10. Изложенная выше теория дает действительно точные выражения для возмущений при переходе от более простого движения (H) или (I) к более сложному движению (G) или (K). Однако может показаться, что эти выражения мало полезны, поскольку они включают неизвестную возмущающую функцию $S_{2}$ (а именно возмущенную часть полной главной функции $S$ ), а также неизвестные возмущенные координаты или отметки положения $\eta_{i}$. Однако в последнее время было показано, что во всех случаях, когда найдена первая приближенная форма главной функции $S$, как, например, здесь главная функция $S_{1}$ невозмущенного движения, поправка $S_{2}$ может быть в общем внесена с бесконечно увеличивающейся точностью. Но так как возмущения (M) и (0) включают возмущенные координаты $\eta_{i}$, лишь поскольку они входят в производные этой малой возмущающей функции $S_{2}$, то очевидно, что можно подставить вместо этих координат сперва их невозмущенные значения, а затем корректировать результат путем подстановки более точных выражений.
11. Функция $S_{1}$ невозмущенного движения должна строго удовлетворять двум уравнениям в частных производных формы (C), а именно:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta S_{1}}{\delta t}+F_{1}\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)=U_{1}\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right), \\
\frac{\delta S_{1}}{\delta t}+F_{1}\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{1}}{\delta e_{3 n}}, e_{1}, \ldots, e_{3 n}\right)=U_{1}\left(e_{1}, \ldots, e_{3 n}\right),
\end{array}\right\}
\]

и, следовательно, согласно равенству (D) возмущающая функция $S_{2}$ должна строго удовлетворять условию
\[
\begin{aligned}
\frac{d S_{2}}{d t}=U_{2}\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)-F_{2}\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}, \ldots,\right. & \left.\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)+ \\
& +F\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)
\end{aligned}
\]

и может (ввиду того, что $F$ является однородной функцией первой степени) быть приближенно выражена так:
\[
S_{2}=\int_{0}^{t}\left\{U_{2}\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)-F_{2}\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)\right\} d t,
\]

или с помощью равенства (I) так:
\[
S_{2}=\int_{0}^{t}\left\{U_{2}\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)-F_{2}\left(\bar{\omega}_{1}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)\right\} d t,
\]
т. е., принимая во внимание равенство (42),
\[
S_{2}=-\int_{0}^{t} H_{2} d t .
\]

В этом выражении $\mathrm{H}_{2}$ дается непосредственно как функция переменных величин $\eta_{i}, \bar{\omega}_{i}$, но может рассматриваться в том же порядке приближения, как известная функция их начальных значений $e_{i}, p_{i}$ и времени $t$, полученных путем подстановки вместо $\eta_{i}, \bar{\omega}_{i}$ их невозмущенных значений (44), (45) в

качестве функций этих величин. Поэтому его вариация может быть выражена одним из следующих двух способов :
\[
\delta H_{2}=\Sigma\left(\frac{\delta H_{2}}{\delta \eta} \delta \eta+\frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}} \delta \bar{\omega}\right)
\]

или
\[
\delta H_{2}=\Sigma\left(\frac{\delta H_{2}}{\delta e} \delta e+\frac{\delta H_{2}}{\delta p} \delta p\right)+\frac{\delta H_{2}}{\delta t} \delta t .
\]

Принимая последнюю точку зрения и проведя интегрирование (T) по времени, причем элементы $\ell_{i}, p_{i}$ рассматриваются как постоянные, мы должны затем подставить вместо величин $p_{i}$ их невозмущенные выражения (39) или (1), и тогда мы найдем для вариации возмущающей функции $S_{2}$ следующее выражение $\left[{ }^{104}\right]$ :
\[
\delta S_{2}=-H_{2} \delta t+
u\left(-\delta e \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e} d t+\delta \frac{\delta S_{1}}{\delta e} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta p} d t\right) .
\]

Это позволяет нам преобразовать выражения (M) и (0), характеризующие возмущение, в следующие приближенные выражения:
\[
A p_{i}=-\int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e_{i}} d t+\Sigma \frac{\delta^{2} S_{1}}{\delta e \delta e_{i}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta p} d t
\]

и
\[
\Delta \bar{\omega}_{i}=\sum \frac{\delta^{2} S_{1}}{\delta e \delta \eta_{i}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta p} d t
\]

включающие только функции и величины, которые согласно теории невозмущенного движения могут рассматриваться как заданные.
12. С той же степенью приближения, если мы напишем вариацию выражения (44) невозмущенной координаты $\eta_{i}$ в виде
\[
\delta \eta_{i}=\frac{\delta \eta_{i}}{\delta t} \delta t+\Sigma\left(\frac{\delta \eta_{i}}{\delta e} \delta e+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p} \delta p\right),
\]

то возмущение этой координаты может быть выражено так:
\[
\delta \eta_{i}=\mathbf{y} \frac{\delta \eta_{i}}{\delta p} \Delta p,
\]
т.е. согласно (U)
\[
\left.\begin{array}{rl}
\Delta \eta_{i}= & -\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{1}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e_{1}} d t-\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{2}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e_{2}} d t-\ldots-\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{3 n}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e_{3 n}} d t+ \\
& +\left(\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{1}} \frac{\delta^{2} S_{1}}{\delta e_{1}^{2}}+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{2}} \frac{\delta^{2} S_{1}}{\delta e_{1} \delta e_{2}}+\ldots+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{3 n}}-\frac{\delta^{2} S_{1}}{\delta e_{1} \delta e_{3 n}}\right) \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta p_{1}} d t+ \\
& \left.+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{3 n}} \frac{\delta^{2} S_{1}}{\delta e_{3 n}^{2}}\right) \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta p_{3 n}} d t \\
& +\left(\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{1}} \frac{\delta^{2} S_{1}}{\delta e_{3 n} \delta e_{1}}+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{2}} \frac{\delta^{2} S_{1}}{\delta e_{3 n} \delta e_{2}}+\ldots+\right.
\end{array}\right\}
\]

Кроме того, тождество (47) дает [105]
\[
\frac{\delta \eta_{i}}{\delta e_{k}}=\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{1}} \frac{\delta^{2} S_{1}}{\delta e_{k} \delta e_{1}}+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{2}} \frac{\delta^{2} S_{1}}{\delta e_{k} \delta e_{2}}+\ldots+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{3 n}} \frac{\delta^{2} S_{1}}{\delta e_{k} \delta e_{3 n}} .
\]

Поэтому выражение (52) может быть сокращено так:
\[
\begin{aligned}
\Delta \eta_{i}= & -\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{1}} \int_{\theta}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e_{1}} d t-\ldots-\frac{\delta \eta_{i}}{\delta p_{3 n}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e_{3 n}} d t+ \\
& +\frac{\delta \eta_{i}}{\delta e_{1}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta p_{1}} d t+\ldots+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta e_{3 n}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H}{\delta p_{3 n}} d t .
\end{aligned}
\]

Это показывает, что вместо точных возмущенных членов (М) мы можем приближенно воспользоваться выражением
\[
\Delta p_{i}=-\int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e_{i}} d t,
\]

чтобы вычислить возмущенную конфигурацию в любое время $t$ на основе правил невозмущенного движения, при условии, что, помимо такого изменения начальных скоростей и направлений, мы изменим также начальную конфигурацию согласно формуле :
\[
\Delta e_{i}=\int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta p_{i}} d t .
\]

Нетрудно будет подобным же образом вычислить приближенные выражения для возмущенных направлений и скоростей в любое время $t$; однако лучше, если мы снова другим способом рассмотрим строгую теорию возмущения.