Так были заложены основы аналитической механики Гамильтона, ставшие в дальнейшем основой динамики Гамильтона-Якоби. Именно замечательный немецкий математик Якоби блестяще развил, уточнил и значительно обогатил идеи Гамильтона в области интегрирования дифференциальных уравнений движения.

Однако физическая сторона проблемы у Якоби обеднена, так как в его изложении утрачиваются всякие следы связи оптики с механикой, всякие следы оптико-механической аналогии. Уже у Якоби оптико-механическая аналогия подвергается забвению, которое продлилось до следующего возрождения проблемы корпускулярно-волнового синтеза в XX в.

Зато Якоби не только развил теорию интегрирования дифференциальных уравнений динамики, но и нашел такую форму выражения для принципа наименьшего действия, в которой его глубокая связь с геометрией обобщенного пространства делается особенно прозрачной.
Согласно Гамильтону функция
$$V=V(q_i,q_{0i},H)=\int \sqrt{(H+U)\sum a_{ij}d{q}_{i}d{q}_j},$$

из которой с помощью
$$\frac{\partial V}{\partial q_i}=p_i,\frac{\partial V}{\partial q_{0i}}=p_{0i}$$

можно получить импульсы, в силу соотношения
$$H(q_i,p_i)=T-U=h$$

дважды, как функция от $q_{0i}$ и $q_i$, удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению в частных производных
$$\begin{array}{l}H(q_{0i},\frac{\partial V}{\partial q_{0i}})+h=0,\\ H(q_i,\frac{\partial V}{\partial q_i})+h=0.\end{array}$$

Якоби показал, исходя из этого, что если найдено какое-нибудь общее решение (38), т. е. решение с $n-1$ произвольными постоянными, то этого достаточно для того, чтобы с помощью такого полного решения можно было получить траекторию проблемы в проинтегрированной форме.
Действительно, если имеется такое решение
$$\tilde{V}=\tilde{V}(q_i,c_1,\dots ,c_{n-1}),$$

то достаточно написать:
$$p_i=\frac{\partial \tilde{V}}{\partial q_i},\frac{\partial \tilde{V}}{\partial c_1}={\alpha }_1,\dots ,\frac{\partial \tilde{V}}{\partial c_{n-1}}={\alpha }_{n-1}.$$

Число постоянных с и $a$, т. е. $2n-2$, является как раз тем числом произвольных постоянных, которое необходимо для определения всех траекторий в пространстве, число измерений которого снижено благодаря соотношению $H+h=0$ до $2n-1$.

Эта связь между дифференциальными уравнениями динамики и дифференциальными уравнениями в частных производных относится к общей теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, где она и была открыта Коши в 1819 г. задолго до Якоби. После того как Якоби самостоятельно подметил и изучил эту связь, он получил общую теорию интегрирования дифференциальных уравнений динамики. Метод состоит в том, что вместо непосредственного исследования основных уравнений динамики ищут достаточно общее решение гамильтоновых уравнений в частных производных, из которого интегрирование первых получается, так сказать, само сабой.

Общий вид и обоснование этой теории и дал Якоби. В функции $S$ или $V$, исследованные Гамильтоном, входят константы — начальные координаты (а в $S$ также и энергия). Якоби показал, что это ограничение необязательно и что вместо (38a) или (38b) необходимо только одно уравнение, а именно:
$$H(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i})=E,$$

или
$$H(q_i,\frac{\partial V}{\partial q_i})+\frac{\partial V}{\partial t}=0.$$

Якоби указывает, что случай, когда одновременно имеют место закон живых сил и принцип наименьшего действия, очень важен : «Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением, Гамильтон называет характеристической.

Прекрасное соотношение, найденное Гамильтоном, было несколько недоступно и туманно вследствие того, что он свою характеристическую функцию заставил зависеть еще от второго дифференциального уравнения в частных производных. Присоединение этого условия усложняет ненужным образом все открытие, так как более точное исследование показывает, что второе дифференциальное уравнение в частных производных совершенно излишне»*).

Для уравнения (42) Якоби доказал, что можно рассматривать любой полный интеграл этого уравнения, т. е. интеграл, содержащий столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных.

Можно показать, обозначив через ${\alpha }_r(r=1,2,\dots ,n)n$ постоянных интегрирования, что система движется таким путем, что производные $V$ по $a_r$ с течением времени не изменяются, т. е.
$$\frac{\partial V}{\partial a_r}={\beta }_r$$

где ${\beta }_r$ — новые произвольные постоянные. Это выражение иногда называют теоремой Якоби; оно содержит $2n$ постоянных ${\alpha }_r$ и ${\beta }_r$. Импульсы в любой точке траектории могут быть вычислены из формул
$$\frac{\partial V}{\partial q_r}=p_r\dots$$

Аналогично для (41), где ${\alpha }_r(r=1,2,\dots ,n-1)$, получим уравнение
$$\frac{\partial S}{\partial {\alpha }_r}={\beta }_r,$$

которое содержит ( $2n-1$ ) произвольных постоянных ${\alpha }_r,{\beta }_r,E$. Импульсы находятся из
$$\frac{\partial S}{\partial q_r}=p_r.$$

Якоби рассматривал только ту форму функций действия, которая основана на функции $V$, и ограничился прямоугольными координатами. Якоби критиковал Гамильтона за то, что тот не пришел прямо к общей форме теории :
«Я поэтому не знаю, почему Гамильтон для того, чтобы быть в состоянии указать общие интегралы выше приведенных дифференциальных уравнений, требует введения функции $V$ от $6n+1$ переменных, а именно $3n$ величин $x_i,y_i,z_i,3n$ величин $a_i,b_i,c_i$ и величины $t$, которая удовлетворяет одновременно двум уравнениям в частных производных первого порядка:
$$\begin{array}{l}-\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sum m_i[{\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial y_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial z_i}\right)}^2]=U,\\ \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }{m}_i[{\left(\frac{\partial V}{\partial a_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial b_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial z_i}\right)}^2]=U_0,\end{array}\}$$

в то время как мы показали, что совершенно достаточно знать некоторую функцию $3n+1$ величин $t,x_i,y_i,z_i$, которая удовлетворяет одному уравнению
$$\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }{m}_i[{\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial y_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial z_i}\right)}^2]=U$$

и содержит, кроме постоянной, прибавляемой к $V$, также $3n$ других произвольных постоянных»*).

После того как дифференциальные уравнения движения написаны на основании вариационного принципа Гамильтона, возникает вопрос об их фактической интеграции. Для этой цели Гамильтоном и Якоби систематически развита специальная теория. Эта теория имела особое значение для небесной механики и для классической теории атома Бора-Зоммерфельда. Построение этой теории заключает в себе три последовательных этапа. Прежде всего необходимо найти возможно более простую форму дифференциальных уравнений движения. Эта форма была найдена в канонических уравнениях Гамильтона. Затем надо установить общие законы таких преобразований этих дифференциальных уравнений, при которых они сохраняли бы свою форму. Такими законами оказались канонические преобразования и теория важнейших их инвариантов. Наконец, надо развить собственно теорию интегрирования систем канонических уравнений. Решение этой задачи привело к установлению и интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби.

Первое систематическое изложение этих вопросов дал $К$. Якоби в своих замечательных «Лекциях по динамике».

Установить единое правило для строгого решения дифференциального уравнения Гамильтона-Якоби невозможно. Однако во многих случаях можно найти решение благодаря теореме о том, что $S$ представляет сумму функций, каждая из которых в отдельности зависит от координаты $q$ (и, кроме

того, от постоянных интегрирования ${\alpha }_f$ ):
$$S=S_1\left(q_1\right)+\dots +S_f\left(q_f\right).$$

Тогда уравнение в частных производных
$$H(q_1,q_2,\dots ,\frac{\partial S}{\partial q_1},\frac{\partial S}{\partial q_2},\dots )=V\left({\alpha }_f\right)$$

распадается на $f$ обыкновенных дифференциальных уравнений
$$F_k(\frac{\partial S}{\partial q_k},q_k)={\alpha }_k$$

или, разрешая их,
$$\frac{\partial S_k}{\partial q_k}=p_k(q_k,{\alpha }_k)\text{. }$$

В этом случае говорят, что уравнение (45) решается разделением переменных.

В той форме, которую придал Якоби принципу наименьшего действия, связь его с законом живых сил видна еще более резко, чем у Лагранжа.
В оценке принципа в той, форме, в которой время исключено, а именно
$$\delta \int \sqrt{2(U+h)\mathrm{\Sigma }{m}_{i}d{s}_i^2}=0,$$

Якоби также во многом очень близок Лагранжу. Он говорит, что «трудно найти метафизическую причину для принципа наимсньшего действия, когда он, как это необходимо, выражен в этой истинной форме (46)»*).

Значение принципа наименьшего действия, по мнению Якоби, состоит, «во-первых, в той форме, которую он придает дифференциальным уравнениям движения, во-вторых, в том, что он дает функцию, которая обращается в минимум, когда удовлетворяются эти дифференциальные уравнения. Хотя такой минимум существует во всех задачах, но, как правило, неизвестно, где его искать. Поэтому в то время, как самое интересное в этом принципе то, что вообще можно получить минимум, раньше придавали преувеличенное значение тому, что такой минимум существуеть**).

Якоби указывает далее, что принципу наименьшего действия должно быть поставлено еще одно важное ограничение. Оно состоит в том, что минимум имеет место не между двумя любыми положениями системы, но только в тех случаях, когда конечное и начальное положения достаточно близки друг другу.

Что же касается механического значения принципа наименьшего действия, то оно, по мнению Якоби, состоит в том, что в нем заключаются основные уравнения динамики в том случае, когда имеет место принцип живой силы.

Переходя к принципу Гамильтона, Якоби отмечает, что из него можно получить уравнения движения более простым способом, чем из принципа наименьшего действия. Кроме того, этот принцип более общий, чем принцип наименьшего действия, поскольку входящая в него силовая функция может содержать в явном виде также и время $t$. В формулировке же, данной Якоби принципу наименьшего действия, время исключено с помощью

закона живых сил, предполагающего, что силовая функция не содержит явно времени.
В 1834 г. Якоби введено понятие о последнем множителе.
Пусть дана система дифференциальных уравнений
$$\frac{d{x}_1}{X_1}=\frac{d{x}_2}{X_2}=\dots =\frac{d{x}_n}{X_n}=\frac{dx}{X}.$$

Предположим, что известны $n-1$ интегралов этой системы и пусть эти интегралы будут
$$f_r(x_1,x_2,\dots ,x_n,x)=a_r(r=1,2,\dots ,n-1).$$

При помощи этих интегралов выразим $x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}$ как функции от $x_n$ и $x$. Тогда останется еще проинтегрировать лишь одно уравнение первого порядка :
$$\frac{d{x}_n}{X_n}=\frac{dx}{X},$$

где величины $x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}$ выражены через $x_n$ и $x$.
Интеграл этого уравнения будет $\int \frac{M^{\prime }}{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}(X^{\prime }d{x}_n-X_n^{\prime }dx)=\mathrm{const}$, где $M$ — одно из решений уравнений в частных производных
$$\frac{\partial }{\partial x_1}\left(M{X}_1\right)+\frac{\partial }{\partial x_2}\left(M{X}_2\right)+\dots +\frac{\partial }{\partial x_n}\left(M{X}_n\right)+\frac{\partial }{\partial x}(MX)=0,$$

а $\mathrm{\Delta }$ — якобиан
$$\frac{\partial (f_1,f_2,\dots ,f_{n-1})}{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_{n-1})}.$$

Функция $M$ называется последним множителем.
С середины XIX в. начинается интенсивная разработка всего сложного круга механических, математических и физических идей, связанных с вариационными принципами механики, с теорией Гамильтона-Якоби, с учением о преобразованиях.

Подробное рассмотрение всех относящихся сюда работ представляет, собственно говоря, уже задачу истории вариационного исчисления или истории аналитической динамики в целом. Мы же рассмотрим лишь Те из них, которые в той или иной степени существенно обогатили, развили и углубили понимание вариационных принципов механики, прежде всего с математической точки зрения. Первое место по праву принадлежит здесь замечательному русскому математику М. В. Остроградскому.

Применяя принцип, сформулированный им в 1834-1835 гг., Гамильтон исходил из допущения, что система может быть и несвободна, но кинетическая энергия является однородной функцией второго порядка от обобщенных скоростей. Таким образом, он неявно предполагал стационарность связей. М.В.Остроградский получил тот же принцип в 1848 г., не налагая этих ограничений, а рассмотрев связанную с ним вариационную проблему в более общем виде*). Поэтому рассматриваемый принцип получил название принципа Гамильтона-Остроградского.

Остроградский читал свой «Mémoire sur les équations différentielles relatives aux problèmes des isopérimètres» («Mемуар о дифференциальных уравнениях проблемы изопериметров») 29 ноября 1848 г. на заседании Российской Академии

наук и опубликовал его в 1850 г. Вот кратко основная идея Остроградского.. Пусть $V$ — функция независимой переменной $t$, а также переменных $x_m$. которые предполагаются функциями $t$, и производных этих функций по $t$. Предположим, кроме того, что $V$ включает производные каждой из функций $x_m$ до $n$-го порядка включительно. Если $\delta \int Vdt=0$, то по известным прави-лам вариационного исчисления получим $m$ дифференциальных уравнений, каждое из которых будет порядка $2n$. Остроградский показал, что эти дифференциальные уравнения эквивалентны некоторой группе $2mn$ дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Это и есть содержание первой части работы Остроградского*). Далее Остроградский подробно рассматривает вопрос об интегрировании уравнений, которые получаются таким образом, и рассматривает их свойства. Иначе говоря, он. впервые показал, что канонические уравнения можно рассматривать как. нормальную форму, в которую может быть с помощью одних лишь дифференцирований и исключений преобразована любая группа уравнений, возникающая из вариационной проблемы**).

В формулах Остроградского, как и в формулах динамики, дифференциалы неизвестных выражаются через вариации некоторой функции, которая: зависит только от времени и неизвестных рассматриваемой проблемы. Общая теория, развитая Остроградским, позволяет ему утверждать, чтоего основная формула «содержит как частный случай динамический принцип наименьшего действия», который поэтому «нельзя рассматривать не: только как принцип, но даже как простую теорему. Он кажется нам только простым следствием, очевидным результатом применения метода вариаций к теории maxima и minima»***).

Остроградский указывает, что анализ Лагранжа в той части его аналитической механики, где он выводит уравнение движения из принципа наименьшего действия вместе с законом живых сил, неточен. Остроградский считает, что в силу применения закона живых сил между некторыми переменными, которые Лагранж полагает независимыми, существует зависимость.

Излагая в несколько измененном виде вывод принципа наименьшего действия Лагранжем, Остроградский отмечает то чрезвычайно существенное обстоятельство, что вариации $\delta x$ изменяются по двум причинам: вследствие варьирования времени $t$ и вследствие изменения формы функции $x$. Первая кричина может ввести в $\delta x$ только член $\dot{x}\delta t$, вторая же гораздо более сложна и может ввести в каждую из $\delta x$ несколько членов. Вводя их, мы учитываем не зависящую от времени вариацию параметров, входящих в функцию $x$. Такими параметрами являются, в частности, постоянные интегрирования, и поэтому их вариация не должна упускаться из вида.

Эту особенность он положил в основу своей формулировки вариационных принципов в динамике.