первого порядка (181), связывающих $x_{1 \prime}, y_{n}, z_{n}, x_{n}^{\prime}, y_{n \prime}^{\prime}, z_{n}^{\prime}$ и $t$, содержат закон прямолинейного и равномерного движения центра тяжести системы, а $6 n-6$ уравнений того же порядка (182), связывающих $6 n-6$ переменных $\xi, \eta, \zeta, x_{1}^{\prime}, y_{\prime}^{\prime}, z^{\prime}$ и время, являются формами дифференциальных уравнений внутреннего или относительного движения. Мы могли бы исключить $3 n-3$ вспомогательных переменных $x_{\prime}^{\prime}, y_{\prime}^{\prime}, z_{\prime}^{\prime}$ в этих последних уравнениях и получить таким образом еще одну группу $3 n-3$ уравнений второго порядка, включающую только относительные координаты и время:
\[
\left.\begin{array}{c}
\xi^{\prime \prime}=\frac{1}{m} \frac{\delta U}{\delta \xi}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma, \frac{\delta U}{\delta \xi}, \\
\eta^{\prime \prime}=\frac{1}{m} \frac{\delta U}{\delta \eta}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma, \frac{\delta U}{\delta \eta}, \\
\zeta^{\prime \prime}=\frac{1}{m} \frac{\delta U}{\delta \zeta}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma, \frac{\delta U}{\delta \xi} .
\end{array}\right\}
\]

Для многих целей удобнее оставить уравнения (182), опустив, однако, для простоты нижние штрихи вспомогательных переменных $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, так как легко доказать, что эти вспомогательные переменные (180) являются компонентами центробарической скорости [ $\left.{ }^{119}\right]$, и поэтому при исследо-

вании свойств внутреннего или относительного движения мы можем предположить, что центр тяжести системы закреплен в пространстве в начале координат $x, y, z$. Мы можем также для простоты опустить нижний штрих в $\Sigma$, подразумевая, что суммирование должно распространяться только на первые $n-1$ массы, и обозначая для большей определенности $n$-ю массу посредством особого символа $M$. Тогда можно выразить дифференциальные уравнения относительного движения следующей упрощенной формулой:
\[
d t \delta H=\Sigma m\left(d \xi \delta x^{\prime}-d x^{\prime} \delta \xi+d \eta \delta y^{\prime}-d y^{\prime} d \eta+d \zeta \delta z^{\prime}-d z^{\prime} \delta \zeta\right),
\]

в которой
\[
H=\frac{1}{2} \Sigma m\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)+\frac{1}{2 M}\left\{\left(\Sigma m x^{\prime}\right)^{2}+\left(\Sigma m y^{\prime}\right)^{2}+\left(\Sigma m z^{\prime}\right)^{2}\right\}-U .
\]

Интегралы этих уравнений относительного движения содержатся (согласно нашему общему методу) в формуле
\[
d S=\Sigma m\left(x^{\prime} d \xi-a^{\prime} \delta \alpha+y^{\prime} \delta \eta-b^{\prime} \delta \beta+z^{\prime} \delta \zeta-c^{\prime} \delta \gamma\right),
\]

в которой $\alpha, \beta, \gamma, a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ обозначают первоначальные величины $\xi, \eta, \zeta, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, а $S$ является главной функцией относительного движения системы, т. е. это рассмотренная ранее функция $S$, упрощенная посредством опускания той части, которая исчезает при закреплении центра тяжести.

Функция $S$ дает в общем виде законы движения этого центра или интегралы уравнений (181).

Второй пример: случай тройной или множественной системы с одной преобладающей массой; уравнения невозмущенных движений других масс в отдельных бинарных системах относительно этой преобладающей массы; дифференциалы всех их элементов, выраженные посредством коэффициентов одной возмущающей функции.
32. Предположим теперь, что $n-1$ массы малы по сравнению с $n$-й массой $M$, и разделим выражение ( $\mathrm{F}^{2}$ ) для $H$ на две следующие части :
\[
\left.\begin{array}{l}
H_{1}=\Sigma \frac{m}{2}\left(1+\frac{m}{M}\right)\left(x^{\prime 2}+y^{2}+z^{\prime 2}\right)-M \Sigma m f, \\
H_{2}=\frac{m_{1} \bar{m}_{2}}{M}\left(x_{1}^{\prime} x_{2}^{\prime}+y_{1}^{\prime} y_{2}^{\prime}+z_{1}^{\prime} z_{2}^{\prime}-M f_{1,2}\right)+\ldots \\
\ldots+\frac{m_{i} m_{k}}{M}\left(x_{i}^{\prime} x_{k}^{\prime}+y_{i}^{\prime} y_{k}^{\prime}+z_{i}^{\prime} z_{k}^{\prime}-M f_{i, k}\right)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

из которых последняя мала́ по сравнению с первой и может быть опущена в первом приближении. Пренебрегая ею, мы придем к следующим $6 n-6$ дифференциальным уравнениям первого порядка, относящимся к более простому движению, которое может быть названо невозмущенным:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \xi}{d t}=\frac{1}{m} \frac{\delta H_{1}}{\delta x^{\prime}}=\left(1+\frac{m}{M}\right) x^{\prime} ; \quad \frac{d x^{\prime}}{d t}=-\frac{1}{m} \frac{\delta H_{1}}{\delta \xi}=M \frac{\delta f}{\delta \xi} ; \\
\frac{d \eta}{d t}=\frac{1}{m} \frac{\delta H_{1}}{\delta y^{\prime}}=\left(1+\frac{m}{M}\right) y^{\prime} ; \quad \frac{d y^{\prime}}{d t}=-\frac{1}{m} \frac{\delta H_{1}}{\delta \eta}=M \frac{\delta f}{\delta \eta} ; \\
\frac{d \zeta}{d t}=\frac{1}{m} \frac{\delta H_{1}}{\delta z^{\prime}}=\left(1+\frac{m}{M}\right) z^{\prime} ; \quad \frac{d z^{\prime}}{d t}=-\frac{1}{m} \frac{\delta H_{1}}{\delta \zeta}=M \frac{\delta f}{\delta \zeta} .
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения распадаются на $n-1$ групп, соответствующих $n-1$ двойным системам $(m, M)$. Легко проинтегрировать уравнения каждой группы отдельно. Мы можем предположить далее, что эти интегралы най-

дены в таких формах :
\[
\left.\begin{array}{l}
k=\chi^{(1)}\left(t, \xi, \eta, \zeta, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right), \quad v=\chi^{(4)}\left(t, \xi, \eta, \zeta, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) \\
\lambda=\chi^{(2)}\left(t, \xi, \eta, \zeta, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right), \quad \tau=\chi^{(5)}\left(t, \xi, \eta, \zeta, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right), \\
\mu=\chi^{(3)}\left(t, \xi, \eta, \zeta, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right), \quad \omega=\chi^{(6)}\left(t, \xi, \eta, \zeta, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Шесть величин $k, \lambda, \mu, v, \tau, \omega$ являются константами невозмущенного движения какой-либо одной двойной системы. Поэтому шесть функций, таких, как $\chi^{(1)}, \chi^{(2)}, \chi^{(3)}, \chi^{(4)}, \chi^{(5)}, \chi^{(6)}$, или $k, \lambda, \mu, v, \tau, \omega$ тождественно удовлетворяют следующему уравнению :
\[
0=m \frac{\delta k}{\delta t}+\frac{\delta k}{\delta \xi} \frac{\delta H_{1}}{\delta x^{\prime}}-\frac{\delta k}{\delta x^{\prime}} \frac{\delta H_{1}}{\delta \xi}+\frac{\delta k}{\delta \eta} \frac{\delta H_{1}}{\delta y^{\prime}}-\frac{\delta k}{\delta y^{\prime}} \frac{\delta H_{1}}{\delta \eta}+\frac{\delta k}{\delta \zeta} \frac{\delta H_{1}}{\delta z^{\prime}}-\frac{\delta k}{\delta z^{\prime}} \frac{\delta H_{1}}{\delta \zeta},
\]

и пяти другим аналогичным уравнениям для пяти остальных элементов $\lambda, \mu,
u, \tau, \omega$ какой-либо двойной системы ( $m, M$ ).
33. Возвращаясь теперь к первоначальной множественной системе, мы можем оставить уравнения ( $\mathrm{K}^{2}$ ) как определения, но тогда уже не можем больше рассматривать элементы $k_{i}, \lambda_{i}, \mu_{i}, v_{i}, \tau_{i}, \omega_{i}$ двойной системы $\left(m_{i}, M\right)$ как постоянные, потому что система возмущается теперь другими массами $m_{k}$.

Однако $6 n-6$ уравнений возмущенного относительного движения, когда мы их запишем в форме
\[
\left.\begin{array}{ll}
m \frac{d \xi}{d t}=\frac{\delta H_{1}}{\delta x^{\prime}}+\frac{\delta H_{2}}{\delta x^{\prime}}, & m \frac{d x^{\prime}}{d t}=-\frac{\delta H_{1}}{\delta \xi}-\frac{\delta H_{2}}{\delta \xi}, \\
m \frac{d \eta}{d t}=\frac{\delta H_{1}}{\delta y^{\prime}}+\frac{\delta H_{2}}{\delta y^{\prime}}, & m \frac{d y^{\prime}}{d t}=-\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta}-\frac{\delta H_{2}}{\delta \eta} \\
m \frac{d \zeta}{d t}=\frac{\delta H_{1}}{\delta z^{\prime}}+\frac{\delta H_{2}}{\delta z^{\prime}}, & m \frac{d z^{\prime}}{d t}=-\frac{\delta H_{1}}{\delta \zeta}-\frac{\delta H_{2}}{\delta \zeta}
\end{array}\right\}
\]

и объединим с тождествами вида ( $\mathrm{L}^{2}$ ), дадут нам следующее простое выражение для дифференциала элемента $k$ в его возмущенном и изменяющемся состоянии :
\[
m \frac{d k}{d t}=\frac{\delta k}{\delta \xi} \frac{\delta H_{2}}{\delta x^{\prime}}-\frac{\delta k}{\delta x^{\prime}} \frac{\delta H_{2}}{\delta \xi}+\frac{\delta k}{\delta \eta} \frac{\delta H_{2}}{\delta y^{\prime}}-\frac{\delta k}{\delta y^{\prime}} \frac{\delta H_{2}}{\delta \eta}+\frac{\delta k}{\delta \zeta} \frac{\delta H_{2}}{\delta z^{\prime}}-\frac{\delta k}{\delta z^{\prime}} \frac{\delta H_{2}}{\delta \zeta},
\]

совместно с аналогичными выражениями для дифференциалов других элементов. Если мы выразим $\xi, \eta, \zeta, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ и, следовательно, само $H_{2}$ как функции, зависящие от времени и этих переменных элементов, мы можем преобразовать $6 n-6$ дифференциальных уравнений 1-го порядка ( $\mathrm{M}^{2}$ ), связывающих $\xi, \eta, \zeta, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t$ в такое же число уравнений того же порядка между этими переменными элементами и временем. Они будут иметь такую форму :
\[
\left.\begin{array}{l}
m \frac{d k}{d t}=\{k, \lambda\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda}+\{k, \mu\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \mu}+\{k, v\} \frac{\delta H_{2}}{\delta v}+\{k, \tau\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \tau}+\{k, \omega\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \omega}, \\
m \frac{d \lambda}{d t}=\{\lambda, k\} \frac{\delta H_{2}}{\delta k}+\{\lambda, \mu\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \mu}+\{\lambda, v\} \frac{\delta H_{2}}{\delta v}+\{\lambda, \tau\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \tau}+\{\lambda, \omega\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \omega}, \\
m \frac{d \mu}{d t}=\{\mu, k\} \frac{\delta H_{2}}{\delta k}+\{\mu, \lambda\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda}+\{\mu, v\} \frac{\delta H_{2}}{\delta v}+\{\mu, \tau\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \tau}+\{\mu, \omega\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \omega}, \\
m \frac{d v}{d l}=\{v, k\} \frac{\delta H_{2}}{\delta k}+\{v, \lambda\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda}+\{v, \mu\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \mu}+\{v, \tau\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \tau}+\{v, \omega\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \omega}, \\
m \frac{d \tau}{d t}=\{\tau, k\} \frac{\delta H_{2}}{\delta k^{2}}+\{\tau, \lambda\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda}+\{\tau, \mu\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \mu}+\{\tau, v\} \frac{\delta H_{2}}{\delta
u}+\{\tau, \omega\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \omega}, \\
m \frac{d \omega}{d t}=\{\omega, k\} \frac{\delta H_{2}}{\delta k}+\{\omega, \lambda\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda}+\{\omega, \mu\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \mu}+\{\omega, v\} \frac{\delta H_{2}}{\delta v}+\{\omega, \tau\} \frac{\delta H_{2}}{\delta \tau},
\end{array}\right\}
\]

если мы примем для упрощения, что
\[
\{k, \lambda\}=\frac{\delta k}{\delta \xi} \frac{\delta \lambda}{\delta x^{\prime}}-\frac{\delta k}{\delta x^{\prime}} \frac{\delta \lambda}{\delta \xi}+\frac{\delta k}{\delta \eta} \frac{\delta \lambda}{\delta y^{\prime}}-\frac{\delta k}{\delta y^{\prime}} \frac{\delta \lambda}{\delta \eta}+\frac{\delta k}{\delta \zeta} \frac{\delta \lambda}{\delta z^{\prime}}-\frac{\delta k}{\delta z^{\prime}} \frac{\delta \lambda}{\delta \zeta},
\]

и из этого символа образуем другие символы, $\{k, \mu\},\{\lambda, k\}$ и т. д., путем чередования букв. Очевидно, что эти символы имеют такие свойства :
\[
\{\lambda, k\}=-\{k, \lambda\}, \quad\{k, k\}=0 .
\]

Из п. 15 вытекает, что комбинации $\{k, \lambda\}$ и т. д., представленные в функции этих элементов, не содержат время в явном виде. Существуют, вообще говоря, согласно свойствам (184) только 15 таких различных комбинаций для каждой из $n-1$ систем. Но всего их могло бы быть $15 n-15$, если бы они не допускали дальнейшего сокращения.

Однако из рассмотрения принципов п. 16 следует, что $12 n$ – 12 этих комбинаций могут быть приведены к нулю посредством соответствующего выбора элементов. Ниже предлагается иной путь значительного упрощения уравнений, по крайней мере для обширного класса случаев, в которых невозмущенное расстояние между двумя точками каждой двойной системы $(m, M)$ допускает минимальное значение.