Пусть имеется такая задача механики, в которой координаты $x, y, z$ связаны не зависящими от времени условиями, которые частично могут иметь форму линейных дифференциальных уравнений; далее, пусть $T$ живая сила, а
\[
\delta U=\sum_{h}\left(X_{h} \delta x_{h}+Y_{h} \delta y_{h}+Z_{h} \delta z_{h}\right)
\]
– виртуальная работа действующих сил.

Конечным уравнениям связи можно удовлетворить, вводя координаты $q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$; тогда $T$ преобразуется в однородную функцию второй степени величин $q_{i}^{\prime}$, а $\delta^{\prime} U$ принимает вид
\[
\delta^{\prime} U=\sum_{i} Q_{i} \delta q_{i}
\]

причем $q_{i}$ связаны, сверх того, еще дифференциальными уравнениями:
\[
\sum_{s} p_{k i} d q_{i}=0\left\{\begin{array}{l}
k=1,2, \ldots, r, \\
i=1,2, \ldots, n
\end{array}\right\} .
\]

Если сообщить $t$ и $q_{i}$ такие вариации, что смещенные положения $P^{\prime}$ точек $P$ системы соответствуют значениям $t+\delta t, q_{i}+\delta q_{i}$, так что $\delta q_{i}$, $\delta t$ являются теми вариациями для момента $t$, при которых первоначальные координаты $x_{h}, y_{h}, z_{h}$ получают произвольные виртуальные перемещения $\delta x_{h}, \delta y_{h}$, $\delta z_{h}$, то общеизвестным методом*) мы находим
\[
\delta T=\sum_{i} \frac{\partial T}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\sum_{i} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\left(\frac{\delta d q_{i}}{d t}-q_{i}^{\prime} \frac{\delta d t}{d t}\right),
\]

а следовательно,
\[
d t \delta T+2 T \delta d t=d t \sum_{i} \frac{\partial T}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\sum_{i} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}} \delta d q_{i}+\left(2 T-\sum_{i} q_{i}^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right) \delta d t,
\]

или, если по теореме об однородных функциях последний член опустить, а второй член преобразовать путем интегрирования по частям в пределах от $t_{0}$ до $t_{1}$, то получим
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \delta T+2 T \delta d t=\left[\geq \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}} \delta q_{i}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}+\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right) \delta q_{i} d t .
\]

Если к обеим частям уравнения прибавить
\[
\int_{t_{0}}^{1} \delta^{\prime} U d t
\]

и опустить в правой части член, не содержащий знака интеграла, то, принимая во внимание уравнения (1), получим
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \delta T+2 T \delta d t+\delta^{\prime} U d t=\int_{i_{0}}^{t_{1}} \sum\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+Q_{i}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right) \delta q_{i} d t .
\]

Если теперь время оставить неварьированным, то отсюда следует
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\delta T+\delta^{\prime} U\right) a t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+Q_{i}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right) \delta q_{i} d t,
\]

а требование обращения в нуль интеграла Гамильтона дает дифференциальные уравнения механики
\[
\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+Q_{i}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}=\sum_{s=0}^{r} \lambda_{s} p_{s i},
\]

и обратно.
Если же время варьировать, а изменение энергии согласно Гёльдеру подчинить условию
\[
\delta T-\delta^{\prime} U=0,
\]

то, принимая во внимание условия (2), получим
\[
\left.\delta\right|_{t_{0}} ^{t_{1}} 2 T d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+Q_{i}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right) \delta q_{i} d t,
\]

так что и расширенный принцип наименьшего действия**) оказывается полностью эквивалентным дифференциальным уравнениям механики.