Если специализировать группу (5), ограничившись простейшим обычно рассматриваемым случаем, когда в преобразования не входят производные от $u$ и когда преобразуемые независимые переменные зависят только от $x$, а не от $u$, то можно сделать вывод об инвариантности отдельных составных

частей в формулах. Прежде всего получается путем уже известных умозаключений инвариантность интеграла
\[
\int \ldots \int\left(\Sigma \psi_{i}^{\prime} \delta u_{i}\right) d x,
\]

а сяедовательно, относительная инвариантность выражения
\[
\left.\sum \psi_{i} \delta u_{i}^{*}\right),
\]

где под $\delta$ понимается какая-нибудь вариация. В самом деле, мы, с одной стороны, имеем
\[
\delta I=\int \ldots \int \delta f\left(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots\right) d x=\int \ldots \int \delta f\left(y, v, \frac{\partial v}{\partial y}, \ldots\right) d y,
\]

с другой – равные нулю на границе значения $\delta u, \delta \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots$, которым вследствие линейности и однородности преобразования величин $\delta u, \delta \frac{\partial u}{\partial x}$ соответствуют также исчезающие на границе величины $\delta v, \delta \frac{\partial v}{\partial y}, \ldots$ :
\[
\begin{array}{l}
\int \ldots \int \delta f\left(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots\right) d x=\int \ldots \int\left(\Sigma \psi_{i}(u, \ldots) \delta u_{i}\right) d x, \\
\int \ldots \int \delta f\left(y, v, \frac{\partial v}{\partial y}, \ldots\right) d y=\int \ldots \int\left(\Sigma \psi_{i}(v, \ldots) \delta v_{i}\right) d y ;
\end{array}
\]

следовательно, для исчезающих на границе значений $\delta u, \delta \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots$ будем иметь
\[
\begin{aligned}
\int \ldots \int\left(\Sigma \psi_{i}(u, \ldots) \delta u_{i}\right) d x & =\int \ldots \int\left(\Sigma \psi_{i}(v, \ldots) \delta v_{i}\right) d y= \\
& =\int \ldots \int\left(\Sigma \psi_{i}(v, \ldots) \delta v_{i}\right)\left|\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{k}}\right| d x .
\end{aligned}
\]

Если в третьем интеграле выразить $y, v, \delta v$ через $x, u, \delta u$ и положить его равным первому, то будем иметь соотношение
\[
\int \ldots \int\left(\sum \chi_{i}(u, \ldots) \delta u_{i}\right) d x=0
\]

для исчезающего на границе, а в остальном произвольного $\delta u$, а отсюда, как известно, вытекает исчезновение подынтегральной функции для любого $\delta и$; следовательно, мы имеем тождественное относительно би coomношение:
\[
\Sigma \psi_{i}(u, \ldots) \delta u_{i}=\left|\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{\kappa}}\right|\left(\sum \psi_{i}(v, \ldots) \delta v_{i}\right)
\]

которое устанавливает относительную инвариантность выражения $\sum \psi_{i} \delta u_{i}$, а следовательно, инвариантность интеграла
\[
\left.\int \cdots \int\left(\Sigma \psi_{i} \delta u_{i}\right) d x^{* *}\right) .
\]

Чтобы применить это к выведенным соотношениям дивергенций и к зависимостям, нужно сначала доказать, что $\bar{\delta} u$, выведенное из $\Delta u, \Delta x$, действительно будет удовлетворять законам преобразования для $\delta u$, коль скоро только параметры или соответственно произвольные функции в $\bar{\delta} v$ будут определены так, чтобы они соответствовали подобной группе бесконечно малых преобразований относительно $y, v$. Если обозначить через $\mathfrak{I}_{q}$ – преобразование, которое переводит $x$ и $и$ в $y$ и $v$, через $\mathfrak{I}_{p}-$ бесконечно малое преобразование, преобразующее $x$ и и в самих себя, то подобное ему преобразование дается формулой
\[
\mathfrak{I}=\mathfrak{I}_{q} \mathfrak{T}_{p} \mathfrak{T}_{q}^{-1},
\]

где, следовательно, параметры или соответственно произвольные функции іпределяются при помощи $p$ и $q$. Формулами это выражается так:
\[
\begin{aligned}
\mathfrak{T}_{p}: \xi & =x+\Delta x(x, p), & & u^{*}=u+\Delta u(x, u, p), \\
\mathfrak{I}_{q}: y & =A(x, q), & & v=B(x, u, q), \\
\mathfrak{T}_{q} \mathfrak{T}_{p}: \eta & =A(x+\Delta x(x, p), q), & & v^{*}=B(x+\Delta x(p), u+\Delta u(p), q) .
\end{aligned}
\]

Но отсюда получается
\[
\mathfrak{I}_{r}=\mathfrak{I}_{q} \mathfrak{I}_{p} \mathfrak{T}_{q}^{-1},
\]

следовательно,
\[
\eta=y+\Delta y(r), \quad v^{*}=v+\Delta v(r),
\]

причем вследствие обращения, $\mathfrak{I}_{q}$ рассматриваются как функции $у$ и принимаются в расчет только бесконечно малые члены, так что имеет место тождество
\[
\left.\begin{array}{rl}
\eta & =y+\Delta y(r)=y+\sum \frac{\partial A(x, q)}{\partial x} \Delta x(p), \\
v^{*} & =v+\Delta v(r)=v+\sum \frac{\partial B(x, u, q)}{\partial x} \Delta x(p)+\sum \frac{\partial B(x, u, q)}{\partial u} \Delta u(p) .
\end{array}\right\}
\]

Если здесь вместо $\xi=x+\Delta x$ поставить $\xi-\Delta \xi$, благодаря чему $\xi$ снова переходит в $x$, а следовательно, $\Delta x$ исчезает, то по первой из формул (20) $\eta$ также переходит в $y=\eta-\Delta \eta$; если при помощи этой подстановки $\Delta u(p)$

переводится в $\bar{\delta} u(p)$, то также и $\Delta v(r)$ переходит в $\bar{\delta} v(r)$, и вторая из формул (20) дает :
\[
\begin{aligned}
v+\bar{\delta} v(u, v, \ldots, r) & =v+\sum \frac{\partial B(x, u, q)}{\partial u} \bar{\delta} u(p), \\
\bar{\delta} v(y, v, \ldots, r) & =\sum \frac{\partial B}{\partial u_{x}} \delta u_{\varkappa}(x, u, p),
\end{aligned}
\]

так что действительно удовлетворяются формулы преобразования для вариаций, коль скоро только ду предполагается зависяцим от параметров или соответственно от произвольных функций $r *$ ).

Отсюда следует, в частности, относительная инвариантность выражения $\Sigma \psi_{i} \delta u_{i}$, а также (учитывая (12) и то, что соотношения для дивергенций выполняются также и для $y, v$ ) относительная инвариантность величины Div $B$; далее, на основании (14) и (13), относительная инвариантность Div $\Gamma$ и связанных с $p^{(\lambda)}$ левых сторон зависимостей, где всегда в преобразованных формулах следует заменять произвольные $p(x)$ (соответственно и параметры) через $r$. Отсюда получается еще относительная инвариантность $\operatorname{Div}(B-\Gamma)$, т. е. дивергенции не исчезающей тождественно системы функций $B-\Gamma$, дивергенция которой, однако, тождественно равна нулю.

Из относительной инвариантности Div $B$ в одномерном случае и для конечной группы можно вывести еще заключение об инвариантности первых интегралов. Параметрическое преобразование, соответствующее бесконечно малому преобразованию, согласно (20) ‘будет линейным и однородным и вследствие обратимости всех преобразований $\varepsilon$ будут также выражаться линейно и однородно через преобразованные параметры $\varepsilon^{*}$. Эта обратимость наверняка сохраняется, если положить $\psi=0$, ибо в формулы (20) не входят производные от $u$.
Если приравнять коэффициенты при $\varepsilon *$ в уравнении
\[
\operatorname{Div} B(x, u, \ldots, \varepsilon)=\frac{d y}{d x} \operatorname{Div} B\left(y, v, \ldots, \varepsilon^{*}\right),
\]

то функции
\[
\frac{d}{d y} B^{(\lambda)}(y, v, \ldots)
\]

также становятся линейными однородными функциями от
\[
\frac{d}{d x} B^{(\lambda)}(x, u, \ldots),
\]

так что из равенства
\[
\frac{d}{d x} B^{(\lambda)}(x, u, \ldots)=0
\]

или
также следует
\[
\begin{array}{l}
B^{(\lambda)}(x, u, \ldots)=\mathrm{const} \\
\frac{d}{d y} B^{(\lambda)}(y, v, \ldots)=0
\end{array}
\]

или
\[
B^{(2)}(y, v, \ldots)=\text { const . }
\]

Таким образом, е первых интегралов, которые соответствуют некоторой группе $\mathbb{E}_{e}$, также допускают группу, так что упрощается и дальнейшее

интегрирование. Простейшим примером этого может служить случай, когда функция $f$ свободна от $x$ или от $u$, что соответствует бесконечно малому преобразованию $\Delta x=\varepsilon, \Delta u=0$ или соответственно $\Delta x=0, \Delta u=\varepsilon$. Тогда $\bar{\delta} u$ делается равным $\varepsilon \frac{d u}{d x}$, или соответственно $\varepsilon$, а так как $B$ выводится из $f$ и $\bar{\delta} u$ путем дифференцирования и рациональных операций, то она, следовательно, также свободна от $x$ или соответственно от $u$ и допускает соответствующие группы *).