Характерное отличие английских работ по механике от работ, выполняемых на континенте, состоит, по моему мнению, в их тенденции, направленной на непосредственное постижение действительности, и в насквозь проникающей их наглядности изложения. Вследствие этого указанные работы должны заставить задуматься привычных к абстрактному ходу мысли математиков и в этом отношении ничего не теряется оттого (а даже скорее оказывается полезным), что упомянутые исследования по большей части выполнены не так методично и не так строго, как мы это считаем общепринятым.
Среди отдельных вопросов, которые я хочу ближе рассмотреть, замечание об истории возникновения гамильтоновой теории интегрирования должно иметь общий интерес. Относящиеся сюда обстоятельства, как кажется, являются совершенно неизвестными, хотя сам Гамильтон с достаточной ясностью писал об этом в различных местах своих работ, особенно в своей первой статье о системах лучей (1828).
Гамильтон нашел такое представление корпускулярной теории, согласно которому определение светового луча, проходящего через какую-либо неоднородную (но изотропную) среду, представляет собой специальный случай обычной механической задачи движения материальной точки; мы можем тут же добавить, что требуемая специализация не является существенной и что, более того, если перейти к пространствам высших измерений, то каждая механическая проблема может быть приведена к определению пути светового луча, проходящего через какую-либо соответствующую среду.
Открытие Гамильтона, согласно которому интегрирование дифференциальных уравнений динамики стоит в связи с интегрированием некоторого уравнения в частных производных первого порядка, основывалось на выводе результатов геометрической оптики, известных в корпускулярной теории, с точки зрения волновой теории, что имело большое значение в развитии физики своего времени. Теория Гамильтона интегрирования дифференциальных уравнений динамики есть прежде всего не что иное, как всеобщая аналитическая формулировка хорошо известного в физической форме соотношения между световым лучом и световой волной. В силу изложенного здесь исходного положения делается понятной и та ненужно частная форма, в которой Гамильтон опубликовал свою теорию и из которой исходил Якоби. Гамильтон первоначально исходил в своих исследованиях систем лучей из практических запросов оптического приборостроения. В силу этого он рассматривал только такие световые волны, которые выходят из отдельных точек. Обобщение Якоби, вытекавшее отсюда, состояло в том, что для определения луча должсны точно так же применяться и другие произвольные световые волны. Как известно, в оптике посредством так называемого принципа Гюйгенса из специальных волн строят общие;
это построение есть точный эквивалент аналитического процесса, посредством которого в теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка переходят от какого-либо «полного» решения к «общему». [Оптика в том смысле, в каком мы ее здесь понимали, есть геометрическая оптика, которая имеет дело с понятием светового луча (следовательно, явления дифракции принципиально исключаются) и при применении обычных прямоугольных координат подчиняется дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка второй степени :
\[
\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)^{2}=0 .
\]
В силу этого она сначала представляется совершенно отличной от физической оптики, в центре которой стоит дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка первой степени :
\[
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}}=0 .
\]
Однако геометрическая оптика может считаться предельным случаем физической, когда рассматриваются бесконечно малые длины волн. В самом деле, подставим в уравнение (2) для $\Phi$ выражение $e^{2 \pi i k f(x, y, z, t)}$ и устремим $k$ к бесконечности; тогда в пределе получим уравнение (1). Cр. Debye в добавлении к статье A. So m merfeld u. J. Runge, Annalen der Physik, 4 серия, т. 35, 1911, стр. 290. F. Klein.]
