I. Когда Мопертюи, наш достойнейший Президент, открыл два общих принципа, один – для состояния покоя и равновесия, а другой для состояния движения, сначала казалось, что эти два принципа не имеют ничего общего, потому, что основываются на совершенно различных понятиях. Однако я покажу, что оба эти принципа опираются на одно и то же основание и находятся в самой тесной связи, так что если мы соглашаемся с одним, то и не вызывает сомнения другой, иначе говоря, если один прочно установлен, то из этого непосредственно следует строгое доказательство другого. Это замечательное соответствие представляется мне весьма важным, так как оно проливает яркий свет как на один, так и на другой принцип; и чем больше связаны между собой эти два принципа, тем больше они соответствуют простоте Природы.
II. Я начну с общего принципа покоя или равновесия. После того как полностью сформулирую его, в соответствии с объяснением, которое дал Знаменитый Автор в Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris за 1740 г., я с помощью простого рассуждения установлю, что общий принцип движения является необходимым следствием из этого принципа. Очевидно, принцип покоя не может встретить никаких возражений, тем более, что после его Автора я также указал на справедливость этого принципа в огромном числе совершенно различных между собою случаев, поэтому уже одного указанного соответствия будет достаточно для опровержения всех возражений, которые можно сделать против другого принципа – принципа движения. И я надеюсь, что изложение этого соответствия будет наиболее убедительным способом отстоять эти два принципа, а также показать их новизну: до Мопертюи никто, конечно, не имел о них никакого представления.
III. Мопертюи сформулировал закон покоя в таких выражениях:
«Пусть имеется система тел, которые тяготеют или притягиваются к центрам силами, действующими на каждое тело пропорционально $n$-й степени их расстояний до центров ; для того чтобы все эти тела оставались в покое, необходимо, чтобы сумма произведений каждой массы на величину силы и на ( $n+1$ )-ю степень расстояния до центра силы (что можно назвать суммой сил покоя) была максимумом или минимумом». Таким образом, обозначая массу какого-нибудь тела, принадлежащего системе, через $M$, а расстояние этого тела до центра через $z$, к которому оно притягивается с силой $f z^{n}$, получим для тела $M$ произведение $M f z^{n+1}$; сумма всех подобных произведений, соответствующих каждому телу системы, будет максимумом или минимумом, когда тело находится в равновесии.
IV. Чтобы показать справедливость этого закона, Мопертюи рассматривает два случая; в каждом из них имеется система трех тел, связанных между собою. В первом из них он считает эти тела прикрепленными к нема-
териальным радиусам, движущимся вокруг фиксированной точки; во втором он считает их прикрепленными к хордам, соединенным в подвижной точке. И хотя эти два случая совершенно различны между собой, он показывает, что и в первом и во втором случае вышеупомянутый закон выполняется. Полагая массу каждого из трех тел равной $M$, расстояние до центра, к которому оно притягивается, равным $z$ и самую силу равной $f z^{n}$, он показывает с помощью обыкновенных принципов Динамики, что в случае равновесия сумма выражений $M f z^{n} d z$, соответствующих каждому из тел, равна нулю. Отсюда, очевидно, следует, что сумма их интегралов или $\frac{1}{n+1} M f z^{n+1}$ будет максимумом или минимумом, и если показатель $n$ всюду один и тот же, то можно опустить общий коэффициент $\frac{1}{n+1}$.
V. Поскольку оба рассмотренных случая совершенно различны между собою, легко установить, что то же самое правило должно иметь место во всех случаях равновесия трех тел, потому что каково бы ни было состояние тел, оно должно быть свойственно им всем. Очевидно также, что если вместо трех тел система будет составлена из многих и даже из какого угодно числа тел, это правило всегда будет иметь место. Кроме того, не обязательно, чтобы силы были пропорциональны расстояниям в одинаковой степени, если только не пренебрегать коэффициентами $\frac{1}{n+1}$, поскольку они различаются между собою для различных тел, на которые действуют силы.
VI. Ничто не мешает также предположить силы непропорциональными любым функциям расстояний. Так, если какое-либо из тел с массой, равной $M$, и с расстоянием до центра силы, равным $z$, притягивается к этому центру какой-нибудь ускоряющей силой, равной $V$ (вместо $f z^{n}$ ), то с помощью тех же рассуждений найдем, что в состоянии равновесия сумма всех выражений $M V d z$ будет равна нулю. И, следовательно, сумма их интегралов $\int M V d z$ будет максимумом или минимумом. Здесь следует заметить, и это я покажу ниже, что в действительности имеется два вида равновесия, для одного из которых сумма этих выражений является минимумом, а для другого – максимумом.
VII. Если одно и то же тело $M$, являющееся частью системы, увлекается в одно и то же время к различным центрам, от которых оно удалено на расстояния $z, z^{\prime}, z^{\prime \prime}$ и т. д. несколькими ускоряющими силами $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$ и т. д., то каждая сила в отдельности образует для этого тела $M$ выражение указанного выше вида; и полное выражение для этого тела, входящее в формулу максимума или минимума, будет :
\[
\int M V d z+\int M V^{\prime} d z^{\prime}+\int M V^{\prime \prime} d z^{\prime \prime}+\ldots
\]
Или, так как масса тела $M$ постоянна, это выражение примет вид:
\[
M\left(\int V d z+\int V^{\prime} d z^{\prime}+\int V^{\prime \prime} d z^{\prime \prime}+\ldots\right) .
\]
Сумма всех подобных выражений, соответствующих каждому телу системы, будет обязательно максимумом или минимумом в случае равновесия. Или же, так как $M V, M V^{\prime}, M V^{\prime \prime}$ и т. д. выражают движущие силы, то, если обозначим движущие силы через $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$ и т. д., наша формула запишется так:
\[
\int V d z+\int V^{\prime} d z^{\prime}+\int V^{\prime \prime} d z^{\prime \prime}+\ldots
\]
VIII. Не обязательно также рассматривать полные расстояния каждого тела до центров сил, к которым оно притягивается ; для удобства вычисления на направлениях, по которым тела увлекаются, допустимо брать произвольно фиксированные точки и рассматривать расстояния до этих точек.
Пусть эти расстояния будут $v, v^{\prime}, v^{\prime \prime}$ и т. д. в отличие от расстояний $z, z^{\prime}, z^{\prime \prime}$ и т. д. до самых центров. Так как разности между этими расстояниями $z-v$, $z^{\prime}-v^{\prime}, z^{\prime \prime}-v^{\prime \prime}$ постоянны, то получим $d z=d v, d z^{\prime}=d v^{\prime}$ и $d z^{\prime \prime}=d v^{\prime \prime}$, так что выражение для формулы максимума или минимума будет иметь вид :
\[
M\left(\int V d v+\int V^{\prime} d v^{\prime}+\int V^{\prime \prime} d v^{\prime \prime}+\text { и т.д. }\right) .
\]
В нем можно опустить массу $M$, тогда $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$ и т. д. будут выражать уже движущие силы.
IX. Следовательно, если имеется система каких-нибудь тел, находяцаяся в равновесии, то будем рассматривать отдельно каждое тело со всеми, действующими на него силами; в результате этого для тела, масса которого равна $M$, получим формулу
\[
M\left(\int V d v+\int V^{\prime} d v^{\prime}+\int V^{\prime \prime} d v^{\prime \prime}+\text { и т. д. }\right),
\]
где $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$ и т. д. обозначают ускоряющие силы ; но если последние обозначают движущие силы, тогда следует опустить массу $M$, так как она уже содержится в этих обозначениях. Затем из всех этих формул, найденных для каждого тела или каждой частицы системы тел, составим сумму ; эта сумма, являясь максимумом или минимумом, определит состояние равновесия. К этому правилу сводится, следовательно, универсальный принцип равновесия Мопертюи, распространяющийся на все тела, как на твердые, так и на жидкие, как несгибаемые, так и сгибаемые, и даже упругие, как можно видеть из Мемуаров, находящихся в Mém. de l’Acad. Roy. des Sciences et Belles Lettres de Prusse за 1748 г., где я исследовал, что является максимумом или минимумом в состоянии равновесия этих различных видов тел.
X. Так как этот принцип приводит к формуле
Рис. 1.
\[
\int V d v+\int V^{\prime} d v^{\prime}+\int V^{\prime \prime} d v^{\prime \prime}+\text { и т. д. , }
\]
то я позволю себе, как для краткости, так и для точности речи, назвать это выражение особым словом, и мне кажется, что слово усилие [d’effort] было бы наиболее подходящим. Так как сумма всех таких выражений, соответствующих каждому элементу тела, в равновесии является максимумом или минимумом, неплохо было бы сказать, что сумма всех усилий в случае равновесия является наибольшей или наименьшей. Следовательно, если тело $M$ увлекается силами $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$ и т. д., направленными к фиксированным точкам $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$ и т. д., и если расстояния $M V=v, M V^{\prime}=v^{\prime}, M V^{\prime \prime}=v^{\prime \prime}$ и т. д., то yсилие этих сил на тело $M$ будет равно $\int V d v+\int V^{\prime} d v^{\prime}+\int V^{\prime \prime} d v^{\prime \prime}+$ и т. д. или, если буквы $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$ и т. д. выражают ускоряющие силы, то усилие будет равно $M\left(\int V d v+\int V^{\prime} d v^{\prime}+\int V^{\prime \prime} d v^{\prime \prime}+\right.$ и т. д.).
XI. Следовательно, в силу общего принципа покоя Мопертюи ни однотело, как твердое, так и жидкое, не будет находиться в равновесии, если только сумма всех усилий, действующих на каждый элемент тела, не будет наименьшей или наибольшей, насколько это возможно. Однако ниже я покажу, что наибольшая величина имеет место только в исключительно особых случаях, когда равновесие не восстанавливается после его нарушения; во всех других случаях, в которых равновесие постоянно, имеет место наименьшая величина суммы. Я замечу здесь мимоходом, что есть случаи, когда сумма усилий становится равной нулю, но эти случаи не только
не противоречат принципу, но скорее лучше подтверждают его, ибо Природа, имея в виду, так сказать, сделать сумму усилий наименьшей, главной своей целью ставит, без сомнения, заставить ее исчезнуть полностью; когда, и только когда это невозможно, она должна довольствоваться тем, чтобы сделать ее по возможности малой. Таков в нескольких словах принцип равновесия или покоя Мопертюи.
XII. Установив этот принцип для покоя или равновесия, не естественно ли было бы сказать, что тот же принцип имеет место также и при движении тел, увлекаемых подобными же силами, ибо, если замыслом Природы является по возможности наибольшая экономия на сумме усилий, то необходимо, чтобы она распространялась также и на движение, если только принять, что усилия существуют не только одно мгновение, но и все мгновения, в течение которых продолжается движение. Так, если усилие или сумма усилий для какого-то момента движения равна $\Phi$ и если положить элемент времени равным $d t$, то необходимо, чтобы интегральное выражение $\int \Phi d t$ было минимумом. Таким образом, если для случая равновесия величина $\Phi$ должна быть минимумом, то те же законы Природы, как кажется, требуют, чтобы для движения формула $\int \Phi d t$ была наименьшей.
XIII. И как раз в в этой формуле заключается другой принцип Мопертюи, рассматривающий движение, хотя с первого взгляда он может показаться несколько иным. Чтобы показать это замечательное соответствие, я замечу только, что когда тело движется, находясь под действием упомянутых сил $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$, и т. д., усилие $\Phi$, которому подчиняется тело, выражает в то же самое время живую силу тела или произведение массы тела $M$ на квадрат его скорости. Следовательно, если положить его скорость равной $u$, то выражение, которое должно быть минимумом, будет $\int$ Muиdt; но $u d t$ выражает элемент пространства, пробегаемого телом за время $d t$; и, следовательно, полагая это пространство равным $d s$, мы получим $\int M u d s$ для приравнивания минимуму. То есть нужно в каждый момент умножить массу тела $M$ на скорость и, кроме того, на пробегаемое пространство $d s$; сумма всех этих произведений должна быть минимумом.
XIV. Я пришел, таким образом, к тем же словам, которыми пользуется Мопертюи для определения своей идеи действия, когда он говорит, что действие есть произведение массы на скорость и пробегаемое пространство. Так, в случае предыдущего параграфа выражение $M u d s$ есть количество действия в какой-либо момент, если точно воспользоваться манерой выражения Мопертюи. Согласно тем же самым представлениям движение тел должно быть таким, чтобы сумма всех элементарных действий или $\int \mathrm{Muds}$ была минимумом. B IV томе наших Mémoires я показал также, что этот принцип приводит как раз к тем кривым, которые находят по обыкновенным принципам Механики. Очевидно, что этот принцип движения Мопертюи является необходимым следствием его общего принципа покоя или равновесия.
$\mathbf{X V}$. Так как в движении выражение $\Phi d t$, данное выше, является как раз тем, что Мопертюи называет действием тела в течение бесконечно малого времени $d t$, то можно с таким же правом сказать, что $\Phi$ обозначает мгновенное действие, если не принимать во внимание время ; в этом случае $\Phi$ соответствует тому, что называют живой силой. Следовательно, и в случае покоя или равновесия, когда совсем нет движения, то же самое выражение $\Phi$ обозначает полное усилие и поэтому ничто не мешает дать ему то же название действия. В этом случае действие и усилие будут выражать одно и то же; и это наименование также вполне обосновано. Таким образом, согласно представлению Мопертюи можно сказать, что как в движении, так и в покое количество действия всегда является наименьшим, насколько возможно.
XVI. Но нужно доказать еще то, что я сформулировал в § VIII; это доказательство лучше пояснит нам соответствие между тем, что я называю усилием и идеей действия Мопертюи. Итак, пусть тело $M$ притягивается к центрам сил $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$ и т. д. силами $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$ и т. д. ; положим расстояния $V M=v, V^{\prime} M=v^{\prime}, V^{\prime \prime} M=v^{\prime \prime}$ и т. д, а самые силы пусть будут любыми функциями этих расстояний ; пусть тело описало до данного момента кривую $E M$, и в настоящий момент его скорость в $M$ пусть равна $u$; с этой скоростью тело проходит элемент кривой $M m=d s$ в течение времени $d t$, и мы будем иметь $d s=u d t$. Согласно тому, что я изложил, усилие сил на тело $M$ будет равно $\int V d v+\int V^{\prime} d v^{\prime}+\int V^{\prime \prime} d v^{\prime \prime}+$ и т. д., если рассматривать движущие силы; следовательно, обозначая усилие через $\Phi$, мы получим :
\[
\Phi=\int V d v+\int V^{\prime} d v^{\prime}+\iint^{\prime \prime} d v^{\prime \prime}+\text { и т. д. }
\]
XVII. Теперь, чтобы определить саму скорость тела в соответствии с действующими на него силами, нужно только получить из этих сил, с помощью известного разложения, касательные силы. Для этого проведем из точки $m$ на направление сил перпендикуляры $m v, m v^{\prime}, m v^{\prime \prime}$ и т. д. и по правилам разложения установим, что касательная сила, получающаяся из силы $M v=V$, есть $\frac{M v}{M m} \cdot V=-\frac{d v}{d s} V$ благодаря тому, что $M v=-d v$. Точно так же касательные силы, получающиеся $;$ из других сил $V^{\prime}, V^{\prime \prime}$, будут
Рис. 2.
\[
\frac{M v^{\prime}}{M m} \cdot V^{\prime}=-\frac{d v^{\prime}}{d s} V^{\prime} \text { и } \frac{M v^{\prime \prime}}{M m} V^{\prime \prime}=-\frac{d v^{\prime \prime}}{d s} V^{\prime \prime} .
\]
Следовательно полная касательная сила будет $-\frac{V d v-V^{\prime} d v^{\prime}-V^{\prime \prime} d v^{\prime \prime}}{d s}$. Обозначим эту касательную силу через $T$. По принципам Механики получим $M d u=\frac{1}{2} T d t$ или $2 M u d u=T d s$, в силу того, что $d s=u d t$. Следовательно,
\[
2 M u d u=-V d v-V^{\prime} d v^{\prime}-V^{\prime \prime} d v^{\prime \prime}-\text { и т.д. }
\]
Отсюда, взяв интегралы, получим:
\[
M u u=\mathrm{const}-\int V d v-\int V^{\prime} d v^{\prime}-\int V^{\prime \prime} d v^{\prime \prime}-\text { и т.д. }
\]
XVIII. Следовательно, так как по предложению
\[
\int V d v+\int V^{\prime} d v^{\prime}+\int V^{\prime \prime} d v^{\prime \prime}+\text { и т.д. }
\]
выражает усилие сил на тело $M$, которое я положил равным $\Phi$, то, очевидно, мы получим : $M u и=\mathrm{const}-\Phi$. Легко показать, что постоянная не нарушает соответствия между усилием $\Phi$ и живой силой тела Мии, которое я только что установил, ибо если $\int \Phi d t$ является максимумом или минимумом, то формула $\int$ Muи $d t$ или $\int$ Muds будет также максимумом или минимумом, потому что член $\int$ const $d t=$ const $t$ не входит в рассмотрение максимума или минимума. Помимо того, усилие $\Phi$, выраженное интегральной формулой, содержит уже в себе произвольную постоянную, так что я мог бы совершенно пренебречь этой постоянной и просто положить
Muи $=-\Phi ;$ тогда тождественность была бы еще более очевидной. Однако, если взять вышеупомянутые интегралы в фиксированных пределах, так что усилие $\Phi$ получит определенное значение, то добавление постоянной будет необходимо, так как скорость тела $M$, зависящая от начальной скорости тела, может быть любой. Следовательно, эта начальная скорость есть та добавочная постоянная, которая должна быть определена в каждом рассматриваемом случае. Но какой бы ни была эта величина, она совсем не затрагивает определение максимума или минимума.
XIX. Однако, так как живая сила Muи равна усилию $\Phi$, взятому с обратным знаком, то следует заметить, что когда $\int$ Muu $d t$ или $\int M u d s$ является минимумом, выражение $\int \Phi d t$ будет максимумом и обратно. Но хотя разница между максимумом и минимумом представляется очень большой, она тем не менее никоим образом не является следствием самой Природы, потому что максимум и минимум отличаются между собой только в отношении знаков, так что когда какая-либо величина $z$ является максимумом, та же самая величина, взятая с обратным знаком, т. е. – $z$, является минимумом. Вот почему метод нахождения как максимума, так и минимума один и тот же. Тот, кто хотел бы с этой стороны напасть на открытое нами тождество между живой силой Мии и усилием $\Phi$, на самом деле допустил бы только необоснованную придирку.
XX. Но если тождество между усилием и живой силой доказано только для случая, когда в движе-
Рис. 3. нии находится единственное тело, то может возникнуть сомнение, будет ли то же самое тождество существовать тогда, когда движется несколько тел, соединенных между собою каким-нибудь способом и образующих сгибаемое или даже жидкое тело. Но в этих случаях, какими бы сложными они ни были, я утверждаю, что сумма живых сил всех элементов тела всегда сводится к сумме всех усилий, которым подвержены все элементы в одно и то же время. Чтобы это доказать, достаточно рассмотреть только два тела $M$ и $N$, связанные между собою с помощью стержня $M N$, поддерживающего их всегда на заданном расстоянии так, что движение одного зависит от движения другого. Затем, чтобы не слишком загромождать доказательство, я рассмотрю только один центр силы $V$, к которому притягиваются оба тела. Легко видеть, что то же самое доказательство будет распространяться как на какое угодно число тел, соединенных между собою, так и на какое угодно число центров сил.
XXI. Пусть, следовательно, $M V=x$ и $N V=y$ обозначают расстояния, на которые оба тела удалены от центра $V$ в заданный момент. Пусть $X$ какая-либо функция от $x$, выражающая ускоряющую силу, с которой тело $M$ притягивается к $V$, и пусть подобная же функция от $y$ равна $Y$ и выражает ускоряющую силу, с которой тело $N$ притягивается к $V$.
Следовательно, если обозначим через $M$ и $N$ массы обоих тел, то движущие силы, которыми тела притягиваются к точке $V$, будут равны $M X$ и $N Y$; и, следовательно, усилия на теле по данному мной определению будут равны $\int M X d x$ и $\int N Y d y$ или же $M \int X d x$ и $N \int Y d y$, в силу постоянства масс. Следовательно, если сумму усилий положим равной $\Phi$, то получим $\Phi=M \int X d x+N \int Y d y\left[{ }^{23}\right]$.
XXII. Пусть теперь скорость тела в точке $M$ равна $u$, а скорость тела в точке $N$ равна $v$; с этими скоростями за элемент времени $d t$ тела будут пробегать пути $M m$ и $N n$, и мы получим $M m=u d t, N n=v d t$. Из точек $m$ и $n$ проведем перпендикуляры $m x$ и $n y$ к линиям $V M$ и $V N$, чтобы иметь $M x=-d x$ и $N y=-d y$; тогда центростремительная сила для тела $M$ образует касательную силу, равную $\frac{M x}{M m} \cdot M X=-\frac{M X d x}{u d t}$, а для тела $N$ – касательную силу, равную $\frac{N y}{N n} \cdot N Y=-\frac{N Y d y}{v d t}$. Но оба тела связаны между собою стержнем $M N$; этот стержень находится в состоянии, характеризуемом некоторой степенью натяжения, которое пусть равно $T$; благодаря натяжению стержень будет притягивать оба тела друг к другу и поддерживать их на заданном расстоянии; наконец, пусть $m n=M N$. Следовательно, проводя из $M$ на $m n$ и из $N$ на $M N$ перпендикуляры $M p$ и $n q$, получим $m p=N q$; и сила $T$ будет действовать на тело $M$ с касательной силой, равной $-\frac{m p}{M m} \cdot T=-\frac{T m p}{u d t}$, потому что она стремится замедлить движение, а на тело $N$ – с касательной силой, равной $\frac{N q}{N n} \cdot T=\frac{T N q}{v d t}=\frac{T m p}{v d t}$.
XXIII. В целом, следовательно, тело $M$ будет подвержено действию касательной силы $-M X d x-T m p$, которая после умножения на элемент времени $d t$ должна быть равна $2 M d u$, откуда получаем :
\[
2 M u d u=-M X d x-T m p .
\]
Точно так же другое тело увлекается касательной силой $-N Y d y+T m p$; если умножим эту силу на $d t$, то произведение должно быть равно $2 N d v$, что приводит к следующему уравнению:
\[
2 N v d v=-N Y d y+T m p .
\]
Сложим теперь эти два равенства, чтобы получить
\[
2 M u d u+2 N v d v=-M X d x-N Y d y ;
\]
интеграл этого выражения будет:
\[
M u u+N v v=\mathrm{const}-M \int X d x-N \int Y d y
\]
или в силу того, что $\Phi=M \int X d x+N \int Y d y$,
\[
M u u+N v v=\mathrm{const}-\Phi .
\]
XXIV. Очевидно, Muи и Nvv выражают здесь живые силы каждого из двух тел, так что сумма живых сил равна const $-\Phi$ или просто равна $\Phi$, если включить в нее постоянную; и следовательно, сумма живых сил и сумма усилий в каждый момент времени выражаются одной и той же формулой. Следовательно, если во время движения формула $\int \Phi d t$ является максимумом или минимумом, как требует принцип равновесия Мопертюи, то это абсолютно то же самое, что $\int M u u d t+\int N v v d t$ или $\int M u \cdot M m+$ $+\int N v \cdot N n$ является максимумом или минимумом. Но Mu. $\mathrm{Mm}$, по Moпертюи, обозначает количество действия тела $M$ и $N v \cdot N n$-количество действия тела $N$ за время $d t$. Следовательно, оба принципа Мопертюи вполне согласуются также и в более широком смысле.
XXV. Таково, следовательно, данное нами доказательство тождества обоих принципов Мопертюи; из этого доказательства видно, что один из принципов является необходимым следствием другого и что, доказав спра-
ведливость одного, поставим другой также вне всякого сомнения. Легко также понять, что так как я вывел принцип движения из принципа покоя, то последний должен быть также следствием первого, хотя доказательство в этом случае является более трудным. Ибо, если хотят перейти от движения к покою, то должны предположить движение бесконечно малым, а это приводит к большим спорам относительно бесконечно малых скоростей и пространств, пробегаемых в течение бесконечно малого времени, которые будут выражаться дифференциалами второго порядка. Но доказав тождественность этих принципов, следует только воспользоваться понятием усилия в случае равновесия, и убедиться, что оно приводит к тому же, как если бы мы действительно вошли в детали бесконечно малого движения.
XXVI. Все сводится, следовательно, к доказательству справедливости принципа покоя, после которого принцип движения не должен более вызывать сомнений. Но ведь кроме того, что сам Мопертюи дал ему прочное доказательство, он подтвердил его истинность также применением этого принципа ко многим случаям, для которых он показал, что равновесие всегда вполне согласуется с его принципом. И я нашел формулы, являющиеся максимумом или минимумом для форм, которые принимают всякого рода тела, как гнущиеся, так и упругие, и даже жидкие, подверженные действию каких-либо сил; эти формулы всегда одинаково содержат то, что я только что выразил термином усилие [d’effort]. Все это вместе, следовательно, заменит полное доказательство этого принципа, оставив как можно меньше сомнения в его истинности. Но в тех же самых доказательствах содержится также доказательство другого принципа – принципа движения, тесно связанного с принципом равновесия.
XXVII. Более того, этот принцип равновесия, будучи вполне установленным, один приводит нас ко всем результатам, полученным до сих пор в Статике или Динамике. С помощью этого единственного принципа вся Наука о равновесии могла бы быть объяснена во всей своей общности, без употребления какого-либо другого принципа. Это тем более замечательно, что, как известно, до сих пор для определения различных случаев равновесия пользовались несколькими различными принципами, ибо способ, которым обычно объясняют разложение сил, предполагает принципы отличные от тех, с помощью которых объясняют природу рычага. Всегда, следовательно, важно открыть принцип, который один способен охватить все различные случаи равновесия, рассматриваемые в Динамике.
XXVIII. Следовательно, если это большое преимущество свойственно принципу Мопертюи, то нет никакого сомнения в том, что этот принцип содержит в себе сущность почти всех наших знаний в Науке о равновесии и что он должен рассматриваться как истинная основа этой Науки и как наиболее нерушимый закон Природы. Более того, нельзя не согласиться, что этот принцип – наиболее удачное и наиболее важное открытие из тех, которые когда-либо были сделаны в этой Науке, потому что до сих пор не могли найти такой принцип, который был бы общим для всех случаев равновесия. И без сомнения, заслуживает наибольшего внимания то, что этот принцип в то же время открывает нам, так сказать, истинное намерение [intention]. Природы, которая действует с возможно наименьшими затратами.
XXIX. Я полагаю, что важность предмета требует, чтобы я показал, как все основные элементы Динамики весьма естественно вытекают из.этого великого принципа Природы, в силу которого никакие силы не были бы в равновесии, если бы сумма их усилий не была наименьшей. Это, без сомнения, будет способствовать представлению рассматриваемого принципа в полном объеме и сделает очевидной его сущность, проявляющуюся в приложениях к случаям, более трудным, чем те, которые я изложил в своих
Мемуарах по этому вопросу в IV томе наших Mémoires. Благодаря этому станет очевидным, что вся Динамика и, следовательно, так же Механика основаны на этом единственном принципе и могут быть объяснены с его помощью без необходимости прибегать к другим принципам.
XXX. Я начну со случая, в котором несколько сил приложено к одной точке, и покажу, что точка не будет находиться в равновесии, если только сумма усилий не будет наименьшей. Именно отсюда вытекает основной принцип разложения сил, являющийся последним выводом всей Статики и других наук, зависящих от нее. Я, следовательно, покажу, что этот фундаментальный принцип есть только весьма естественное следствие универсального принципа равновесия Мопертюи. С этой целью я предположу силы, действующие на точку постоянными, чтобы не углубляться в исследование задач с переменными силами.
XXXI. Пусть сначала мы имеем точку $O$, увлекаемую двумя силами $O A$ и $O B$ к фиксированным точкам $A$ и $B$ с помощью, если угодно, двух грузов, привязанных к ней нитями $A O$ и $B O$ и подвешенных к блокам, укрепленным в $A$ и $B$. Пусть $A$ – сила или груз, который тянет по $O A$, и $B$ – сила или груз, действующий по $O B$; если обозначим расстояние $O A=x$ и $O B=y$, то усилие силы $A$ будет равно $\int A d x=A x$, а усилие силы $B$ равно $\int B d y=B y$. Следовательно, в силу нашего принципа точка $O$ не будет находиться в покое, если только сумма усилий $A x+B y$ не будет возможно наименьшей.
XXXII. Проведя прямую $A B$, восстановим из точки $O$ к ней перпендикуляр $O P$, и пусть $A B=a, A P=s, O P=z$; отсюда получим $B P=a-s$ и, следовательно, $x=\sqrt{(z z+s s)}$ и $y=\sqrt{\left[z z+(a-s)^{2}\right]}$. Необходимо, следовательно, чтобы такая формула была минимумом:
\[
A \sqrt{(z z+s s)}+B \sqrt{\left[z z+(a-s)^{2}\right]} .
\]
Так как эта формула содержит две переменные $z$ и $s$, то ясно, что относительно $z$ она станет наименьшей только тогда, когда $z=0$, ибо, если продифференцируем предложенную формулу, считая переменной только $z$, и приравняем нулю, то получим :
\[
\frac{A z d z}{\sqrt{(z z+s s)}}+\frac{B z d z}{\sqrt{\left[z z+(a-s)^{2}\right]}}=0 \text { или } z=0 .
\]
XXXIII. Для случая равновесия, следовательно, необходимо, чтобы $z=0$, т.е. чтобы $O P=z=0$; и наша формула примет вид $A s+B(a-s)$; для того чтобы она была минимумом, необходимо, чтобы $A d s-B d s=0$ или $A=B$. Следовательно, две силы, приложенные к точке $O$, не будут в состоянии равновесия, если только их направления не будут противоположны между собой и если сами силы не будут равны. Таков первый принцип Статики, непосредственно выведенный из нашего принципа ; из него следует, что для равновесия двух сил необходимо, чтобы они были равны между собой и противоположны по направлению.
XXXIV. Рассмотрим теперь случай трех сил $O A, O B$ и $O C$, действующих на точку $O$, и обозначим эти силы буквами $A, B, C$ (рис. 5). Полагая расстояния $O A=x, O B=y$ и $O C=z$, для усилий этих трех сил получим :
\[
\int A d x=A x ; \quad \int B d y=B y \quad \text { и } \quad \int C d z=C z .
\]
Следовательно, необходимо, чтобы $A x+B y+C z$ было минимумом. Отсюда, как и выше, прежде всего видим, что это будет только тогда, когда $A, B, C$ и $O$ будут находиться в одной и той же плоскости, так как если бы точка $O$ была приподнята над плоскостью $A B C$, выражение $A x+B y+C z$ было бы больше, чем в том случае, когда точка $O$ находится в той же самой плоскости.
XXXV. Итак, необходимо, следовательно, чтобы $A d x+B d y+C d z=$ $=0$; для того чтобы определить значения дифференциалов $d x, d y$ и $d z$, допустим, что точка $O$ перемещается в бесконечно близкую точку $о$. Пусть угол $A O B=p, B O C=q$ и $C O A=r$, так что $p+q+r$ равно четырем прямым углам. Так как направление бесконечно малого изменения Oo произвольно, то его можно взять на прямой $V O$ и обозначить угол $A O V=$ $=\omega$; тогда получим угол $B O V=\omega+p$ и $\operatorname{COV}=\omega+p+q$. Следовательно, полагая интервал $O o=$ do бесконечно малым, получим дифференциалы :
\[
\begin{array}{c}
d x=d o \cos \omega ; d y=d o \cos (\omega+p), \\
d z=d o \cos (\omega+p+q) .
\end{array}
\]
XXXVI. Следовательно, в случае равновесия согласно нашему принципу должно быть
\[
\begin{array}{l}
A \cos \omega+B \cos (\omega+p)+ \\
\quad+C \cos (\omega+p+q)=0 ;
\end{array}
\]
Рис. 5;
значение этого выражения определяется углом $\omega$. Разложение косинусов дает :
$A \cos \omega+B \cos \omega \cos p+C \cos \omega \cos (p+q)-B \sin \omega \sin p-$
\[
-C \sin \omega \sin (p+q)=0 ;
\]
необходимо, чтобы по отдельности
\[
\text { и } \quad A+B \cos p+C \cos (p+q)=0 \text {, и } B \sin p+C \sin (p+q)=0 .
\]
XXXVII. Но так как $p+q=360^{\circ}-r$, то получим $\sin (p+q)=-\sin r$, и, следовательно, последнее равенство примет вид
\[
B \sin p-C \sin r=0 \quad \text { или } \quad B: C=\sin r: \sin p .
\]
Таким образом, в случае равновесия необходимо, чтобы сила $O B$ относилась к силе $C O$, как синус угла $A O C$ к синусу угла $A O B$. Отсюда, три силы должны относиться друг к другу как синусы противолежащих углов ; приведенное сейчас доказательство для сил $B$ и $C$ будет иметь место также для любых двух других сил, таких, как $A$ и $B, A$ и $C$ и т. д.
XXXVIII. Если бы это доказательство показалось еще сомнительным, нужно было бы только из уравнения $B \sin p=C \sin r$ получить или значение $B=\frac{C \sin r}{\sin p}$ или $C=\frac{B \sin p}{\sin r}$ и подставить в первое равенство; так, если взять $B=\frac{C \sin r}{\sin p}$, то указанное равенство примет вид
\[
A+\frac{C \sin r \cos p}{\sin p}+C \cos (p+q)=0 .
\]
Но так как $p+q=360^{\circ}-r$, то $\cos (p+q)=\cos r$; следовательно, уравнение после умножения на $\sin p$ примет вид
\[
A \sin p+C(\sin r \cos p+\cos r \sin p)=0,
\]
или $A \sin p+C \sin (p+r)=0$, и так как $\sin (p+r)=-\sin q$, то получим $A \sin p-C \sin q=0$, а следовательно, $A: C=\sin q: \sin p$.
XXXIX. Возьмем линии $O A, O B$ и $O C$ пропорциональными самим силам и продолжим линию $C O$ с другой стороны до точки $E$, так что $O E=O C$;
тогда легко увидеть, что эта линия $O E$ будет диагональю $A B$, замыкающей стороны параллелограмма $O A$ и $O B$. И так как $A O: B O=\sin B O E: \sin A O E$, то
\[
A O: B O=\sin B O C: \sin A O C .
\]
Затем из треугольника $A O E$ (рис. 6) получим :
$O A: O E=\sin A E O: \sin O A E=$
\[
=\sin B O C: \sin A O B,
\]
откуда видно, что $O E$ будет равно $O C$.
XL. Следовательно, для того чтобы три силы, приложенные к точке $O$, были в равновесии, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: если из двух любых сил, например $O A$ и $O B$, образуем
Рис. 6. параллелограмм $A O B E$, то третья $O C$ должна совпадать с продолжением его диагонали $E O$ и быть равной этой диагонали. Но эта сила $O C$, находясь в равновесии с силами $O A$ и $O B$, будет в равновесии с силой $O E$, которой она равна и противоположна; следовательно, как силы $O A$ и $O B$ вместе, так и одна сила $O E$ уравновешиваются одной и той же силой $O C$; отсюда следует, что сила $O E$ эквивалентна двум силам $O A$ и $O B$. Вот, следовательно, еще один основной принцип, принцип разложения и эквивалентности сил, на котором основывается почти вся Динамика и который является необходимым следствием принципа покоя и равновесия.
XLI. Этот же принцип приводит нас также с самого начала к критерию, которым обычно пользуются для распознавания состояния равновесия тогда, когда на точку $O$ действует несколько сил; этот критерий, хотя и получается легко из разложения сил, однако непосредственно вытекает из нашего принципа, без необходимости использовать только что найденный результат. Пусть к точке $O$ (рис. 7 ) $\left[{ }^{24}\right]$ приложено сколько угодно сил $O A, O B$, $O C, O D$ и т. д.; обозначим их буквами
Рис. 7. $A, B, C, D$ и т. д. и положим углы $A O B=p$, $B O C=q, C O D=r, D O A=s$; если через точку $O$ мы проведем какуюнибудь линию $V Z$ и назовем угол $A O V=\omega$, то для равновесия, так же как было найдено для случая трех сил, найдем такое равенство:
\[
A \cos \omega+B \cos (\omega+p)+C \cos (\omega+p+q)+D \cos (\omega+p+q+r)=0,
\]
и каким бы ни было число сил, мы всегда придем к подобному уравнению.
XLII. Возьмем линии $O A, O B, O C, O D$ пропорциональными самим силам $A, B, C, D$, так, чтобы силы могли быть выражены прямыми линиями, и проведем из точек $A, B, C, D$ на прямую $V Z$ перпендикуляры $A a, B b, C c, D d$; ясно, что получим
\[
\begin{array}{l}
O a=O A \cos \omega ; \\
O b=-O B \cos (\omega+p) ; \\
O c=-O C \cos (\omega+p+q) ; \\
O d=O D \cos (\omega+p+q+r) .
\end{array}
\]
Следовательно, состояние равновесия требует, чтобы
\[
O a-O b-O c+O d=0
\]
или же, чтобы сумма интервалов $O a+O d$, которые находятся с одной стороны от точки $O$ на прямой $V Z$, была равна сумме интервалов $O b+O c$, находящихся на этой прямой с другой стороны.
XLIII. Так как угол $\omega$ может быть взят произвольно, подставим $90^{\circ}+\omega$ вместо $\omega$, и так как тогда косинусы заменяются синусами, то для состояния равновесия получим :
\[
A \sin \omega+B \sin (\omega+p)+C \sin (\omega+p+q)+D \sin (\omega+p+q+r)=0 .
\]
Полагая, как прежде, угол $A O V=\omega$, получим для перпендикуляров :
\[
\begin{array}{l}
A a=O A \sin \omega, \\
B b=O B \sin (\omega+p), \\
C c=-O C \sin (\omega+p+q), \\
D d=-O D \sin (\omega+p+q+r)
\end{array}
\]
и, следовательно,
\[
A a+B b-C c-D d=0,
\]
так что сумма перпендикуляров $A a+B b$, находящихся под линией $V Z$, всегда должна быть равна сумме перпендикуляров $C c+D d$, находящихся над этой линией.
XLIV. Таковы, следовательно, два характерных принципа, с помощью которых обыкновенно судят о состоянии равновесия какого угодно числа сил, действующих на заданную точку, и которые выводят обыкновенно из разложения сил. Но они, так же как разложение, являются непосредственным следствием нашего общего принцига. Я мог бы тем же способом показать, что этот принцип дает также известные условия равновесия четырех или нескольких сил, не лежащих в одной плоскости; но это потребовало бы слишком сложных чертежей. Я могу прийти к этому более легким путем: можно вывести эти условия из обычного разложения, которое уже является следствием общего принципа; нет никакого сомнения в том, что все более сложные случаи также являются такими следствиями.
XLV. Я перехожу к свойствам рычага, чтобы показать, что они также являются необходимым следствием нашего принципа. Итак, пусть $P Q$ прямой рычаг, движущийся вокруг точки $O$; на его концах $P$ и $Q$ приложены силы $P A$ и $Q B$; пусть направления сил сначала перпендикулярны рычагу. Если положим эти силы $P A=A$ и $Q B=B$, а расстояния $P A=x$ и $Q B=y$, то усилия будут $A x$ и $B y$, и их сумма $A x+B y$ должна быть минимумом, для чего необходимо, чтобы $A d x+B d y=0$. Пусть рычаг перейдет
в бесконечно близкое положение $p O q$. Тогда получим: $d x=P p$ и $d y=$ $=-Q q$, откуда $A P p-B \cdot Q q=0$ или $A: B=Q q: P p$. Но $Q q: P p=O Q: O P$; следовательно, $A: B=O Q: O P$ или $A \cdot O P=B \cdot O Q$, что является главным свойством рычага (рис. 8).
XLVI. Не предполагая это главное свойство рычага, мы можем получить общую теорию рычага непосредственно из нашего принципа, какова бы ни была форма рычага и каковы бы ни были силы, действующие на него. Пусть, следовательно, Рис. 8. дан какой-нибудь кривой рычаг PROSQ, движущийся вокруг своей опоры $O$; к нему приложены различно направленные силы $P A=A, Q B=B$, $R C=C, S D=D$. Проведем из точки $O$ к точкам приложения сил прямые $D P, O Q, O R, O S$ и пусть углы
\[
A P O=\alpha ; \quad B Q O=\beta ; \quad C R O=\gamma ; \quad D S O=\delta .
\]
Кроме того, на направлениях сил возьмем произвольно фиксированные точки $A, B, C, D$ и пусть расстояния
\[
A P=p ; \quad B Q=q ; \quad C R=r ; \quad D S=s ;
\]
сумма усилий этих сил будет равна $A p+B q+C r+D s$. Следовательно, для состояния равновесия получим
\[
A d p+B d q+C d r+D d s=0 .
\]
XLVII. Чтобы найти отношение этих дифференциалов, представим себе, что рычаг бесконечно мало поворачивается вокруг точки $O$, так что достигает положения $p r O s q$, описав бесконечно малый угол $d \omega$. Благодаря этому движению точки $P, Q, R, S$ опишут вокруг точки $O$ дуги кругов
\[
\begin{array}{l}
P p=O P \cdot d \omega ; \quad Q q=O Q d \omega ; \\
P r=O R \cdot d \omega ; \quad S s=O S d \omega .
\end{array}
\]
Из центров $A, B, C$ опишем также дуги кругов $P a, q b$, $R c, s d$.
Так как угол $A P O=\alpha$, а углы $A P a$ и $O P p$ – прямые, то угол $p P a$ будет равен $180^{\circ}-\alpha$, следовательно, $\sin p P a=\sin \alpha$, и следовательно, $a p=d p=$ $=P p \sin \alpha=O P d \omega \sin \alpha$. Тем же способом получим $c r=d r=R r \sin \gamma=$ $=O R \cdot d \omega \cdot \sin \gamma$. С другой стороны, так как угол $B Q O=\beta$ и $O Q q=90^{\circ}$, получим $q Q b=\beta-90^{\circ}, Q q b=180^{\circ}-\beta ;$ следовательно, $Q q b=\sin \beta$ и
\[
Q b=-d q=Q q \sin \beta=O Q d \omega \sin \beta .
\]
Точно так же получим:
\[
S d=-d s=S S \sin \delta=O S \cdot d \omega \cdot \sin \delta .
\]
XLVIII. Следовательно, имея
\[
\begin{array}{l}
d p=O P d \omega \sin \alpha \\
d r=O R d \omega \sin \gamma \\
d q=-O Q \sin \beta \\
d s=-O S d \omega \sin \delta,
\end{array}
\]
после деления на $d \omega$ найдем для случая равновесия такое уравнение:
\[
A \cdot O P \cdot \sin \alpha+C \cdot O R \cdot \sin \gamma=B \cdot O Q \sin \beta+D \cdot O S \cdot \sin \delta .
\]
Но известно, что $A \cdot O P \cdot \sin \alpha$ выражает собой момент силы $P A$ относительно точки $O$; следовательно, смысл этого уравнения таков, что сумма моментов с одной стороны от точки опоры $O$ равна сумме моментов с другой ее стороны; а в этом и состоит все учение о рычаге.
XLIX. Наклонная плоскость в Статике (рис. 10) представляет собой задачу, требующую особого изложения, которое также выводится непосредственно из нашего принципа. Пусть имеется наклонная плоскость $E F$ на горизонтальном основании $F G$; на плоскости находится тело $O$, поддерживаемое силой, которая притягивает его по направлению $O B$. Требуется найти условия, при которых тело $O$ будет находиться в равновесии.
Рис. 10. Пусть угол наклона плоскости $E F G=\gamma$, а угол $B O E$, составленный направлением силы $O B$ с плоскостью наклона $F E$, равен $\delta$; вес тела или сила, которая увлекает его вниз по вертикали $O A$, равна $A$, а сила $B$, которая его поддерживает, равна $B$. Обозначим расстояние $O A=x$ и $O B=y$; сумма усилий этих двух сил будет равна $A x+B y$, и она должна быть наименьшей; следовательно, $A d x+B d y=0$.
L. Пусть тело $O$ бесконечно мало меняет положение на наклонной плоскости и переходит в точку $o$, продвинувшись вперед на $O o=d s$. Проведем из точки $o$ на $O A$ перпендикуляр $о a$ и из $O$ на $B o$ – перпендикуляр $O b$; ясно, что после этого изменения получим: $O a=-d x$ и $o b=d y$. Но так как угол $O o a=\gamma$, получим $O a=$ $=d s \sin \gamma$, а угол $O \circ b=E O B=\delta$ даст $O B=d s \cos \delta$, так что $d x=$ $=-d s \sin \gamma$ и $d y=d s \cos \delta$. Следовательно, для состояния равновесия необходимо, чтобы Ads $\sin \gamma+$ $+B d s \cos \delta=0$ или $A \sin \gamma=B$ $\sin \delta ;$ иначе говоря, сила $O B$ должна относиться к весу тела $O$, как синус подъема наклонной плоскости к косинусу угла EOB, образованного направлением силы
$O B$ с наклонной плоскостью. Это же самое свойство получается из обыкновенных принципов Статики.
LI. Этого, может быть, было бы достаточно, чтобы показать, что все случаи равновесия, которые объясняются в Статике, весьма естественно вытекают из нашего принципа, так что с помощью только этого принципа
вся Статика могла бы получить полное завершение. Однако я еще замечу, что условия, необходимые для равновесия, этот принцип доставляет часто намного быстрее, чем обыкновенные принципы. Ибо, пользуясь в сложных случаях обычными принципами, нужно в каждой комбинации сил, действующихдруг на друга, найти, что должно быть сделано разложением сил. Употребляя же наш общий принцип, мы достигнем цели без этих деталей.
LII. Чтобы полностью убедиться в этом важном преимуществе, рассмотрим какую-нибудь машину, заключенную в ящик $E F G H$ и состоящую из какого угодно числа деталей ; пусть мы даже не знаем ее строения. Пусть эта машина применяется для преодоления некоторого сопротивления с помощью силы $A P$, приложенной в машине. Пусть сила сопротивления равна $P Q$; первая сила равна $P$, а последняя равна $Q$. Пусть, кроме того, расстояние $A P=x, B Q=y$. В силу нашего принципа обе силы не будут находиться в равновесии, если только сумма усилий $P x+Q y$ не будет наименьшей или не будет $P d x+Q d y=0$. Но чтобы получить отношение дифференциалов $d x$ и $d y$, допустим, что сила $A P$ продвинулась вперед на расстояние $P p$ и в то же время сопротивление $B Q$ отступило на расстояние $Q q$; установив это, получим $d x=P p$ и $d y=-Q q$; следовательно, в случае равновесия получим $P \cdot P p=Q \cdot Q q$ (рис. 11 ).
LIII. Вот, следовательно, общий принцип всех машин, непосредственно вытекающий из универсального принципа покоя. И хотя этот принцип известен уже с давних пор, следует заметить, что никто еще не дал его строгого доказательства. Так что можно утверждать, что этот принцип получил свою достоверность благодаря нашему универсальному принципу. Но, может быть, мне захотят возразить; что общий принцип равновесия в действительности не отличается от общего принципа всякой машины, а так как последний известен с давних пор, то тем самым становится под сомнение новизна первого. И так как это единственное место, со стороны которого могут напасть на этот важный принцип Мопертюи, полезно предупредить это возражение.
LIV. Однако я замечу сначала, что смыс̈л принципа Механики, с помощью которого объясняют состояние равновесия всех машин, совершенно отличается от общего принципа покоя, ибо первый касается равенства произведений, получающихся умножением, с одной стороны, движущей силы, а с другой стороны, сопротивления на пробегаемые ими пространства. Последний вместо этого требует минимума суммы усилий. Кроме того, принцип машин распространяется только на две силы, одна из которых заставляет машину двигаться, а другая есть сила сопротивления, противодействующая движению, тогда как общий принцип покоя применим к какому угодно числу сил. Наконец, первый принцип предполагает силы постоянными, в то время как другой принцип предполагает силы изменяющимися по любому закону. Следовательно, принцип покоя, как имеющий совсем другой смысл и бесконечно большую общность, не может никоим образом совпадать с другим принципом машин, и его новизна не может вызывать сомнения.
LV. Кроме того, просто обязаны признать, что принцип машин сильно ограничен. Некоторая кажущаяся общность имеет место только в отношении машин, когда речь идет о равновесии двух сил – движущей силы и силы сопротивления. И никто еще не догадался вывести из этого принципа кривизну сгибаемых тел, так же как тел сцепления, не говоря уже об упругих телах и $о$ форме жидких тел, которые должны рассматриваться как находящиеся под действием каких-либо сил. Но я уже показал, что все эти формы весьма удачно находятся с помощью общего принципа покоя Мопертюи. Таким образом, имеются всевозможные основания для того, чтобы рассматривать этот принцип как важнейшее открытие в Механике.
LIV. Во всех случаях равновесия, которые я до сих пор исследовал с помощью этого принципа, сумма усилий являлась бесспорно минимумом; но имеются также случаи равновесия, где сумма усилий становится максимумом. Ибо следует заметить, что силы должны обязательно поддерживаться в равновесии как в одном, так и в другом случае, т. е. как тогда, когда сумма их усилий является максимумом, так и тогда, когда она является минимумом. Но равновесие, которое получается в случае максимума, имеет совершенно другую природу, чем равновесие в случае минимума. Получается приблизительно такая же разница, какмежду равновесием конуса, покоящегося на основании, и равновесием конуса, покоящегося на своей вершине ; и тот и другой случаи возможны, но первый соответствует минимуму, а второй – максимуму.
LVII. Так как метод тот же самый, то хотят ли найти максимум или минимум, наш общий принцип одинаково приводит к равновесиям того и другого рода, хотя они существенно различаются между собой. Разница такая же, какая имеется между двумя упомянутыми положениями конуса, ибо равновесие, которое получается из минимума, таково, что когда производится бесконечно малое изменение, равновесие восстанавливается само собой. Вместо этого равновесие, в котором сумма усилий является максимумом, не только не восстанавливается после такого изменения, но нарушается все больше и больше. Так, конус, покоящийся на своей вершине, падает, едва только его коснутся.
LVIII. Чтобы привести пример, в котором усилие является максимумом, я припомнил особый случай, предложенный мне не́когда. Пусть $C D$ является фиксированной стенкой (рис. 12), на которую нужно опереть рычаг $A B$ так, чтобы, поддерживаясь на фиксированной точке $O$ и подвергаясь в $A$ действию веса $P$, он оставался в равновесии. Допустим, что стенки и точка совершенно гладкие, так что рычаг может свободно скользить, не испытывая при этом
Рис. 12. ни малейшего трения; допустим также, если угодно, что рычаг невесом, так что, кроме веса $P$, нет другой силы, действующей на него; легко свести к этому случаю тот, в котором рычаг является тяжелым. Этот случай, который к тому же не так легко решить с помощью обыкновенных принципов Механики, замечателен в том отношении, что может быть употреблен для нахождения двух средних пропорциональных двух заданных линий.
LIX. Пусть, следовательно, длина рычага̃ $A B=a$; расстояние опоры $O$ до стенки $O E=b$; вес или сила, с которой конец $A$ увлекается вниз, равен $P$ или, что то же самое, допустим, что точка $A$ притягивается этой силой к фиксированной точке $F$, взятой на линии $E O F$. Полагая, следовательно, расстояние $A F=z$, получим усилие $P z$, которое, становясь максимумом, дает $P d z$ или $d z=0$; ибо очевидно, что расстояние $A F$ может быть только минимумом ввиду того, что скользит ли конец $B$ вверх или вниз, расстояние $A F$ может становиться совсем малым.
LX. Чтобы раскрыть этот случай равновесия, положим часть рычага $O B$ между стенкой и опорой, равной $x$, и в силу того, что $O E=b$, получим $B E=V(x x-b b)$. Следовательно, так как $A O=a-x$, получим $O B: B E=$ $=O A: A F$ и
\[
A F=z=\frac{(a-x) \sqrt{(x x-b b)}}{x}=\frac{a}{x} \sqrt{(x x-b b)}-\sqrt{(x x-b b)},
\]
откуда выводим :
\[
d z=\frac{a b b d x}{x x \sqrt{(x x-b b)}}-\frac{x d x}{\sqrt{(x x-b b)}}=\frac{d x\left(a b b-x^{3}\right)}{x x \sqrt{(x x-b b)}} .
\]
Следовательно, необходимо, чтобы $x^{3}=a b b$ или $x=\sqrt[3]{a b b}$, т. е. часть $O B$ будет первой из двух средних пропорциональных между линиями $O E$ и $A B$. Но это же самое рецение получается также с помощью обыкновенных принципов Механики.
LXI. Рассмотрев здесь постоянные силы, добавим несколько слов $о$ силах переменных и в частности, о силе пружин; здесь будет содержаться правило Бернулли, которое я объяснил в своих Мемуарах в IV томе Mém. de l’Acad. и которое относится к нахождению усилий упругих сил. Пусть $A O$ – рычаг, движущийся вокруг точки $O$, прикрепленной к фиксированному потолку $O B$ с помощью пружины $E F$ в форме дуги круга с центром в $O$. Допустим, что сила пружины пропорциональна углу $B O A$, так что рычаг увлекается ею всегда перпендикулярно в точке $F$. Пусть тот же самый рычаг натягивается вниз постоянной силой $A P$ в точке $P$. Требуется найти условия, при которых этот рычаг будет в равновесии (рис. 13).
LXII. Пусть линия $O B$ горизонтальна, а $A P$ вертикальна; полагая силу $A P=A$ расстояние $A P$, взятое от точки $A$ до фиксированной точки $P$ в одном и том же направлении, равным $x$, найдем, что усилие этой силы $\left[{ }^{25}\right]$ равно $A x$. Но чтобы найти усилие силы пружины, положим угол $B O A=\varphi$; тогда сила пружины в этом состоянии равна $\frac{E \varphi}{a}$, если предположить, что ее сила для постоянного угла $\alpha$ есть $E$. Пусть, кроме того, интервал $O E=O F=f$. Но в то время как рычаг продвинется на бесконечно малый угол $A O a=d \varphi$, пружина растянется на длину $F f=f d \varphi$. Следовательно, мы получим силу, равную $\frac{E \varphi}{a}$, которой соответствует элемент кривой $f d \varphi$; следовательно, ее усилие будет
\[
\int \frac{E \varphi}{\alpha} \cdot f d \varphi=\frac{E f}{2 \alpha} \varphi \varphi .
\]
LXIII. Следовательно, сумма усилий равна $A x+\frac{E f}{2 \alpha} \varphi \varphi$; для состояния равновесия необходимо, чтобы $A d x+\frac{E f}{\alpha} \varphi d \varphi=0$. Но если рычаг достиг ближайшего состояния $O a$, точка $A$ будет перенесена в $a$ по дуге $A a=a d \varphi$; полагая длину рычага $O A=a$ и проведя горизонтальную линию $a p$, мы получим $d x=-A p$; но если угол $a A p=B O A=\varphi$, получим $A p=$ $=a d \varphi \cdot \cos \varphi$, откуда
\[
-A a d \varphi \cos \varphi+\frac{E f}{a} \varphi d \varphi=0
\]
или
\[
A a \cos \varphi=\frac{E f}{a} \varphi .
\]
Очевидно, это – верное условие равновесия, ибо $A a \cos \varphi$ выражает момент силы $A P=A$ относительно точки $O$ и $\frac{E f}{\alpha} \varphi=\frac{E \varphi}{\alpha} f$ – момент силы пружины ; и эти моменты должны быть равны между собой.
LXIV. Отсюда очевидно обратное : усилие пружины, которое мы только что нашли равным $\frac{E f}{2 a} \varphi \varphi$, выражено верно; и, следовательно, убеждаемся также в справедливости правила Бернулли, которое я пояснил в упомянутых своих Мемуарах, чтобы найти усилие упругости упругих кривых. Ибо $\frac{E f}{\boldsymbol{a}}$ выражает то, что я назвал там абсолютной упругостью, и так как угол BO $A=\varphi$ тамбе сконечно мал, то он будет обратно пропорционален радиусу развертки [la développée]; следовательно, если положим этот радиус равным $r$, то усилие упругости будет выражено в виде $\frac{c}{r r}$, если принять $C$ произвольной постоянной. Это и есть точное выражение Бернулли, которым я воспользовался в упомянутом месте.
