Виртуальное перемещение здесь понимается так же, как и при аналитической формулировке принципа Д’Аламбера. По этому принципу в любой момент времени потерянные силы уравновешиваются связями, наложенными на точки системы в данный момент времени. Если, например, материальные точки вынуждены двигаться так, чтобы удовлетворялись условия
\[
\omega_{i}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{2}, y_{2}, z_{2} ; t\right)=0 \quad(i=1,2, \ldots),
\]
то для $t$ нужно ввести его мгновенное значение. Связи, имеющие место в данный момент, допускают перемещения, удовлетворяющие уравнениям
\[
\frac{\partial \omega_{i}}{\partial x_{1}} \delta x_{1}+\frac{\partial \omega_{i}}{\partial y_{1}} \delta y_{1}+\frac{\partial \omega_{i}}{\partial z_{1}} \delta z_{1}+\ldots+\frac{\partial \omega_{i}}{\partial x_{r}} \delta x_{r}+\frac{\partial \omega_{i}}{\partial y_{r}} \delta y_{r}+\frac{\partial \omega_{i}}{\partial z_{r}} \delta z_{r}=0 .
\]
Эти перемещения являются виртуальными, и их можно ввести в условие равновесия потерянных сил, т.е. в уравнение
\[
\sum_{(v)}\left\{\left(X_{
u}-m_{
u} \frac{d^{2} x_{
u}}{d t^{2}}\right) \delta x_{v}+\left(Y_{v}-m_{v} \frac{d^{2} y_{v}}{d t^{2}}\right) \delta y_{v}+\left(Z_{v}-m_{v} \frac{d^{2} z_{v}}{d t^{2}}\right) \delta z_{v}\right\}=0 .
\]
То обстоятельство, что в уравнении (10) нет члена $\frac{\partial \omega_{i}}{\partial t} \delta t$, может быть выражено словами утверждением, что при применении принципа Д’Аламбера время не должно варьироваться. Это правило соблюдается, даже если в другом случае встречается вариация времени. Считаясь с тем, что мы, будучи последовательными, должны обозначить через $\delta \omega_{i}$ уравнения, определяющие виртуальные перемещения, возьмем их в таком виде:
\[
\delta \omega_{i}-\frac{\partial \omega_{i}}{\partial t} \delta t=0 .
\]
Если движение системы подчинено уравнениям связей вида (1)
\[
\sum_{(v)}^{\prime}\left(\varphi_{i v} d x_{
u}+\psi_{i^{
u}} d y_{
u}+\chi_{i^{
u}} d z_{v}\right)=0 \quad(i=1,2, \ldots),
\]
где функции $\varphi, \psi, \chi$ зависят только от координат, то виртуальные перемещения удовлетворяют соотношениям
\[
\left.\bigcup_{(v)}^{\prime}\left(\varphi_{i v} \delta x_{v}+\psi_{i v} \delta y_{v}+\chi_{i v} \delta z_{v}\right)=0 \quad(i=1,2, \ldots) *\right) .
\]
Нужно еще заметить, что во всех случаях перемещения отдельных положений системы не зависят друг от друга. Позтому можно считать отличными от нуля перемещения только для бесконечно малой части движения. Если связать это представление с уравнением (6), то получается известное заключение вариационного исчисления о том, что постоянное исчезновение левой части уравнения (6) вызывает исчезновение также каждого отдельного элемента интеграла, стоящего в правой части.
Требование, чтобы интеграл (7) исчезал для всех наших вариаций, опять влечет за собой выполнение принципа Д’Аламбера. Рассмотрим подробнее правую часть уравнения (6). Будем считать силы и действительное движение материальной системы заданными; тогда упомянутая правая часть определяется исключительно посредством перемещений положений системы. Она не зависит от того, как с течением времени пробегается новая, образованная путем перемещений, последовательность положений. Поэтому не имеет значения, оставим ли мы вариацию движения общей, если отвлечься от неизбежных условий связей, или же ограничим себя первым или вторым из особых способов варьирования.
Из этого и предшествующего параграфов мы заключаем, что как принцип Гамильтона, так и принцип наименьшего действия в вышеприведенной форме эквивалентны принципу Д’Аламбера*).
