1. Пусть в одном случае состояние цикла меняется медленно адиабатически так, что только один параметр $p_{a}$ увеличивается на $d p_{a}$; в другом случае – так, что только параметр $p_{a}$, получает приращение $d p_{a^{\prime}}$. Пусть в первом случае обобщенная внешняя сила $\mathfrak{P}_{a}$, соответствующая параметру $p_{a \prime}$, получает приращение $d \mathfrak{P}_{a}$, во втором случае внешняя сила $\mathfrak{F}_{a^{\prime}}$, соответствующая параметру $p_{a}$, получает приращение $d \mathfrak{P}_{a}$; тогда будем иметь соотношение
\[
\frac{d \mathfrak{P}_{a^{\prime}}}{d p_{a}}=\frac{d \mathfrak{P}_{a}}{d p_{a^{\prime}}} ;
\]

то же самое имеет место и тогда, когда все движения происходят изоциклически. Мы можем относящиеся к обоим случаям соотношения записать более точно так:
\[
\frac{\partial_{q} \Re_{a^{\prime}}}{\partial p_{a}}=\frac{\partial_{q} \Re_{a}}{\partial p_{a^{\prime}}} \quad \text { и } \quad \frac{\partial p^{\prime} \Re_{a^{\prime}}}{\partial p_{a}}=\frac{\partial_{p^{\prime}} \mathfrak{\Re}_{a}}{\partial p_{a^{\prime}}} .
\]

Доказательство непосредственно вытекает из уравнений (254) и (265), т.е. из того обстоятельства, что внешние силы как при адиабатическом, так и при изоциклическом изменении состояния обладают силовой функцией.

2. Из уравнений
\[
\mathfrak{P}_{a}=-\frac{\partial F}{\partial p_{a}}-\frac{\partial q T}{\partial p_{a}}, \quad \frac{\partial F}{\partial q_{b}}=0 \quad \text { и } \quad p_{b}^{\prime}=\frac{\partial T}{\partial q_{b}}
\]
(последнее получено на основании уравнения (60) $\left[{ }^{1,0}\right]$ ) следует:
\[
\frac{\partial \Re_{a}}{\partial q_{b}}=-\frac{\partial_{q} p_{b}^{\prime}}{\partial p_{a}} .
\]

Предположим, что приращение $d q_{b}$ циклического импульса $q_{b}$ при сохранении остальными $q$ и всеми параметрами постоянных значений вызывает приращение $d \mathfrak{F}_{a}$ обобщенной силы $\mathfrak{P}_{a}$, соответствующей параметру $p_{a}$; предположим, далее, что адиабатическое приращение $d p_{a}$ параметра $p_{a}$ при постоянстве всех прочих параметров вызывает приращение $d p_{b}^{\prime}$ циклической скорости $p_{b}^{\prime}$; тогда $d p_{b}^{\prime}$ и $d \mathfrak{P}_{a}$ имеют противоположные знаки, а отношения приращений $d q_{b}$ и $d p_{a}$, рассматриваемых как причины, к соответствующим изменениям $d \mathfrak{F}_{a}$ и $d p_{b}^{\prime}$, рассматриваемым как следствия, равны между собой по абсолютному значению (как говорит Герц, отношения следствия к причине в обоих случаях равны). Поэтому в этих условиях
\[
\frac{d \Re_{a}}{d q_{b}}=-\frac{d p_{b}^{\prime}}{d p_{a}} .
\]

Так как для моноцикла приращения $d p_{b}^{\prime}$ и $d q_{b}$ должны быть одного знака, то для моноцикла имеет место также следующее предложение: Если увеличение циклической скорости $p^{\prime}$ при постоянстве параметров увеличивает обобщенную силу по какому-либо параметру $p_{a}$, то адиабатическое приращение этого параметра при постоянстве остальных должно уменьшить циклическую скорость $p^{\prime}$.
3. Пусть сила $\mathfrak{P}_{a}$ вызывает входящее в уравнение (267) приращение $d q_{b}$ в течение времени $d t$; тогда

с другой стороны,
\[
\begin{array}{c}
d q_{b}=P_{b} d t, \\
\mathfrak{P}_{a}^{\prime}=\frac{d \Re_{a}}{d t}
\end{array}
\]

есть скорость, с которой возрастает сила $\mathfrak{F}_{a}$ в тех условиях, при которых имеет место уравнение (267). Левая часть этого уравнения поэтому равна $\frac{\mathfrak{P}_{a}^{\prime}}{P_{b}}$, и если в правой части для большей ясности опять перейти к форме записи уравнения (266), то из уравнения (267) следует :
\[
\frac{\Re_{a}^{\prime}}{P_{b}}=-\frac{\partial_{q} p_{b}^{\prime}}{\partial p_{a}},
\]

или в словесной формулировке: Если все параметры постоянны, а все обобщенные силы, соответствующие циклическим координатам, за исключением одной $\left(P_{b}\right)$, равны нулю и если обобщенная сила $\mathfrak{P}_{a}$, соответствующая параметру $p_{a}$, должна за время $d t$ возрасти на $\mathfrak{P}_{a}^{\prime} d t$, то адиабатическое приращение $p_{a}$ при постоянстве прочих параметров вызывает убывание $p_{b}^{\prime}$, и опять отношение причины к следствию в обоих случаях одно и то же, если силу $P_{b}$ рассматривать как причину, скорость изменения силы $\Re_{a}$, равную $\mathfrak{F}_{a}^{\prime}$, – как ее стедствие, а с другой стороны, приращение координаты $d p_{a}$ как причину, и убывание циклической скорости – $d p_{b}^{\prime}$ – как следствие этой причины.

4. Из соотношений
\[
\mathfrak{P}_{a}=-\frac{\partial F}{\partial p_{a}}+\frac{\partial_{p^{\prime}} T}{\partial p_{a}} \quad \text { и } \quad q_{b}=\frac{\partial_{p^{\prime}} T}{\partial p_{b}^{\prime}}
\]

следует :
\[
\frac{\partial \mathfrak{P}_{a}}{\partial p_{b}^{\prime}}=\frac{\partial p^{\prime} q_{b}}{\partial p_{a}},
\]
т. е. если при постоянстве остальных циклических скоростей и параметров приращение какой-нибудь циклической скорости $p_{b}^{\prime}$ вызывает приращение внешней обобщенной силы $\mathfrak{P}_{a}$, соответствующей параметру $p_{a}$, то изоциклическое приращение $p_{a}$ при постоянстве остальных параметров вызывает также приращение циклического импульса $q_{b}$, соответствующего $p_{b}^{\prime}$; при этом, как сокращенно выражается Герц, опять для бесконечно малых приращений отношение следствия к причине в обоих случаях – одно и то же. И опять-таки для моноциклов приращение циклической скорости имеет тот же знак, что и приращение циклического импульса.
5. Совершенно так, как из уравнения (266) было получено уравнение (268), можно из уравнения (269) образовать новое. При образовании частной производной в правой части последнего уравнения принято, что $\mathfrak{P}_{a}$ и $P_{b}$ имеют такие значения, что все параметры, за исключением одного $p_{a}$, остаются постоянными. При этом $P_{b}$ означает обобщенную силу, соответствующую циклической координате $p_{b}$, а приращения величин $p_{a}$ и $q_{b}$ за время $d t$ мы обозначим через $d p_{a}$ и $d q_{b}$. Тогда частное $\frac{d q_{b}}{d p_{a}}$ будет равно величине, которая в формуле (269) обозначена через $\frac{\partial p^{\prime} q_{b}}{\partial p_{a}}$, но $d p_{a}=p_{a}^{\prime} d t$ и $d q_{b}=P_{b} d t$; поэтому
\[
\frac{\partial_{p^{\prime}} q_{b}}{\partial p_{a}}=\frac{P_{b}}{p_{a}^{\prime}}
\]

и уравнение (269) можно написать в виде
\[
\frac{\partial \Re_{a}}{\partial p_{b}^{\prime}}=\frac{P_{b}}{p_{a}^{\prime}} .
\]

Словами это можно выразить так: Если при постоянстве прочих циклических скоростей и параметров приращение одной циклической скорости $p_{b}^{\prime}$ вызывает приращение обобщенной силы $\mathfrak{P}_{a}$, соответствующей параметру $p_{a}$, то для обеспечения изоциклического приращения $p_{a}$ при постоянстве остальных параметров циклической координате $p_{b}$ должна соответствовать обобщенная сила $P_{b}$; при этом опять отношения между причиной и следствием в обоих случаях должны быть равны, если рассматривать приращение $p_{b}^{\prime}$ как причину и приращение $\mathfrak{P}_{a}$ как ее следствие, а с другой стороны, скорость $p_{a}^{\prime}$, с которой изоциклически меняется $p_{a}$, – как причину необходимости приложить силу $P_{b}$, последнюю же – как следствие этой причины.