Сначала мы поставим задачу в самой общей форме. Представим себе $n$ материальных точек (шарики $m$ в модели центрального движения), положение которых определяется при помощи $s$ обобщенных координат. Эти координаты могут быть связаны $\sigma$ условиями, совершенно не меняющимися с течением времени, которые, следовательно, остаются одними и теми же также и для всех варьированных движений.
Позже мы предположим, что движение этих $n$ материальных точек циклическое или родственное ему. Пока же мы оставим его самым общим.
Эти $n$ точек образуют рассматриваемую механическую систему. Кроме того, мы имеем еще три рода материальных точек.
1. Пусть прежде всего с $n$ упомянутыми материальными точками взаимодействуют другие $n^{\prime}$ материальных точек, которые сохраняют неизменными свои положения в пространстве и поэтому без нарушения общности могут быть включены в число $n$ точек. Например, в примере с моделью центрального движения в том месте, где нить проходит через отверстие, может находиться неподвижная неизменяемая масса, которая действует на шарик $m$ центральной силой, изменяющейся по любому закону. Такие массы могли бы быть размещены неподвижно и в других местах плоскости движения.
2. Кроме того, пусть с $n$ материальными точками взаимодействуют $v$ других точек, положение которых определяется $g$ обобщенными координатами (медленно изменяющиеся переменные, или параметры). Это положение в одних случаях остается неизменным, в других опять весьма медленно изменяется. Эти $
u$ точек по отношению к рассматриваемой системе считаются внешними. Они соответствуют магниту в модели центрального движения.
3. Пусть имеется еще $N$ других материальных точек, которые действуют только на $v$ точек и вовсе не действуют на $n$ точек и поэтому стоят совершенно в стороне от рассматриваемой системы.
В том случае, когда $
u$ точек находятся полностью в состоянии покоя, силы, которыми $N$ точек действуют на $
u$ точек, должны полностью уравновешиваться силами, действующими на $v$ точек со стороны $n$ точек; в том случае, когда $v$ точек медленно движутся, состояние должно очень мало отличаться от состояния равновесия. На модели центрального движения $N$ сил – это те силы, приложенные к магниту, которые должны уравновешиваться силами, действующими на магнитный полюс $A$.
Пусть $T$ – живая сила $n$ точек, $F$ – силовая функция всех сил взаимодействия этих точек и сил, которыми на $n$ точек действуют $n^{\prime}$ точек. Работу всех этих сил мы назовем внутренней работой, работу тех сил, которые действуют со стороны $v$ точек на $n$ точек (внешних сил), назовем внешней работой. Внешнюю обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате $p_{h}$ системы $n$ точек, т.е. одну из сил, происходящих от взаимодействия $n$ точек, с одной стороны, и $v$ точек – с другой, мы обозначим через $\Re_{h}$. Силы, действующие между $n$ точками и $v$ точками, пусть также обладают силовой функцией, которую мы обозначим через $\Omega$; общая же силовая функция $F+\Omega$ всех сил, действующих между $n, n^{\prime}$ и $v$ точками, пусть будет $V$. Если предпочесть вовсе не говорить о $v$ точках, то внешнее действие на $n$ точек определяется только силами $\mathfrak{P}_{h}$, имеющими силовую функцию $\Omega$, которая, однако, в этом случае содержит медленно изменяющиеся параметры.
Пусть сначала $n$ материальных точек движутся при неизменном положении $v$ точек в течение времени $t_{1}-t_{0}$; это движение мы назовем неварьированным движением $n$ точек. Обозначим через $T$ среднее значение живой силы для неварьированного движения за время $t_{1}-t_{0}$; тогда
\[
T=\frac{1}{t_{1}-t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t
\]
аналогично этой формуле подсчитаем среднее значение $V$, которое обозначим через $\bar{V}$, и т. д.
Сначала мы сравним с неварьированным движением другое движение, которое отличается от первого бесконечно мало, начинается в то же самое время $t_{0}$, что и неварьированное движение, и кончается в момент времени $t_{1}+\delta t_{1}$, бесконечно мало отличающийся от $t_{1}$.
Какому-либо состоянию $A$ неварьированного движения всегда соответствует то состояние $B$ варьированного движения, которое имеет место в тот же самый момент. Пусть в состоянии $B$ живая сила $n$ точек $T$ будет на $\delta T$ больше, чем в состоянии $A$.
Значения $s$ координат всех $n$ точек будут в состоянии $B$ несколько отличными от их значений в состоянии $A$. Вызванные одним только этим обстоятельством приращения величин $F, \Omega$ и $V$ мы обозначим через $\delta F, \delta \Omega$ и $\delta V$.
Далее, если
\[
P_{h}=-\frac{\partial F}{\partial p_{h}}+\mathfrak{P}_{h}
\]
есть полная обобщенная сила, соответствующая координате $p_{h}$ системы $n$ точек, то
\[
\delta F+\delta \Omega=\delta V=-\sum_{h=1}^{s} P_{h} \delta p_{h} .
\]
Таким образом, $\delta V$, как и раньше, обозначает общее количество энерги́и, подведенной к $n$ точкам, которое затрачивается на совершение работы против всех сил, действующих на $n$ точек. Если, далее, $\delta T$ обозначает приращение живой силы этих точек, то к системе $n$ точек должно быть каким-то путем подведено количество энергии, равное
\[
\delta E=\delta T+\delta V=\delta J_{n}+\delta \Omega=\delta J_{n,
u}-\delta_{
u} \Omega .
\]
чтобы перевести систему из состояния $A$ в состояние $B$. Силы; которые обусловливают этот приток энергии и которые мы теперь будем просто называть добавочными силами, – совершенно новые силы, которые не имеют ничего общего с силами, действующими при неварьированном движении. Можно провести параллель между этой энергией и количеством тепла $\delta Q$, подведенного к некоторому телу, в то время как величина $J_{n}=T+F$ (или же, если угодно, $J_{v, n}=T+V$ ) аналогична всей внутренней энергии нагретого тела, живой силе молекулярного движения и количеству тепла, затраченному на совершение внутренней работы.
