Прежде всего покажем, что допущение линейности $\Delta x$ и $\Delta u$ не представляет собой никакого ограничения ; это и без использования обращения вытекает из того факта, что $\mathbb{E}_{\infty \varrho}$ формально зависит от $\varrho$ и только от $\varrho$ произвольных функций. Именно, можно показать, что в случае нелинейности при сложении преобразований, при котором члены низшего порядка суммируются, увеличилось бы число произвольных функций. В самом деле, пусть
\[
\begin{aligned}
y= & A\left(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots, p\right)=x+\Sigma a(x, u, \ldots) p^{v}+b(x, u, \ldots) p^{v-1} \frac{\partial p}{\partial x}+ \\
& +c p^{v-2}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)^{2}+\ldots+d\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)^{v}+\ldots, \quad\left[p^{v}=\left(p^{(1)}\right)^{v_{1}}+\ldots+\left(p^{(\varrho)}\right)^{v_{\ell}}\right.
\end{aligned}
\]

и соответственно
\[
\dot{v}=B\left(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots, p\right) ;
\]

тогда путем сложения с
\[
z=A\left(y, v, \frac{\partial v}{\partial y}, \ldots, q\right)
\]

мы получаем для членов низшего порядка
\[
z=x+\Sigma a\left(p^{v}+q^{v}\right)+b\left\{p^{v-1} \frac{\partial p}{\partial x}+q^{
u-1} \frac{\partial q}{\partial x}\right\}+c\left\{p^{
u-2}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)^{2}+q^{v-2}\left(\frac{\partial q}{\partial x}\right)^{2}\right\}+\ldots
\]

Если здесь какой-либо коэффициент, отличный от $a$ и $b$, не равен нулю, следовательно, для какого-либо $\sigma>1$ действительно встретится член
\[
p^{
u-\sigma}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)^{\sigma}+q^{
u-\sigma}\left(\frac{\partial q}{\partial x}\right)^{\sigma},
\]

то его нельзя рассматривать как производную одной-единственной функции или как произведение степеней таковой; следовательно, число произвольных функций возросло по сравнению с предположенным. Если же исчезают все коэффициенты, отличные от $a$ и $b$, то в зависимости от значений показателей $v_{1}, \ldots, v_{0}$ могут представиться два случая: либо второй член является производной от первого (как это, например, всегда имеет ме сто для

(3) $_{\infty 1}$ ); так что фактически получается линейность, либо число произвольных функций и здесь возрастает. Итак, вследствие линейности функций $p(x)$ бесконечно малые преобразования удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений в частных производных, а так как условие существования группы выполнено, то они, по определению Ли («Основания», § 10), образуют «бесконечную группу бесконечно малых преобразований».

Обращение здесь получается подобно тому, как в случае конечной группы. Существование зависимостей (16) ведет после умножения на $p^{(\lambda)}(x)$ и сложения при помощи тождественного преобразования (14) к уравнению
\[
\sum \psi_{i_{i}}^{\prime} \bar{\delta} u_{i}=\operatorname{Div} \Gamma
\]

а отсюда вытекает, как и в $\S 3$, определение $\Delta x$ и $\Delta u$ и инвариантность интеграла $I$ относительно этих бесконечно малых преобразований, которые в действительности зависят линейно от $\varrho$ произвольных функций и от их производных до порядка $\sigma$ включительно. Что эти бесконечно малые преобразования, если они не содержат производных $\frac{\partial u}{\partial x}, \ldots$, наверное, образуют группу, следует, как и в § 3, из того, что иначе при сложении было бы введено больше произвольных функций, в то время как, по предположению, должно быть только $\varrho$ зависимостей (16); следовательно, эти преобразования образуют «бесконечную группу бесконечно малых преобразований». Но такая группа состоит (\”Основания», теорема VII, стр. 391) из самых общих бесконечно малых преобразований известной, сторого определенной в смысле Ли, «бесконечной группы \&S конечных преобразований». Каждое конечное преобразование при этом получается из бесконечно малого («Основания», § 7) *) путем интегрирования совместной системы:
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\Delta x_{i}, \quad \frac{d u_{i}}{d t}=\Delta u_{i} \mathbf{j} \quad \text { при } \quad t=0\left\{\begin{array}{l}
x_{i}=y_{i}, \\
u_{i}=v_{i},
\end{array}\right.
\]

причем может оказаться нужным рассматривать произвольные функции $p(x)$ еще и как зависящие от $t$. Значит, \&S действительно зависит от $\varrho$ произвольных функций; в частности, достаточно предположить $p(x)$ свободными от $t$, чтобы эта зависимость оказалась аналитической относительно произвольных функций $q(x)=t \cdot p(x)^{* *}$ ). Если входят производные $\frac{\partial u}{\partial x}, \ldots$, то может оказаться необходимым, прежде чем сделать тот же вывод, добавить еще бесконечно малое преобразование $\bar{\delta} u=0, \operatorname{Div}(f \cdot \Delta x)=0$.

В связи с примером, приводимым Ли («Основания», § 7), укажем еще довольно общий случай, в котором можно добраться до явных формул, в которые входят производные от произвольных функций порядка не выше $\sigma$; стало быть, в этом случае обращение получается полное. Это – такие группы бесконечно малых преобразований, которым соответствует группа всех преобразований $x$ и «вытекающих» из них преобразований $u$, т. е. такие

преобразования $u$, при которых $\Delta u$, а следовательно, и $u$ зависят только от произвольных функций, входящих в $\Delta x$; при этом предполагается еще, что производные $\frac{\partial u}{\partial x}, \ldots$, в $\Delta u$ не входят. Следовательно, мы имеем
\[
\Delta x_{i}=p^{(i)}(x), \quad \Delta u_{i}=\sum_{\lambda=1}^{n}\left\{a^{(\lambda)}(x, u) p^{(\lambda)}+b^{(\lambda)} \frac{\partial p^{\lambda)}}{\partial x}+\ldots+c^{(\lambda)} \frac{\partial^{\sigma} p^{(\lambda)}}{\partial x^{\sigma}}\right\} .
\]

Так как из бесконечно малого преобразования $\Delta x=p x$ получается каждое преобразование $x=y+g(y)$ с произвольным $g(y)$, то можно, в частности, установить такую зависимость $p(x)$ от $t$, чтобы получилась одночленная группа
\[
x_{i}=y_{i}+t \cdot g_{i}(y),
\]

которая при $t=0$ переходит в тождество, а для $t=1$ – в искомое преобразование $x=y+g(y)$.
В самом деле, путем дифференцирования из уравнения (18) получается
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=g_{i}(y)=p^{(i)}(x, t),
\]

где $p(x, t)$ определяется через $g(y)$ путем обращения выражения (18), и наоборот, уравнение (18) получается из (19) при добавочном условии: $x_{i}=y_{i}$ при $t=0$; это условие однозначно определяет интеграл. При помощи уравнения (18) можно $x$, входящие в $\Delta u$, выразить через «постоянные интеграции» $y$ и через $t$; тогда $g(y)$ войдут как раз под знаком производных до порядка $\sigma$ включительно; при этом в выражениях
\[
\frac{\partial p}{\partial x}=\sum \frac{\partial g}{\partial y_{\star}} \cdot \frac{\partial y_{\varkappa}}{\partial x}
\]
$\frac{\partial y}{\partial x}$ выражаются через $\frac{\partial x}{\partial y}$, вообще $\frac{\partial^{\alpha} p}{\partial x^{\sigma}}$ – выражаются в функции $\frac{\partial g}{\partial y}, \ldots$ $\ldots, \frac{\partial x}{\partial y}, \ldots, \frac{\partial^{\sigma} x}{\partial y^{\sigma}}$. Таким образом, для определения $и$ получается система уравнений
\[
\frac{d u_{i}}{d t}=F_{i}\left\{g(y), \frac{\partial g}{\partial y}, \ldots, \frac{\partial^{\sigma} g}{\partial y^{\sigma}}, u, t\right\} \quad \text { (при } t=0 \quad u_{i}=v_{i} \text { ), }
\]

в которой только $t$ и $u$ являются переменными, а $g(y)$ принадлежат к коэффициентам ; таким образом, интегрирование дает
\[
u_{i}=v_{i}+B_{i}\left(v, g(y), \frac{\partial g}{\partial y}, \ldots, \frac{\partial^{\sigma} g}{\partial y^{\sigma}}, t\right)_{t=1},
\]
т. е. преобразования, которые зависят только от $\sigma$ производных произвольных функций. Эти преобразования согласно (18) включают тождество при $g(y)=0$, а то, что они образуют группу, вытекает из того, что указанный процесс дает каждое преобразование $x=y+g(y)$, чем однозначно устанавливается и вытекающее отсюда преобразование для $u$; следовательно, группа (S полностью определена.

Из обращения следует еще, что если мы получаем произвольные функции зависящими только от $x$, но не от $u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots$, то это не означает никакого ограничения. В последнем случае в тождественное преобразование (14), а

следовательно, и в (15), кроме $p^{(\lambda)}$ входили бы также $\frac{\partial p^{(\lambda)}}{\partial u}, \frac{\partial p^{(\lambda)}}{\partial \frac{\partial u}{\partial x}}, \ldots$ Поэтому, если последовательно полагать $p^{(\lambda)}$ нулевой, первой,… степени относительно $u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots$ с произвольными функциями от $x$ в качестве коэффициентов, то снова появятся зависимости (16), но в большем числе ; однако эти зависимости согласно рассмотренному выше обращению приводятся к предыдущему случаю посредством соединения с произвольными функциями, зависящими только от $x$. Точно так же можно показать, что одновременному появлению зависимостей и независимых от них соотношений дивергенций соответствуют смешанные группы*).