Чтобы удовлетворить условию совместности, уравнения движения должны обращать все $\Phi_{m}$ в нуль. Таким образом, подставляя $\Phi_{m^{\prime}}$ В $(21)$, получим
\[
v_{m}\left[\Phi_{m}, \Phi_{m^{\prime}}\right]=0 .
\]

Предположим, что уравнения (22) максимально упрощены с помощью системы уравнений (4). Приведение может содержать в себе также исклю-

чение множителей, когда они считаются отличными от нуля. Результирующие уравнения могут принадлежать к одному из четырех тмпов.
Тип 1. Уравнение содержит переменные $v$.
Тип 2. Уравнение не зависит от $v$, но включает переменные $p$ и $q$. Оно имеет, таким образом, вид
\[
\chi(p, q)=0
\]

и не зависит от уравнений (4).
Тип 3. Уравнение приводится к равенству $0=0$.
Тип 4. Уравнение приводится к выражению $1=0$.
Уравнения типа 2 ведут к еще одному типу условия совместности, так как $\chi$ должны оставаться равными нулю, Подставляя $\chi$ в (21), имеем
\[
v_{m}\left[\Phi_{m}, \chi\right]=0 .
\]

Уравнения, приведенные с помощью соотношений (4) и уже полученных равенств (23), также принадлежат к одному из перечисленных типов. Если это тип 2, то мы приходим к новому условию совместности. Мы повторяем эту операцию для каждого соотношения (2), пока не приходим к уравнению нового типа. Если мы получим таким образом уравнения типа 4, то уравнения движения не совместны. Этот случай, как не представляющий интереса, мы исключаем. Уравнения типа 3 удовлетворяются автоматически. Остаются лишь уравнения типа 1 и 2. Обратимся к полной системе уравнений типа 2:
\[
\chi_{k}(p, q)=0 \quad(k=1,2, \ldots, k) .
\]

Предположим, что функции $\chi_{k}$ выбраны подобно $\Phi_{k}$ в (4) так, что их вариации — порядка $\varepsilon$. В этом спучае равенства (25) можно считать слабыми. Эти новые слабые уравнения сводят область $R$, в которой удовлетворяются все слабые уравнения, к ( $2 N-k)$-измерениям. Область $R_{\varepsilon}$ также будет редуцирована, так как она теперь будет состоять из точек, находящихся в $\varepsilon$-окрестности новой области $R$.

Для изучения уравнений типа 1 удобно ввести новые понятия. Мы будем говорить, что величина $\Phi_{m}$ принадлежит к первому классу, если ее скобка Пуассона для каждой пары $\Phi$ и $\chi$ равна нулю. Таким образом, $\Phi_{m^{\prime}}$ принадлежит к первому классу, если
\[
\left[\Phi_{m^{\prime}} \Phi_{m}\right]=0, \quad\left[\Phi_{m^{\prime}}, \chi_{k}\right]=0 .
\]

Эти равенства должны выполняться только в слабом смысле, иначе говоря, они выполняются только лишь как следствие равенств $\Phi_{m}=0$ и $\chi_{k}=0$.

Таким образом, левые части (26) должны быть равны в сильном смысле некоторым линейным функциям от $\Phi_{m}$ и $\chi_{k} ; \Phi$, не удовлетворяющие этим условиям, мы назовем $\Phi$ второго класса. Произведем линейное преобразование вида
\[
\Phi_{m}^{*}=\gamma_{m m^{\prime}} \Phi_{m^{\prime}},
\]

где $\gamma$ — любое функции $q$ и $p$, такие, что детерминант $\gamma_{m n}$ не обращается в нуль в слабом смысле. Тогда в рамках нашей теории можно считать, что $\Phi^{*}$ эквивалентны $\Phi$. Произведем преобразование этого рода таким образом, чтобы перевести максимально возможное число $\Phi$ в первый класс. $\Phi$ первого класса обозначим через $\Phi_{\alpha}$, а $\Phi$ второго класса — через $\Phi_{\beta}$, причем
\[
\beta=1,2, \ldots, B ; \quad \alpha=B+1, B+2, \ldots, M .
\]

Если $\Phi_{m^{\prime}}$, принадлежит к первому классу, то уравнение (22) автоматически удовлетворяется. В дальнейшем в уравнениях (22) и (24).ограничимся $\Phi_{m}$, принадлежащими ко второму классу. Таким образом, оставшиеся уравнения (22) и (24) запишутся в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
v_{\beta}\left[\Phi_{\beta}, \Phi_{\beta^{\prime}}\right]=0, \quad \beta, \beta^{\prime}=1,2, \ldots, B, \\
v_{\beta}\left[\Phi_{\beta}, \chi_{k}\right]=0, \quad k=1,2, \ldots, k .
\end{array}\right\}
\]

Все они принадлежат к типу 1 . Из уравнеңий видно, что либо все $v_{\beta}$ равны нулю, либо матрица

имеет ранг меньше $B$ в слабом смысле $\left[{ }^{235}\right]$.
Докажем теперь, что правильна первая альтернатива. Считаем, что матрица (29) имеет ранг $U<B$. Образуем детерминант
$D$ — линейная функция от $\Phi_{\beta}$ и, следовательно, обращается в нуль в слабом смысле. С. П. для $D$ с произвольной величиной $f$ равна сумме детерминантов, каждый из которых задан С. П. одного из столбцов (30) с $f$.

Все эти детерминанты, кроме первого, соответствующего первому столбцу, равны нулю в слабом смысле, так как элементы их первых столбцов равны нулю в слабом смысле. Таким образом :

Если мы положим $f$ равным $\Phi_{a}$, то первый столбец (31) будет равен нулю и, следовательно, $\left[D, \Phi_{a}\right]=0$. Если же $f$ одно из $\Phi_{\beta}$ или $\chi$, то либо (31) имеет два равных столбца и, следовательно, равен нулю, либо (31) является минором матрицы (29) с $U+1$ строчками и также равен нулю, так как мы предположили, что (29) имеет ранг $U$. Таким образом, С. П. для $D$ со всеми $\Phi$ и $\chi$ равны нулю. $D$ может исчезать также в сильном смысле, если сомножители элементов первого столбца равны нулю в слабом смысле. В случае, если это имеет место, мы вводим новый детерминант $D$, столбцы которого, кроме первого, являются любыми $U$ столбцами детерминанта (29), а строчки $(U+1)$ строчками (29). То, что мы всегда можем выбрать такой детерминант таким образом, чтобы не все сомножители элементов первого столбца обращались в нуль, следует из предположения, что ранг (29) равен $U$. Мы получим таким образом $D$, который является $\Phi$ первого класса и линейной

функцией относительно $\Phi_{\beta}$. Но это находится в противоречии с высказанным ранее предположением о том, что преобразование $\gamma_{m n}$ переводит максимально возможное число $\Phi_{\text {в первй }}$ пласс. Таким образом, мы заключаем, что если максимально возможное число $\Phi$ переведено в первый класс, то $v$, соответствующие величинам $\Phi$ второго класса, равны нулю. Гамильтониан (20) приводится тогда к виду
\[
H \equiv v_{a} \Phi_{a} .
\]

Уравнение движения принимает вид
\[
\dot{g}=v_{\alpha}\left[g, \Phi_{\alpha}\right] .
\]

Обращение в нуль $v_{\beta}$ и уравнение (25) гарантируют выполнение условий совместности; $v_{a}$ остаются совершенно произвольными. Каждое из них вводит свободное движение, соответствующее произвольной функции, входящей в полное решение уравнений движения. В обычном случае имеет место только одно $\Phi$, очевидно принадлежащая к первому классу, и, следовательно, имеет место лишь одна произвольная функция, входящая в решение уравнения движения. Это связано с произвольным характером независимого переменного.