19. Уравнение в частных производных (F), которому должна удовлетворять характеристическая функция $V$ во всякой задаче динамики, не без пользы может быть подвергнуто некоторым общим преобразованиям путем разделения этой функции $V$ на две любые части:
\[
V_{1}+V_{2}=V .
\]

Если мы для сокращения введем $T_{1}$ и $T_{2}$, определяемые двумя следующими уравнениями :
\[
\left.\begin{array}{l}
T_{1}=
u^{\prime} \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V_{1}}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{1}}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{1}}{\delta z}\right)^{2}\right\}, \\
T_{2}=\Sigma \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V_{2}}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{2}}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{2}}{\delta z}\right)^{2}\right\},
\end{array}\right\}
\]

аналогичными соотношению
\[
T=
u^{\prime} \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z}\right)^{2}\right\},
\]

которое было использовано для преобразования закона живой силы в уравнении в частных производных (F), то получим посредством ( $\left.\mathrm{U}^{4}\right)$
\[
T=T_{1}+T_{2}+\searrow \frac{1}{m}\left(\frac{\delta V_{1}}{\delta x} \frac{\delta V_{2}}{\delta x}+\frac{\delta V_{1}}{\delta y} \frac{\delta V_{2}}{\delta y}+\frac{\delta V_{1}}{\delta z} \frac{\delta V_{2}}{\delta z}\right) .
\]

Это выражение при помощи формулы (C) или при помощи закона переменного действия может быть преобразовано далее, так как этот закон дает следующез символическое уравнение :
\[
\Sigma \frac{1}{m}\left(\frac{\delta V}{\delta x} \frac{\delta}{\delta x}+\frac{\delta V}{\delta y} \frac{\delta}{\delta y}+\frac{\delta V}{\delta z} \frac{\delta}{\delta z}\right)=\frac{d}{d t},
\]

где символы в обоих членах предпосылаются любой функции переменных координат системы, не обязательно включающей время. Отсюда посредством $\left(\mathrm{U}^{4}\right)$ и $\left(\mathrm{V}^{4}\right)$ мы получаем
\[

u^{\prime} \frac{1}{m}\left(\frac{\delta V_{1}}{\delta x} \frac{\delta V_{2}}{\delta x}+\frac{\delta V_{1}}{\delta y} \frac{\delta V_{2}}{\delta y}+\frac{\delta V_{1}}{\delta z} \frac{\delta V_{2}}{\delta z}\right)=\frac{d V_{2}}{d t}-2 T_{2} .
\]

Таким образом, мы находим следующее общее и строгое преобразование уравнения ( $\mathrm{F}$ ):
\[
\frac{d V_{2}}{d t}=T-T_{1}+T_{2} .
\]

Здесь $T$ сохранено ради симметрии и понятности вместо равнозначного выражения $U+H$. Если предположить, как мы вправе сделать, что часть $V_{1}$ подобно полной функции $V$ взята такой, что она исчезает со временем, тогда и другая часть $V_{2}$ будет обладать этим свойством и может быть выражена определенным интегралом
\[
V_{2}=\int_{0}^{t}\left(T-T_{1}+T_{2}\right) d t .
\]

В более общем виде, если мы применим принципы, изложенные в п. 7 , и введем $3 n$ отметок $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}$ переменных положений $n$ точек любой

системы (будь то сами прямоугольные координаты или какие бы то ни было их функции), то получим
\[
T=F\left(\frac{\delta V}{\delta \eta_{2}}, \frac{\delta V}{\delta \eta_{2}}, \ldots, \frac{\delta V}{\delta \eta_{3 n}}\right)
\]

и по аналогии можем принять два следующих определяющих уравнения :
\[
\left.\begin{array}{l}
T_{1}=F\left(\frac{\delta V_{1}}{\delta \eta_{1}}, \frac{\delta V_{1}}{\delta \eta_{2}}, \ldots, \frac{\delta V_{1}}{\delta \eta_{3 n}}\right), \\
T_{2}=F\left(\frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{1}}, \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{2}}, \ldots, \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{3 n}}\right) .
\end{array}\right\}
\]

При этом функция $F$ всегда является рациональной, целой и однородной второго измерения и поэтому она такова, что (кроме других свойств)
\[
\begin{array}{c}
T=T_{1}+T_{2}+\frac{\delta T_{1}}{\delta \frac{\delta V_{1}}{\delta \eta_{1}}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{1}}+\frac{\delta T_{1}}{\delta \frac{\delta V_{1}}{\delta \eta_{2}}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{2}}+\ldots+\frac{\delta T_{1}}{\delta \frac{\delta V}{\delta \eta_{3 n}}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{3 n}}, \mid\left(\mathrm{E}^{5}\right) \\
\frac{\delta T}{\delta \frac{\delta V}{\delta \eta_{1}}}=\frac{\delta T_{1}}{\delta \frac{\delta V_{1}}{\delta \eta_{1}}}+\frac{\delta T_{2}}{\delta \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{1}}}, \ldots, \frac{\delta T}{\delta \frac{\delta V}{\delta \eta_{3 n}}}=\frac{\delta T_{1}}{\delta \frac{\delta V_{1}}{\delta \eta_{3 n}}}+\frac{\delta T_{2}}{\delta \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{3 n}}} \quad\left(\mathrm{~F}^{5}\right)
\end{array}
\]

и
\[
\frac{\delta T_{2}}{\delta \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{1}}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{1}}+\frac{\delta V_{2}}{\delta \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{1}}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{2}}+\ldots+\frac{\delta \delta T_{2}}{\delta \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{3 n}}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{3 n}}=2 T_{2} .
\]

Исходя из принципов, изложенных в восьмом параграфе, мы имеем также
\[
\frac{\delta T}{\delta \frac{\delta V}{\delta \eta_{1}}}=\eta_{1}^{\prime}, \quad \frac{\delta T}{\delta-\frac{\delta V}{\delta \eta_{2}}}=\eta_{2}^{\prime}, \ldots, \frac{\delta T}{\delta \frac{\delta V}{\delta \eta_{3 n}}}=\eta_{3 n}^{\prime},
\]

и поскольку значения $\eta_{1}^{\prime}, \ldots, \eta_{3 n}^{\prime}$, очевидно, дают символическое уравнение
\[
\eta_{1}^{\prime} \frac{\delta}{\delta \eta_{1}}+\eta_{2}^{\prime} \frac{\delta}{\delta \eta_{2}}+\ldots+\eta_{3 n}^{\prime}-\frac{\delta}{\delta \eta_{3 n}}=\frac{d}{d t},
\]

то уравнение ( $\mathrm{A}^{5}$ ) все еще сохраняет силу в отношении введенных более общих отметок положения движущейся системы и все еще приводит к выражению ( $\mathrm{B}^{5}$ ), если только мы предполагаем, как и раньше, что обе части полной характеристической функции взяты такими, что они исчезают со временем.

На первый взгляд может показаться, что это строгое преобразование $\left(B^{5}\right)$ уравнения в частных производных (F) или аналогичного уравнения (T) с непрямолинейными координатами вряд ли поможет в раскрытии формы части $V_{2}$ характеристической функции $V$ (предполагается, что другая часть $V_{1}$ найдена ранее), так как она под знаком интеграла в члене $T_{2}$ включает частные производные искомой части $V_{2}$. Но, если мы заметим, что эти неизвестные производные входят только своими квадратами и произведениями, то увидим, что это дает общий метод усовершенствования приближения в любой задаче динамики, так как если первая часть $V_{1}$ является приближенным значением полной искомой функции $V$, то вторая часть $V_{2}$ будет мала, а член $T_{2}$ также будет не только мал, но в общем будет более высокого порядка малости. Поэтому мы в общем улучшим приближенное значение $V_{1}$

характеристической функции $V$ путем прибавления к ней определенного: интеграла
\[
V_{2}=\int_{0}^{t}\left(T-T_{1}\right) d t
\]

хотя, в отличие от (B5), это не есть совершенно строгое выражение остаюулучшенного приближения $V_{1}$ мы можем воспользоваться следующими аналогичными приближениями к точным формулам (D) и (E):
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta V_{1}}{\delta a_{1}}=-m_{1} a_{1}^{\prime}, \quad \frac{\delta V_{1}}{\delta a_{2}}=-m_{2} a_{2}^{\prime}, \ldots, \quad \frac{\delta V_{1}}{\delta a_{n}}=-m_{n} a_{n}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V_{1}}{\delta b_{1}}=-m_{1} b_{1}^{\prime}, \quad \frac{\delta V_{1}}{\delta b_{2}}=-m_{2} b_{2}^{\prime}, \ldots, \quad \frac{\delta V_{1}}{\delta b_{n}}=-m_{n} b_{n}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V_{1}}{\delta c_{1}}=-m_{1} c_{1}^{\prime}, \frac{\delta V_{1}}{\delta c_{2}}=-m_{2} c_{2}^{\prime}, \ldots, \frac{\delta V_{1}}{\delta c_{n}}=-m_{n} c_{n}^{\prime} \\
\end{array}
\]

и
\[
\frac{\delta V_{1}}{\delta H}=t
\]

или при любых других отметках начального или конечного положения (вместо прямоугольных координат) следующими приближенными формами. строгих уравнений (S) :
\[
\frac{\delta V_{1}}{\delta e_{1}}=-\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{1}^{\prime}}, \quad \frac{\delta V_{1}}{\delta e_{1}}=-\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{2}^{\prime}}, \ldots, \frac{\delta V_{1}}{\delta e_{3 n}}=-\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{3 n}^{\prime}},
\]

совместно с формулой ( $\mathrm{M}^{5}$ ). При помощи этих новых формул способ движения системы выражается приближенно и не строго.

Эти замечания легко можно распространить на задачи относительного движения и показать, что в таких задачах мы имеем строгое преобразование
\[
V_{,_{2}}=\int_{0}^{t}\left(T_{,}-T_{,_{1}}+T_{,_{2}}\right) d t
\]

и приближенное выражение
\[
V_{, 2}=\int_{0}^{t}\left(T_{,}-T_{, 1}\right) d t
\]

причем $V, \mathbf{1}$ представляет собой приближенное значение функции $V$; относительного движения, $V_{2}$ представляет собой поправку этого значения, а $T_{1}, T_{2}$ являются однородными функциями второй степени, состоящими из частных производных этих двух частей $V,_{1}, V_{, 2}$, точно так же как $T$, состоит из производных полной функции $V$. Эти общие замечания могут быть с пользой иллюстрированы конкретным и широким применением.