Теперь я рассматриваю в смысле обычной механики материальную систему, движущуюся под действием сил и одновременно удовлетворяющую уравнениям связей. В уравнения связей может также входить время. Достаточно считать систему отнесенной к системе прямоугольных координат. Варьируя движение, я сначала не обращаю внимания на уравнения связей. Если $m_{1}, m_{2}, \ldots$ – массы материальных точек, то для вариации живой силы получается:
\[
\delta T=\sum_{(v)} m_{v}\left(\frac{d x_{v}}{d t} \delta \frac{d x_{v}}{d t}+\frac{d y_{v}}{d t} \delta \frac{d y_{v}}{d t}+\frac{d z_{v}}{d t} \delta \frac{d z_{v}}{d t}\right) .
\]

При этом, например,
*) Здесь должна применяться эта формула вариационного исчисления, так как величина, по которой происходит дифференцирование, варьируется. Если мы хотим этого избежать, то мы должны, как это сделал, например, Гельмгольц, ввести еще переменную $\vartheta$. Тогда мы относим положения первоначального движения к значениям параметра $\vartheta$ и те же значения параметра привязываем к соответствующим положениям в варьированном движении. Таким образом, $\vartheta$ не варьируется, а варьируется время $t$. В особенности наглядной представляется следующая точка зрения. Пусть $\tau$ есть время движения от начального положения системы $A$ до положения $C$ в первоначальном движении, а $\tau+\delta \tau-$ время, которое проходит от начального положения $A$ до соответствующего положения $C^{\prime}$ в варьированном движении. Все величины, включая и $\delta t$, могут рассматриваться как функции $\tau$. Тогда $\delta \frac{d x_{
u}}{d t}$ есть разница между составляющими по оси $x$ скорости массы $m_{
u}$. для варьированного и неварьированного движений. Очевидно, стало быть,
\[
\begin{array}{c}
\delta \frac{d x_{v}}{d t}=\frac{d\left(x_{v}+\delta x_{v}\right)}{d(\tau+\delta \tau)}-\frac{d x_{v}}{d \tau}=\frac{\frac{d}{d t}\left(x_{v}+\delta x_{v}\right)}{\frac{d}{d \tau}(\tau+\delta \tau)}-\frac{d x_{v}}{d \tau}= \\
=\left(\frac{d x_{v}}{d \tau}-\frac{d \delta x_{v}}{d \tau}\right)\left(1+\frac{d \delta \tau}{d \tau}\right)-\frac{d x_{v}}{d \tau} .
\end{array}
\]

Если теперь произвести разложение в ряд и пренебречь членами высшего порядка в выражениях производных вариаций, то получается
\[
\frac{d \delta x_{
u}}{d \tau}-\frac{d x_{
u}}{d \tau} \cdot \frac{d \delta \tau}{d \tau},
\]
т. е. формула, стоящая в тексте. Одновременно мы убеждаемся в том, что не только вариации, но и их производные должны предполагаться малыми.

Если с помощью этого уравнения и аналогичных ему уравнений преобразовать правую часть равенства (3), то найдем
\[
\delta T=\sum_{(v)} m_{v}\left(\frac{d x_{v}}{d t} \cdot \frac{d \delta x_{v}}{d t}+\frac{d y_{v}}{d t} \cdot \frac{d \delta y_{v}}{d t}+\frac{d z_{v}}{d t} \cdot \frac{d \delta z_{v}}{d t}\right)-2 T \frac{d \delta t}{d t} .
\]

Это уравнение должно быть умножено на $d t$ и проинтегрировано в пределах от $t_{0}$ до $t_{1}$, между которыми протекает первоначальное движение. После интегрирования по частям мы получаем
\[
\left.\int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta T d t=-\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{(v)} m_{v}\left(\frac{d^{2} x_{v}}{d t^{2}} \delta x_{v}+\frac{d^{2} y_{v}}{d t^{2}} \delta y_{v}+\frac{d^{2} z_{v}}{d t^{2}} \delta z_{v}\right) d t-2 \int_{t_{0}}^{t_{1}} T d \delta t^{*}\right) ;
\]

для $t_{0}$ и $t_{1}$ положение системы мыслится неварьированным, благодаря чему пропадают члены, которые при интегрировании по частям должны были стоять перед интегралами.

Если теперь $X_{v}, Y_{v}, Z_{v}$ обозначают компоненты силы, действующей на массу $m_{v}$, то $\delta^{\prime} U$ определяется формулой
\[
\delta^{\prime} U=\sum_{(v)}^{Y}\left(X_{v} \delta x_{v}+Y_{v} \delta y_{v}+Z_{v} \delta z_{v}\right) .
\]

Уравнение (5) опять умножается на $d t$, интегрируется и затем прибавляется к уравнению (4); таким путем получается
\[
\begin{array}{l}
\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left\{2 T d \delta t+\left(\delta T+\delta^{\prime} U\right) d t\right\}= \\
=\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \sum_{(v)}\left\{\left(X_{
u}-m_{v} \frac{d^{2} x_{v}}{d t^{2}}\right) \delta x_{v}+\left(Y_{v}-m_{v} \frac{d^{2} y_{v}}{d t^{2}}\right) \delta y_{v}+\left(Z_{v}-m_{v} \frac{d^{2} z_{v}}{d t^{2}}\right) \delta z_{v}\right\} .
\end{array}
\]

Если в то же время выполнить вариацию движения так, чтобы величины $\delta x_{v}, \delta y_{v}, \delta z_{v}$ представляли виртуальное перемещение системы, то правая часть последнего уравнения по принципу Д’Аламбера должна быть равна нулю. Мы имеем, следовательно, теорему:

Если сравнить действительное движение материальной системы с движением, немного отличающимся от него, причем начальное и конечное положения системы остаются неварьированными, а перемещения из каждого положения действительного движения в соответствующее положение варьированного движения должны быть перемещениями виртуальными, то
\[
\left.\int\left\{2 T d \delta t+\left(\delta T+\delta^{\prime} U\right) d t\right\}=0^{* *}\right) .
\]

В этом уравнении $T$ обозначает живую силу, а $\delta^{\prime} U$ работу, которую совершили бы действующие силы на одном из только что названных, вообраэаемых перемещений.

При этом варьирование можно еще специализировать, пользуясь первым или вторым способами варьирования, установленными в § 1 .
1. Мы требуем, чтобы соответствующие положения действительного и варьированного движений проходились одновременно, т.е. мы полагаем $\delta t=0$ и получаем
\[
\int\left(\delta T+\delta^{\prime} U\right) d t=0 .
\]

Это – принцип Гамильтона.

2. Мы полагаем, обобщая второй из прежде указанных способов варьирования,
\[
\delta T=\delta^{\prime} U .
\]

Тем самым мы требуем, чтобы разность между живыми силами для взаимно соответствующих состояний обоих движений равнялась работе, которую совершили бы действующие силы на перемещении, соединяющем соответствующие положения. Этим определяется, каким образом должна пробегаться непрерывная последовательность варьированных положений. Следовательно, можно в уравнении (7) величину $\delta^{\prime} U$ заменить через $\delta T$, и тогда мы получим для этих специального вида вариаций
\[
0=\int\{T d \delta t+\delta T d t\}=\int\{T \delta d t+\delta T d t\}=\int \delta(T d t),
\]
T. e.
\[
\left.0=\delta \int T d t^{*}\right) .
\]

Это – принцип наименьшего действия в его расширенной форме **).
Другая форма этого принципа будет разобрана в § 4.