В томе 121 этого журнала нами была опубликована статья «Об одной общей форме уравнений динамики»; мы просим разрешения представить две дополнительные заметки, относящиеся к теме этой статьи, одну – математического характера, другую – библиографического, – о принципе наименьшего принуждения Гаусса.
1. Уравнения Лагранжа применимы, когда связи некоторой системы без трения могут быть выражены в конечной форме и когда применяются параметры, являющиеся истинными координатами. Предположим для упрощения, что существует силовая функция $U$. Тогда можно написать уравнения движения, если только известны выражения половины живой силы $T$ и $U$ в функции независимых параметров.

Если, напротив, все связи не могут быть выражены соотношениями в конечной форме, то нельзя более применять уравнения Лагранжа; чтобы написать уравнения движения, достаточно знать $U$ и функцию $S=\frac{1}{2} \Sigma m J^{2}$, образованную ускорениями так же, как $T$ образуется из скоростей. Но является ли это условие необходимым?

Могут ли существовать уравнения движения более общие, нежели уравнения Лагранжа, применимые ко всем случаям и требующие для своего составления только знания двух функций: $T$ и $U$ ? Мы сейчас покажем, что такие уравнения не существуют. Для этого мы приведем две различные системы, для которых функции $T$ и $U$ тождественно равны, причем, однако, уравнения движения этих систем не одни и те же.

Первая система. Представим себе тяжелое тело, удовлетворяющее следующим условиям:
1) тело заканчивается острым ребром в форме круга радиуса $a$;
2) центр тяжести $G$ тела находится в центре круга $K$;
3) эллипсоид инерции для центра тяжести $G$ есть эллипсоид вращения относительно перпендикуляра $G z$ к плоскости круга.

Предположим, далее, что тело, построенное таким образом, вынуждено катиться без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости, которой оно касается круговым ребром $K$.

Пусть будет $G a$ полупрямая, проведенная из центра $G$ вертикально вверх; примем за ось $G y$ перпендикуляр к плоскости $a G z$ и за ось $G x-$ перпендикуляр к плоскости $y G z$; тогда $G y$ будет горизонталью плоскости круга $K$, а $G x$ – линией наибольшего ската этой плоскости, заканчивающейся в точке соприкосновения круга $K$ с неподвижной плоскостью. Обозначим через $\theta$ угол оси $G z$ с вертикалью $G \alpha$ и через $\psi$ – угол оси $G y$ с некоторой определенной неподвижной горизонталью. Эти два угла определяют

ориентацию трехгранника Gxyz. Чтобы определить положение твердого тела относительно трехгранника $G x y z$, достаточно знать угол $\varphi$, который образует с осью $G y$ радиус круга $K$, неизменно связанный с телом.

Таким образом, мгновенное вращение $\omega$ тела слагается из вращения трехгранника и из вращения $\frac{d \varphi}{d t}=\varphi^{\prime}$ вокруг оси $G z$. Составляющие $p, q, r$ вращения $\omega$ таковы:
\[
p=-\psi^{\prime} \sin \theta, \quad q=\theta^{\prime}, \quad r=\psi^{\prime} \cos \theta+\varphi^{\prime} .
\]

С другой стороны, условие качения круга $K$ требует, чтобы квадрат скорости центра тяжести $G$ был равен $a^{2}\left(q^{2}+r^{2}\right)$. В результате, принимая массу тела за единицу и обозначая через $A$ и $C$ соответственно моменты инерции относительно осей $G x$ и $G z$, имеем
\[
2 T=a^{2}\left(q^{2}+r^{2}\right)+A\left(p^{2}+q^{2}\right)+C r^{2},
\]

откуда получаются окончательные выражения для функций $T$ и $U$ :
\[
\begin{aligned}
2 T & =A \psi^{\prime 2} \sin ^{2} \theta+\left(A+a^{2}\right) \theta^{\prime 2}+\left(C+a^{2}\right)\left(\psi^{\prime} \cos \theta+\varphi^{\prime}\right)^{2}, \\
U & =-g a \sin \theta
\end{aligned}
\]

Вторая системе та. Пусть имеется второе твердое тело той же формы, с тем же радиусом $a$ и с той же массой, что и предыдущее. Предположим, что масса в этом теле распределена иначе и притом так, что если обозначить через $A_{1}$ и $C_{1}$ моменты инерции, аналогичные $A$ и $C$, то мы будем иметь
\[
A_{1}=A, \quad C_{1}=C+a^{2} .
\]

Наложим на это тело следующие две связи: тело касается круговым ребром $K$ неподвижной горизонтальной плоскости $P_{1}$, по которой оно может скользить без трения; центр тяжести $G$ тела скользит без трения по неподвижной окружности в вертикальной плоскости; радиус этой окружности равен $a$, а центр $O$ находится в неподвижной плоскости $P_{1}$.

Чтобы выразить указанные связи, возьмем те же подвижные оси Gxyz и те же обозначения, что и выше; назовем $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ абсолютные координаты точки $G$ относительно двух осей $O x_{1}$ и $O y_{1}$, находящихся в плоскости $P_{1}$, а через $O z_{1}$ обозначим ось, направленную вертикально вверх. Можно предположить, что неподвижная окружность, которую описывает точка $G$, лежит в плоскости $x_{1} O z_{1}$; тогда мы будем иметь:
для первой связи $z_{1}=a \sin \theta$,
для второй связи $y_{1}=0, x_{1}^{2}+z_{1}^{2}=a^{2}$, откуда, очевидно,
\[
x_{1}=a \cos \theta .
\]

При этих условиях мы имеем
\[
2 T_{1}=x_{1}^{\prime 2}+y_{1}^{\prime 2}+z_{1}^{\prime 2}+A_{1}\left(p^{2}+q^{2}\right)+C_{1} r^{2},
\]

откуда, в силу значений $x_{1}, y_{1}, z_{1}, A_{1}$ и $C_{1}$,
\[
\left.\begin{array}{rl}
2 T_{1} & =A \psi^{\prime 2} \sin ^{2} \theta+\left(A+a^{2}\right) \theta^{2}+\left(C+a^{2}\right)\left(\psi^{\prime} \cos \theta+\varphi^{\prime}\right)^{2}, \\
U_{1} & =-g a \sin \theta .
\end{array}\right\}
\]

Мы видим, что функции $T$ и $T_{1}, U$ и $U_{1}$ тождественно равны; между тем уравнения движения различны, ибо уравнения Лагранжа применимы ко второй системе и неприменимы к первой. Это мы и хотели доказать.

Можно заметить, что из трех уравнений движения два могут быть приведены к одной и той же форме в обеих системах: в самом деле, интеграл живых сил, очевидно, в обоих случаях один и тот же, кроме того, как уже показал Слессер (Slesser) в статье, помещенной в Quarterly Journal of Mathematics (1873), мы имеем право написать для первой системы уравнение Лагранжа, относящееся к $\theta$; это, очевидно, можно сделать и для второй системы. Но третьи уравнения различны для двух движений: для второй системы мы имеем интеграл $r=r_{0}$, который не имеет места для первой системы.

Само собой понятно, что разница между двумя движениями обнаруживается непосредственно, если образовать две функции $S$ и $S_{1}$, применяя формулы нашей предыдущей статьи. (См. также Journal de Mathématiques pures et appliquées, вып. 1, 1900.)
2. Библиографические указания. Мы дали в конце предыдущей статьи несколько беглых и неполных указаний относительно аналитического выражения принципа Гаусса. Мы обязаны А. Мейеру из Лейпцига следующими историческими и библиографическими сведениями. Аналитическое выражение Гаусса было уже указано Якоби в одной еще не опубликованной его лекции; независимо от Якоби оно было дано Шефлером (Scheffler) [III том журнала Шлёмильха (Schlömilch), стр. 197]. Оно воспроизводится у Maxa ( $\mathrm{Mach}$, Die Mechanik in ihrer Entstehung historischkritisch dargestellt, Leipzig, 1883), у Герца, которого мы цитировали, у Больциана (Boltzmann, Vorlesungen über die Prinzipe der Mechanik, Leipzig, 1897). Наконец, Уилард Гиббс (Willard Gibbs) в прекрасной работе «On the fundamental formulae of Dynamics (American Journal of Mathematics, r. II, 1879) дал приложения этого аналитического выражения принципа Гаусса к различным задачам, особенно к вопросу о вращении твердых тел.