В принципе Гамильтона оба вида энергии фигурируют только совместно, в форме разности $\Phi-L$, при выполнении варьирования они разделяются. Между тем дифференциальные уравнения Лагранжа как первоначальные (2), так и расширенные (4) легко написать в такой форме, чтобы и в них оба вида энергии также входили только в форме разности. Так как потенциальная энергия зависит только от координат, но не от скоростей, все $\frac{\partial \Phi}{\partial q_{i}}$, а следовательно, и все $\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial q_{i}}\right)$ равны нулю. Поэтому, если последние выражения прибавить к правым частям уравнений (4), то этим их справедливость не нарушится, а следовательно, их можно написать в таком виде :
\[
P_{i}=-\frac{\partial(\Phi-L)}{\partial p_{i}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial(\Phi-L)}{\partial q_{i}}\right),
\]

так что и в это выражение входит только разность $\Phi-L$, временно́й интеграл от которой, согласно принципу Гамильтона, должен иметь экстремальное значение. В дальнейшем мы эту функцию, которая только и нужна для выражения динамических принципов, будем обозначать одним знаком $H$, полагая
\[
\Phi-L=H,
\]

и называть эту величину кинетическим потенциалом системы. Кинетический потенциал имеет размерность энергии и вследствие наличия составной части $\Phi$ содержит аддитивную неопределенную постоянную. В статических задачах, где живая сила либо равна нулю либо имеет вследствие равномерного движения всей системы постоянное значение $L$, которое сливается с неопределенной постоянной, кинетический потенциал, разумеется, совпадает с потенциальной энергией, а условие равновесия (153a) [160] может быть записано также в такой форме :
\[
\delta H=0 .
\]

Это условие непосредственно требует только, чтобы имело место равенство
\[
\delta \Phi-\delta L=0,
\]

но предположение, что это уравнение могло бы быть удовлетворено тем, что $\delta \Phi=\delta L$ и при этом каждая из вариаций в отдельности не равна нулю, приводит к противоречию с принципом сохранения энергии, который не допускает, чтобы при какой-либо вариации $\Phi$ и $L$ одновременно возрастали; остается следовательно, только предположить, что $\delta \Phi=0$ и $\delta L=0$, а это и есть ранее полученные статические условия.

Для движущейся системы функция $H$ подлежит еще ограничениям, вытекающим из ее определения: она должна состоять из функции одних только координат $p_{i}$, из которой вычитается существенно положительная однородная квадратичная функция скоростей $q_{i}$, коэффициенты которой также могут зависеть только от координат $p_{i}$. Введение обозначения $H$ прежде всего является только формальным упрощением; точно так же введение термина «кинетический потенциал» не обогащает нашего знания, но только содействует более краткому выражению мысли, когда мы хотим облечь принцип Гамильтона в словесную форму. Существенное значение этой функции можно усмотреть только из того обстоятельства, что теперь становится возможным, выйдя за пределы видимых явлений движения, придать уравнениям, выражающим законы термодинамики и электродинамики, те же формы, которые принцип Гамильтона дает для динамики весомых масс; при этом, конечно, $H$ не подчиняется уже только что упомянутым ограничивающим условиям, но является подлежащей определению в каждой области функцией величин $p_{i}$ и $q_{i}$, определяющих состояние системы. Два ряда параметров $p_{i}$ и $q_{i}$ не должны непременно находиться в полном взаимном соответствии: могут существовать некоторые $q$, а соответствующие p отсутствовать, и наоборот.

Подобные общие принципы, в которых выставляется требование, чтобы интеграл некоторой функции состояния, распространенный на время, в течение которого происходит изменение состояния, имел экстремальное значение, иногда обязательно минимальное, выдвигались неоднократно. Эти принципы имели различную форму, соответствующую тем или другим условиям, налагаемым на варьирование, но при правильном выполнении требуемых варьирований все эти принципы приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям для рассматриваемых процессов. Первым из этих интегральных принципов был предложенный Мопертюи принцип наименьшего действия, в котором утверждалось, что при всех происходящих в природе явлениях среднее значение живой силы имеет минимальное значение. Условия варьирования, имеющие при этом место для механических задач, найдены только Лагранжем, и тем самым этот принцип был только им научно обоснован. Эти условия с современной точки зрения могут быть выражены требованием, чтобы полная энергия варьированного движения оставалась равной полной энергии действительного движения. Впрочем, к тем же результатам приводит принцип Гамильтона, при котором имеет место другое условие, а именно, что время не затрагивается варьированием. Это последнее условие имеет то преимущество, что мы имеем возможность присоединить к $H$ добавочные члены, относящиеся к внешним силам. Поэтому мы оставляем форму Гамильтона, которая теперь при сохранении прежнего условия варьирования гласит:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} H d t=0
\]

или в расширенной форме:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(H+\Sigma P_{i} p_{i}\right) d t=0 .
\]

Расширенные уравнения Лагранжа получают форму:
\[
P_{i}=-\frac{\partial H}{\partial p_{i}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right) .
\]