§573. Если в движении системы тел, для которой действует закон живых сил, взять произведение скорости каждой материальной точки системы на ее массу и на элемент ее траектории и подобные произведения, полученные для всех материальных точек, суммировать, а затем сумму эту проинтегрировать от одного заданного положения до другого, тоже заданного, то значение полученного интеграла будет вообще минимумом.
Эта теорема является развитием теоремы из § $160\left[{ }^{57}\right]$ и доказывается тем же способом ; поэтому для краткости мы этого доказательства приводить не будем.
Если обозначить через $d s$ элемент траектории массы $m$, скорость на котором равна $v$, то получим интеграл $\Sigma m v d s$, который вообще имеет минимальное значение ; но в некоторых случаях, как, например, в случае движения материальной точки по замкнутой поверхности, минимум может быть заменен максимумом ; тогда следует только доказать, что $\int \Sigma m v d s$ всегда равен нулю.
Так как $d s=v d t$, то найденный интеграл может быть выражен через $\int V d t$, если принять $V=\Sigma m v^{2}$.
Другими словами, принцип наименьшего действия означает, что интеграл произведения живой силы системы на элемент времени есть вообще минимум; так в природе система тел переносится из одного положения в другое с затратой наименьшего возможного количества живой силы.
Если к движущимся точкам не приложено никакой движущей силы, то скорость $v$ остается постоянной (§565) [58] и время прохождения пути минимально.
Если сравнить принцип наименьшего действия, принцип живых сил, принцип сохранения движения центра тяжести и закон площадей, то увидим, что первый принцип – это только правило для составления дифференциальных уравнений движения, теперь уже бесполезное, поскольку мы можем получить эти уравнения способом более непосредственным и более общим по формуле (1) из § $531\left[{ }^{59}\right]$; между тем другие принципы, помимо того, что они содержат в себе важные особенности движения, имеют еще и то преимущество, что позволяют получить единственно известные нам в большинстве задач интегралы этих дифференциальных уравнений.
Принцип сохранения движения центра тяжести дает нам три интеграла, а именно:
\[
\begin{array}{l}
\Sigma m x=a \Sigma m+A t, \\
\Sigma m y=b \Sigma m+B t, \\
\Sigma m z=c \Sigma m+C t,
\end{array}
\]
где $a, b, c, A, B, C$ являются шестью произвольными постоянными. Из них три первые представляют собой координаты центра тяжести системы в начальный момент движения, а три другие выражают суммы количества движения для этого момента, взятые параллельно осям координат для всех точек системы.
По закону площадей получаем три первых интеграла, а именно:
\[
\begin{array}{l}
\Sigma^{\prime} m(x d y-y d x)=c d t, \\
\Sigma^{\prime} m(z d x-x d z)=c^{\prime} d t, \\
\Sigma^{\prime} m(y d z-z d y)=c^{\prime \prime} d t,
\end{array}
\]
где $c, c^{\prime}, c^{\prime \prime}$ – три произвольные постоянные, выражающие начальные количества движения всех точек системы по отношению к осям $z, y, x$ или удвоенные площади, описанные вокруг этих же осей в единицу времени.
Наконец, принцип живых сил дает один-единственный интеграл, а именно, уравнение (b) из § $564\left[{ }^{60}\right]$, которое запишется в следующем виде :
\[
\frac{1}{2}\left[\sum m\left(\frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{d t^{2}}\right)\right]=D+\Phi\left(x, y, z, x^{\prime}, \ldots\right),
\]
где $D$ является произвольной постоянной.
