Минковский первым показал, что, рассматривая евклидово многообразие в четырех измерениях, так называемую вселенную, или пространство время, можно геометрически просто представить введенные Эйнштейном связи между пространством и временем. Для этого он брал три оси в прямоугольных координатах пространства и четвертую ось, нормальную к трем первым, на которую наносились значения времени, умноженные на $c \sqrt{-1}$. Сейчас принято относить к четвертой оси вещественное значение ct, но в этом случае плоскости, проходящие через эту ось и нормальные к пространству, будут иметь гиперболическую псевдоевклидову геометрию, основной инвариант которой будет $c^{2} d t^{2}-d x^{2}-d y^{2}-d z^{2}$.
Рассмотрим таким образом пространство-время, отнесенное к четырем прямоугольным осям так называемого «неподвижного» наблюдателя. Примем за ось $x$ прямолинейную траекторию движущегося тела и нанесем на график плоскость Otx, содержащую ось времени и вышеназванную траекторию. В этих условиях мировая линия движущегося тела представлена прямой, находящейся под углом не меньше $45^{\circ}$ к оси времени ; эта линия является к тому же осью времени для наблюдателя, связанного с движущимся телом. На нашем графике две оси времени проходят через нуль, что не ограничивает общности рассуждений.
Если скорость движущегося тела для неподвижного наблюдателя равна $\beta c$, то наклон $O t^{\prime}$ будет иметь значение $\frac{1}{\beta}$. Прямая $O x^{\prime}$ расположена в плоскости $t O x$ пространства наблюдателя, начинающегося с времени $t=0$, симметрично к $O t^{\prime}$ относительно биссектрисы $O D$; это легко показать аналитически с помощью преобразования Лоренца, но это является также прямым результатом того факта, что предельная скорость энергии $c$ имеет одинаковое значение для всех систем отсчета. Наклон $O x^{\prime}$ равен, таким образом, $\beta$. Если пространство, окружающее движущееся тело, является местом периодического явления, то состояние пространства будет повторяться для перемещающегося наблюдателя каждый раз, когда пройдет время $\frac{1}{c} O A=\frac{1}{c} A B$, равное собственному периоду явления $T_{0}=\frac{1}{v_{0}}=\frac{h}{m_{0} c^{2}}$.
Прямые, параллельные $O X^{\prime}$, являются, таким образом, следами \”равнофазных пространств» наблюдателя, смещающегося на плоскости $x O t$. Точки $\ldots a^{\prime}, O, a, \ldots$ представляют собой проекцию их пересечений с пространством неподвижного наблюдателя в момент $t=0$; эти пересечения двух пространств с тремя измерениями являются двумерными поверхностями и даже плоскостями, потому что все рассматриваемые здесь пространства евклидовы. Сечение пространства-времени, которое для неподвижного наблюдателя является пространством, с течением времени будет представляться прямой, параллельной $O X$ и равномерно смещающейся по направлению возрастающих $t$. Легко видеть, что равнофазные плоскости … $a^{\prime}, O, a, \ldots$ смешаются в пространстве неподвижного наблюдателя со скоростью $\frac{c}{\beta}$. Действительно, если прямая $O x^{\prime}$ на рис. 1 представляет собой пространство неподвижного наблюдателя при $t=1$, то $\overline{a a_{0}}=c$. Фаза, которая при $t=0$
находилась в $a$, теперь находится в $a_{1}$; таким образом, она сместилась в пространстве неподвижного наблюдателя на длину $a_{0} a_{1}$ в направлении $O x$ за единицу времени. Можно, таким образом, сказать, что ее скорость будет
\[
V=a_{0} a_{1}=a_{0} a \operatorname{ctg}\left(\overparen{x O x^{\prime}}\right)=\frac{c}{\beta} .
\]
Ансамбль равнофазных плоскостей представляет собой так называемую фазовую волну.
Остается рассмотреть вопрос о частотах. Начертим опять небольшой упрощенный рисунок. Прямые 1 и 2 представляют собой для связанного с ними наблюдателя два последовательных равноРис. 2. фазных пространства. Как было сказано, $\overline{A B}$ в $c$ раз больше собственного периода $T_{0}=\frac{h}{m_{0} c^{2}}$.
$A C$, являющаяся проекцией $A B$ на ось $O t$, равна
\[
c T_{1}=c T_{0} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]
Это является результатом простого применения тригонометрических соотношений ; однако следует отметить, что, применяя тригонометрию к фигурам плоскости $x O t$, следует всегда помнить об анизотропии, свойственной этой плоскости.
Треугольник $A B C$ дает
\[
\begin{array}{c}
\overline{A B^{2}=} \overline{A C}^{2}-\overline{C B^{2}}=\overline{A C}^{2}\left(1-\operatorname{tg}^{2} \overparen{C A B}\right)=\overline{A C^{2}}\left(1-\beta^{2}\right), \\
\overline{A C}=\frac{\overline{A B}}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\end{array}
\]
что и требовалось доказать.
Частота $\frac{1}{T_{1}}$ представляет собой ту частоту периодического явления, которую отмечает неподвижнрый наблюдатель, следящий за смещением этого периодического явления, а именно :
\[
u_{1}=v_{0} \sqrt{1-\beta^{2}}=\frac{m_{0} c^{2}}{h} \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]
Период волн в одной точке пространства для неподвижного наблюдателя выражается не величиной $\frac{1}{c} \overline{A C}$, а величиной $\frac{1}{c} \overline{A D}$. Произведем расчет этого периода.
Из маленького треугольника $B C D$ находим соотношение
\[
\frac{\overline{C B}}{\overline{D C}}=\frac{1}{\beta},
\]
откуда
\[
\overline{D C}=\beta \bar{C} \bar{B}=\beta^{2} \overline{A C} .
\]
Нo $\overline{A D}=\overline{A C}-D C=\overline{A C}\left(1-\beta^{2}\right)$.
Новый период $T$ будет, таким образом, равен
\[
T=\frac{1}{c} \overline{A C}\left(1-\beta^{2}\right)=T_{0} \sqrt{1-\beta^{2}},
\]
а частота $v$ волн будет
\[
v=\frac{1}{T}=\frac{v_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{m_{0} c^{2}}{h \sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]
Таким образом, мы получаем хорошее совпадение с результатами, найденными аналитически в разделе I, но теперь можно видеть, как они связаны с общей концепцией пространства-времени и почему смещение по фазе периодических движений, происходящее в различных точках пространства, зависит от способа определения одновременности в теории относительности.
