Настоящая заметка служит пополнением реферата, прочитанного мною 17 декабря 1866 г. в Математическом обществе и напечатанного в 1-м выпуске 11 -го тома Математического сборника. Я намерен показать на примере разницу между выражениями начала наименьшего действия, данными Лагранжем и Остроградским.

Для простоты ограничимся опять случаем движения свободной точки, массу которой будем принимать равною единице.

Начало наименьшего действия Лагранжа, в применении к движению свободной точки, состоит в том, что $\int^{t_{1}} T d t$ для движения точки. определяемого уравнениями
\[
\frac{d I}{d x}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \quad \frac{d I I}{d y}=\frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \quad \frac{d I}{d z}=\frac{d^{2} z}{d t^{2}},
\]

имеет величину, меньшую, чем для всякого другого движения, проходящего через те же начальную и конечную точки и удовлетворяющего тому же условию: $T=\Pi+h$.

Сравниваемые движения мы определяем кинематически – определяем тем, что они проходят через одни и те же точки пространства и подчиняются одному и тому же условию. Для большей ясности постараемся характеризовать их динамически, характеризовать производящими их силами и начальными скоростями.

Начальные скорости всех сравниваемых движений должны быть равны по величине, так как все эти движения начинаются в одной и той же точке пространства и так как все они подчиняются условию: $T=\Pi+h$. Направления начальных скоростей могут быть различны.

Если свободное движение сравнивается со свободными же, то, очевидно, эти последние не могут происходить под действием той же силы; иначе все сравниваемые движения определялись бы уравнениями
\[
\frac{d \Pi}{d x}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \quad \frac{d \Pi}{d y}=\frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \quad \frac{d \Pi}{d z}=\frac{d^{2} z}{d t^{2}}
\]

и для всех движений $\int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t$ имел бы наименьшую величину. Сила изменяется, следовательно, в сравниваемых движениях.
1. Всякое несвободное движение можно рассматривать как свободное, происходящее под действием силы и сопротивлений.
1. Включая в число сравниваемых движений свободные и несвободные, можно изменение силы в сравниваемых движениях производить трояко: 1) можно изменять самую движущую силу ; 2) можно, не изменяя самой движущей силы, прибавлять к ней сопротивления; 3) можно изменять

самую силу и прибавлять к ней сопротивления. Из этих трех случаев особенно замечателен второй.

Уравнение $T=\Pi+h$ всегда будет иметь место, если силовая функция и условия не будут содержать времени и если величина начальной скорости будет одна и та же. Начало наименьшего действия Лагранжа получает здесь следующее простое выражение : $\int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t$ для свободного движения точки имеет величину, меньшую, чем для всякого несвободного, происходящего под действием той же силы, имеющего ту же начальную скорость (по величине) и проходящего через те же начальную и конечную точки.
Обратимся к примеру.
Вообразим параболическое движение наклонно брошенной тяжелой точки. Положим, что начальная скорость $v$ очень велика, но угол $\varphi$ наклона ее к горизонту очень мал. Это движение сначала будет очень мало разниться от горизонтального прямолинейного равномерного, имеющего скорость $v_{0}$. (Для большего сближения движений можно, если угодно, заменить тяжесть другою постоянною силою, имеющею произвольно малую напряженность.) Положим, что оба движения происходят в плоскости $x z$, первое определяется уравнениями
\[
x=v_{0} \cos \varphi t, \quad z=v_{0} \sin \varphi t-\frac{1}{2} g t^{2} ;
\]

второе определяется уравнениями
\[
x=v_{0} t, \quad z=0 .
\]

Силовая функция для первого движения будет: $-g z$. Уравнение $T=$ $=\Pi+h$ или $v^{2}=v_{0}^{2}-2 g z$ будет иметь место и при втором движении. Сравним оба движения между теми точками, в которых пересекаются траектории ; сравним выражения $\int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t$ :
для первого движения
\[
T=\frac{1}{2}\left\{v_{0}^{2}-2 v_{0} \sin \varphi g t+g t^{2}\right\},
\]

для второго движения
\[
T=\frac{1}{2} v_{0}^{2}
\]

для первого движения
\[
t_{1}=\frac{2 v_{0} \sin \varphi}{g},
\]

для второго движения
\[
t_{1}=\frac{2 v_{0} \sin \varphi \cos \varphi}{g} ;
\]

для первого движения
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t=\frac{v_{0}^{3} \sin \varphi}{g}\left[1-\frac{2}{3} \sin ^{2} \varphi\right],
\]

для второго движения
\[
\begin{aligned}
\int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t & =\frac{v_{0}^{8} \sin \varphi \cos \varphi}{g}=\frac{v_{0}^{3} \sin \varphi}{g} \sqrt{1-\sin ^{2} \varphi}= \\
& =\frac{v_{0}^{3} \sin \varphi}{g}\left\{1-\frac{1}{2} \sin ^{2} \varphi-\frac{1}{8} \sin ^{4} \varphi-\ldots\right\} .
\end{aligned}
\]

Итак, при малых величинах $\varphi$ величина $\int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t$ для первого движения меньше, чем для второго.

Начало наименьшего действия Остроградского в применении к движению свободной точки состоит в том, что $\int_{t_{0}}^{t_{1}}(T+\Pi) d t$ для движения точки, определяемого уравнениями
\[
\frac{d \Pi}{d x}=-\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \quad \frac{d \Pi}{d y}=\frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \quad \frac{d \Pi}{d z}=\frac{d^{2} z}{d t^{2}},
\]

имеет величину меньшую, чем для всякого другого, проходящего через те же начальную и конечную точки, начинающегося и оканчивающегося в те же моменты времени.

Начальные скорости могут здесь различаться не только по направлению, но и по величине. Все сравниваемые движения не могут и здесь происходить под действием одной и той же силы, иначе все они определялись бы уравнениями
\[
\frac{d \Pi}{d x}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \quad \frac{d \Pi}{d y}=\frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \quad \frac{d \Pi}{d z}=\frac{d^{2} z}{d t^{2}},
\]

и для всех $\int_{t_{0}}^{t_{1}}(T+\Pi) d t$ имел бы наименьшую величину. Изменение силы в сравниваемых движениях может быть заменено прибавкою сопротивлений, происходящих от условий.

Возьмем опять параболическое движение наклонно брошенной тяжелой точки и горизонтальное прямолинейное равномерное.

Сравним величины $\int_{t_{0}}^{t_{1}}(\Pi+T) d t$ для этих движений. Так как оба движения должны начинаться и оканчиваться не только в одних и тех же точках пространства, но в одни и те же моменты времени, то величины начальной скорости в них должны быть различны. Изменим величину начальной скорости во втором движении, означим ее через $v_{1}$. Она будет равна $v_{0} \cos \varphi$. Примем за П силовую функцию первого движения. Для первого движения
\[
\Pi+T=\frac{1}{2}\left(v_{0}^{2}-4 v_{0} \sin \varphi g t+2 g^{2} t^{2}\right),
\]

для второго движения
\[
\Pi+T=\frac{1}{2} v_{0}^{2} \cos ^{2} \varphi .
\]

Для обоих движений
\[
t_{1}=\frac{2 v_{0} \sin \varphi}{g} .
\]

Для первого движения
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}(\Pi+T) d t=\frac{v_{0}^{3} \sin \varphi}{g}\left[1-\frac{4}{3} \sin ^{2} \varphi\right]
\]

для второго движения
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}(\Pi+T) d t=\frac{v_{0}^{3} \sin \varphi}{g}\left[1-\sin ^{2} \varphi\right] .
\]

Итак, $\int_{t_{0}}^{t_{2}}(\Pi+T) d t$ для первого движения меньше, чем для второго. Если бы мы приняли за $П$ силовую функцию второго движения (нуль), то нашли бы, что для первого движения $\int_{t_{0}}^{t_{1}}(\Pi+T) d t$ равняется $\frac{v_{0}^{3} \sin \varphi}{g}\left(1-\frac{2}{3} \sin ^{2} \varphi\right)$ и что для второго движения он равняется $\frac{v_{0}^{s} \sin \varphi}{g}\left(1-\sin ^{2} \varphi\right)$. Результат, как и должно быть, получился бы обратный.