Различные $\theta$ обозначаем индексами $t, r, s, \ldots$ Имеем, по определению:
\[
\begin{aligned}
{\left[[\xi, \eta]^{*}, \zeta\right]^{*} } & =\left[[\xi, \eta]+\left[\xi, \theta_{r}\right] c_{r s}\left[\theta_{s}, \eta\right], \zeta\right]+ \\
& +\left[[\xi, \eta]+\left[\xi, \theta_{r}\right] c_{r s}\left[\theta_{s}, \eta\right], \theta_{t}\right] c_{t u}\left[\theta_{u}, \zeta\right]= \\
& =[[\xi, \eta], \zeta]+\left[\left[\xi, \theta_{r}\right], \zeta\right] c_{r s}\left[\theta_{s}, \eta\right]+\left[\xi, \theta_{2}\right]\left[c_{r s}, \zeta\right]+ \\
& +\left[\theta_{s}, \eta\right]+\left[\xi, \theta_{2}\right] c_{r s}\left[\left[\theta_{s}, \eta\right], \zeta\right]+\left[[\xi, \eta], \theta_{t}\right] c_{t u}\left[\theta_{u}, \zeta\right]+ \\
& +\left[\left[\xi, \theta_{r}\right], \theta_{t}\right] c_{r s}\left[\theta_{s}, \eta\right] c_{t u}\left[\theta_{u}, \zeta\right]+ \\
& +\left[\xi, \theta_{r}\right]\left[c_{r s}, \theta_{t}\right]\left[\theta_{s}, \eta\right] c_{t u}\left[\theta_{u}, \zeta\right]+\left[\xi, \theta_{2}\right] c_{r s}\left[\left[\theta_{s}, \eta\right], \theta_{t}\right] c_{t u}\left[\theta_{u}, \zeta\right]
\end{aligned}
\]

Пусть оператор $\Sigma$ обозначает суммирование по всем циклическим перестановкам $\xi, \eta, \zeta$. Требуется доказать, что
\[
\Sigma^{\prime}\left[[\xi, \eta]^{*}, \zeta\right]^{*}=0 \text {. }
\]

Применяя $\Sigma$ к первому члену (57), получим нуль на основании обычного тождества Пуассона. $\Sigma$, примененный ко второму, четвертому и пятому членам, дает на основании обычного тождества Пуассона:
\[
\sum c_{r s}\left[\theta_{s}, \eta\right]\left\{\left[\left[\xi, \theta_{2}\right], \zeta\right]+\left[\left[\theta_{2}, \zeta\right], \xi\right]+\left[[\zeta, \xi], \theta_{2}\right]\right\}=0 .
\]

Применяя $\Sigma$ к шестому и восьмому членам (57), получаем, подвергая $r, u, s, t$ циклической перестановке:
\[
\begin{aligned}
c_{r s} c_{t u} \sum\left[\theta_{s}, \eta\right]\left[\theta_{u}, \zeta\right]\left\{\left[\left[\xi, \theta_{2}\right], \theta_{t}\right]+\right. & {\left.\left[\left[\theta_{t}, \xi\right], \theta_{r}\right]\right\}=} \\
& =-c_{r s} c_{t u} \sum\left[\theta_{s}, \eta\right]\left[\theta_{u}, \zeta\right]\left[\left[\theta_{r}, \theta_{t}\right], \xi\right] .
\end{aligned}
\]

Из (35) следует, что
или
\[
\begin{array}{c}
{\left[c_{t u}\left[\theta_{r}, \theta_{t}\right], \xi\right]=0} \\
{\left[c_{t u}, \xi\right]\left[\theta_{r}, \theta_{t}\right]+c_{t u}\left[\left[\theta_{r}, \theta_{t}\right], \xi\right]=0 .}
\end{array}
\]

Еще раз пользуясь (35), приведем (58) к следующему виду:
\[
c_{r s}\left[\theta_{r}, \theta_{t}\right] \Sigma\left[\theta_{s}, \eta\right]\left[\theta_{u}, \zeta\right]\left[c_{t u}, \xi\right]=\Sigma\left[\theta_{t} \eta\right]\left[\theta_{u}, \zeta\right]\left[c_{t u}, \xi\right] .
\]

Применение $\Sigma$ к седьмому члену (57) дает:
\[
\left[\xi, \theta_{r}\right]\left[\eta, \theta_{s}\right]\left[\zeta, \theta_{u}\right]\left\{c_{t u}\left[c_{r s}, \theta_{t}\right]+c_{t r}\left[c_{s u}, \theta_{t}\right]+c_{t s}\left[c_{u r}, \theta_{t}\right]\right\} .
\]

Обозначив через $\Sigma_{r s u}$ суммирование по двум одновременным циклическим перестановкам $r, s, u$ и $r^{\prime}, s^{\prime}, u^{\prime}$, имеем :
\[
\sum_{r s u} c_{r^{\prime} r} c_{s^{\prime} s} c_{u^{\prime} u}\left[\left[\theta_{r^{\prime}}, \theta_{s^{\prime}}\right], \theta_{u^{\prime}}\right]=0 .
\]

Заменяя в (59) $\xi$ на $\theta_{u^{\prime}}$, получим, что
\[
\left[c_{r^{\prime} r}, \theta_{u^{\prime}}\right]\left[\theta_{r^{\prime}}, \theta_{s^{\prime}}\right]+c_{r^{\prime} r}\left[\left[\theta_{r^{\prime}}, \theta_{s^{\prime}}\right], \theta_{u^{\prime}}\right]=0 .
\]

Тогда из уравнения (61) получим
\[
\sum_{r s u} c_{s^{\prime} s} c_{u^{\prime} u}\left[\theta_{r^{\prime}}, \theta_{s^{\prime}}\right]\left[c_{r^{\prime} r}, \theta_{u^{\prime}}\right]=0 .
\]

Из (35) следует :
\[
\sum_{r s u} c_{u^{\prime} u}\left[c_{r s}, \theta_{u^{\prime}}\right]=0,
\]

значит, (60) равняется нулю, что и завершает доказательство. Все доказательство проведено в терминах сильных уравнений.