Нельзя требовать, чтобы различные средства, имеющиеся у нас для приращения наших знаний, все приводили нас к одним и тем же истинам. Однако было бы тягостно сознавать, что предложения, которые дает нам Философия в качестве основных, опровергаются выводами Геометрии или вычислениями Алгебры.

Памятный пример подобного противоречия относится к одному из наиболее важных предметов Физики.

Со времени возрождения Наук, с самого их возникновения, не было сделано более прекрасного открытия, чем открытие законов, управляющих светом, когда он движется в однородной среде или, встречая непрозрачные тела, отражается их поверхностью, или когда прозрачные тела заставляют его менять свой путь при их пересечении. Эти законы образуют основы науки о свете и цветах.

Но я, может быть, заставлю лучше почувствовать их важность, если вместо того, чтобы излагать такой обширный предмет, остановлюсь только на некоторой его части; я изложу здесь только более ограниченные и лучше известные вещи, если скажу, что эти законы являются принципами, лежащими в основе того великолепного искусства, которое глазу старца, когда у него слабеют все органы, возвращает первоначальную, силу и придает этому глазу такую силу, которой он не получил от Природы ; искусства, простирающего наш взор до самых отдаленных мест пространства, устремляющего его на самые малые части материи, позволяющего нам открывать предметы, недоступные зрению людей.

Законы, управляющие светом, когда он движется в однородной среде или когда встречает непроницаемые тела, были известны еще Древним; закон, указывающий путь света, переходящего из одной среды в другую, известен только с прошедшего века; его открыл Снеллиус; Декарт пытался его объяснить, Ферма обрушился на это объяснение. С тех пор этот вопрос стал объектом исследований очень большого числа Геометров ; однако до сих пор не достигнуто согласование этого закона с другим, которому природа должна следовать еще более неуклонно.
Приведем законы, которым подчиняется свет :
Первый заключается в том, что в однородной среде свет движется по прямой линии.

Второй — в том, что когда свет встречает тело, сквозь которое он не может пройти, то он отражается и угол отражения равен углу его падения, т. е. после отражения свет образует с поверхностью тела угол, равный углу, под которым он ее встретил.

Третий закон заюлючается в том, что когда свет переходит из одной прозрачной среды в другую, то его путь, после встречи новой среды, образует

угол с путем, по которому он следовал в первой среде, и синус угла преломления всегда находится в одном и том же отношении с синусом угла падения. Если, например, луч света, переходя из воздуха в воду, преломился так, что синус угла преломления равен трем четвертям синуса угла его падения, то под каким бы другим наклоном он ни встретил поверхность воды, синус преломления всегда будет составлять три четверти синуса соответственного угла падения.

Первый из этих законов является общим для света и всех тел : они движутся по прямой линии, если только с этой линии не сворачивает их инородная сила.

Второй является тем самым законом, которому следует упругий мяч, брошенный на несгибаемую поверхность. Механика доказывает, что мяч, встречающий такую поверхность, отражается под углом, равным углу встречи с нею ; это же совершает и свет.

Но третий закон объясняется далеко не так удачно. Когда свет переходит из одной среды в другую, явления совершенно отличны от явлений, имеющих место в случае мяча, пересекающего различные среды, и каким бы способом ни пытались объяснить преломление, находятся трудности, которые пока еще не преодолены. Я не буду цитировать всех великих людей, работавших над этим вопросом, их имена составили бы длинный перечень, который был бы в настоящем мемуаре бесполезным украшением, а изложение их систем составило бы огромный труд; однако я разобью на три класса все объяснения, данные этими Авторами отражению и преломлению света.

Первый класс содержит в себе объяснения тех, которые хотели вывести преломление только из наиболее простых и привычных принципов Механики.

Второй содержит в себе объяснения, которые, кроме принципов Механики, допускают стремление света к телам, рассматривают его или как притяжение материи или как действие какой угодно причины.

Наконец, третий класс заключает в себе те объяснения, которые хотят извлечь из одних математических принципов, из тех законов, благодаря которым сама Природа кажется покоренной высшим Разумом, умеющим совершать свои действия всегда наиболее простым способом.

Декарт и его последователи принадлежали к первому классу : они рассматривали движение света как движение мяча, который отскакивает при встрече с поверхностью, нисколько ему не уступающей, или, встречая уступающую ему поверхность, продолжает двигаться дальше, изменяя только направление пути. Хотя способ, которым пытался объяснить рассматриваемые явления этот великий Философ, и несовершенен, но его достоинство всегда будет заключаться в желании вывести эти явления наиболее просто только из Механики. Многие Математики подчеркивают ложный вывод (паралогизм), полученный Декартом, и указывают на ошибку в его объяснении.

Ньютон, отчаявшись вывести явления преломления из того, что случается с телом, встречающим при движении препятствие или продвигающимся в средах, которые сопротивляются ему различно, прибег к своей силе притяжения. Допустив один раз эту силу, которой все тела наделены пропорционально количеству их материи, он объяснил явления преломления наиболее точным и наиболее строгим образом. Клеро в превосходном Мемуаре, написанном по этому же вопросу, не только представил в наиболее ярком свете недостаточность картезтанского объяснения, но, допуская стремление света к светящимся телам и рассматривая это стремление как явление, вызванное некоторой атмосферой, порождающей те же самые действия, что и сила притяжения, вывел отсюда явления преломления с ясностью, которую он внес во все излагаемые им предметы.

Ферма первый почувствовал недостаток объяснения Декарта. Он, повидимому, также потерял надежду вывести явления преломления из явления удара мяча о препятствие или движения мяча в сопротивляющихся средах; но он не прибег ни к атмосферам вокруг тел, ни к силе притяжения, хотя известно, что этот последний принцип не был ему ни неизвестен, ни противен ; он искал объяснение этих явлений в совсем другом, чисто математическом принципе.

Каждому известно, что когда свет или некоторое другое тело движется от одной точки к другой по прямой линии, то это движение совершается и по наиболее короткому пути и в течение наиболее короткого времени.

Известно также или, по крайней мере, легко узнать, что когда свет отражается, то он движется наиболее кратким и наиболее кратковременным путем. Доказывают, что шар, который переходит из одной точки в другую только после отражения плоскостью, чтобы пройти наиболее короткий путь и за возможно более короткое время, должен составить с этой плоскостью угол отражения, равный углу падения ; если эти два угла равны, то сумма двух путей, по которым движется и возвращается мяч, является наиболее короткой и пробегается в течение времени, меньшего, чем время пробега всякой другой суммы двух путей, образующих неравные углы.

Следовательно, прямое и отраженное движения света кажутся зависящими от метафизического закона, заключающегося в том, что Природа, производя свои действия, всегда пользуется наиболее простыми средствами. Если тело от одной точки к другой должно двигаться, не встречая препятствия, или, если оно должно двигаться, встретившись с непреодолимым препятствием, то Природа ведет его наиболее коротким путем и в течение наименьшего времени.

Чтобы применить этот принцип к преломлению, рассмотрим две проницаемые для света среды, разделенные плоскостью, которая является их общей поверхностью; допустим, что точка, из которой луч света должен выйти, находится в одной из этих сред, а точка, которой он должен достичь, находится в другой среде; при этом линия, соединяющая эти точки, не является перпендикуляром к поверхности сред; допустим еще (потому что это имеет место), что свет движется в каждой среде с различными скоростями. Ясно, что прямая линия, соединяющая две точки, всегда будет линией наиболее короткого пути для прохождения от одной точки до другой, но она не будет линией наиболее краткого времени; это время зависит от различия скоростей света в различных средах; поэтому, если луч света должен употребить возможно меньшее время, необходимо, чтобы при встрече общей поверхности он преломлялся так, чтобы наибольшая часть пути проходилась им в среде, где он движется наиболее быстро, а наименьшая — в среде, в которой он движется наиболее медленно.

Именно это и демонстрирует свет, когда он переходит из воздуха в воду: луч преломляется так, что наибольшая часть пути находится в воздухе, а наименьшая в воде. Если, следовательно (что было бы разумно), допустить, что в более разреженной среде свет движется быстрее, чем в более плотной (раз он движется в воздухе быстрее, чем в воде), то он следует при этом по пути, пө которому он должен идти для того, чтобы наиболее быстро пройти от исходной точки до той, которую он должен достичь.

С помощью изложенного принципа Ферма и решил проблему; согласно этому, такому правдоподобному принципу, свет, который при своем распространении и отражении всегда идет наиболее короткое возможное время, следует еще тому же закону при своем преломлении ; и Ферма без колебаний считал, что в более разреженных средах свет движется более легко и более быстро, чем в средах, где в том же самом пространстве он находит

большее количество материи. В самом деле, можно ли было с первого взгляда подумать, что свет более легко и более быстро пересекает хрусталь и воду, чем воздух и пустоту?

Однако это имеет место. Декарт первый высказал мнение, что свет в более плотных средах движется более быстро; и хотя объяснение преломления, которое он отсюда вывел, было недостаточным, его недостаточность не вытекала из сделанного допущения. Все системы, дающие некоторое правдоподобное объяснение явлениям преломления, допускают парадокс или утверждают его. Лейбниц хотел согласовать мнение Декарта с конечными причинами, но это были только предположения, не выдерживающие критики и совсем не согласующиеся с другими явлениями Природы*).

Предположение, что свет движется более быстро в более плотных средах, разрушило все здание, построенное Ферма: свет при пересечении различных сред не идет ни более коротким путем, ни путем более короткого времени; луч, переходящий из воздуха в воду, совершая наибольшую часть пути в воздухе, приходит позднее, чем если бы он совершил там наименьшую часть пути. В Мемуаре де-Мерана [de Mayran] об отражении и преломлении можно прочесть историю спора между Ферма и Декартом, а также увидеть затруднение и бессилие, в которых находились до сих пор, пытаясь согласовать закон преломления с метафизическим принципом.

Глубоко продумав рассматриваемый вопрос, я полагаю, что свет при переходе из одной среды в другую, уже оставив наиболее короткую дорогу, являющуюся прямой линией, может также не следовать по пути наибыстрейшего времени. В самом деле, какое предпочтение должно здесь иметь время перед протяженностью? Если свет не может идти сразу и по наиболее короткому пути и по пути кратчайшего времени, то почему он идет скорее по одному из путей, чем по другому? Он не следует ни по какому из них ; он выбирает путь, имеющий более реальное преимущество : пуmь, которого он придерживается, является путем, для которого количество действия будет наименьшим.

Нужно теперь объяснить, что я понимаю под количеством действия. При перемещении тела из одной точки в другую необходимо некоторое действие : это действие зависит от скорости, имеющейся у тела, и от пространства, пробегаемого последним, но оно не является ни скоростью, ни пространством, взятыми в отдельности. Количество действия тем больше, чем больше скорость тела и чем длиннее путь, пробегаемый телом ; оно пропорционально сумме произведений отрезков на скорость, с которой тело проходит каждый из них**).

Именно это количество действия является истинной тратой Природы; и именно оно выгадывается как можно более при движении света.

Пусть две различные среды, разделенные поверхностью, представленной линией $C D$, таковы, что скорость света в среде, которая находится сверху, равна $m$, а в среде, которая находится снизу, равна $n$. Пусть луч света, выходящий из заданной точки $A$, должен достичь заданной точки $B$; чтобы найти точку $R$, в которой он должен преломиться, я отыскиваю точку, в которой при преломлении луча количество действия является наименьшим; и я нахожу, что $m A R+n R B$ должно быть минимумом.

Или, восстанавливая к общей поверхности двух сред перпендикуляры $A C, B D$, получим
\[
m \sqrt{A C^{2}+C R^{2}}+n \sqrt{B D^{2}+D R^{2}}=\min .
\]

Или, так как $A C$ и $B D$ постоянны, получим
\[
\frac{m C R d C R}{\sqrt{A C^{2}+C R^{2}}}+\frac{n D R d D R}{\sqrt{B D^{2}+D R^{2}}}=0 .
\]

Но $C D$ постоянно, поэтому $d C R=-d D R$. Следовательно, имеем
\[
\frac{m C R}{A R}-\frac{n D R}{B R}=0 \quad \text { и } \quad \frac{C R}{A R}: \frac{D R}{B R}=n: m,
\]
т. е. синус падения с синусом преломления составляют отношение, обратное отношению скоростей света в каждой среде.

Все явления преломления согласуются теперь с важным принципом, по которому Природа при осуществлении своих действий идет всегда наиболее простыми путями. Из этого принципа следует, что когда свет переходит из одной среды в другую, синус его угла преломления с синусом его угла падения находятся в отношении, обратном отношению скоростей, которые свет имел в каждой среде. Но эта основа, это количество действия, которое Природа сберегает при движении света через различные среды, сохраняется ли оно также тогда, когда свет отражается непрозрачными телами, и в простом его движении? Да, эта величина всегда является наименьшей, насколько только это возможно.

В обоих случаях, отражения и распространения, скорость света остается одной и той же, наименьшее количество действия дает в одно и то же время наиболее короткий путь и наиболее короткое время. Но этот путь, наиболее короткий и наиболее быстро пробегаемый, является только следствием из наименьшего количества действия; это следствие и было взято Ферма в качестве принципа.

Раз открыв истинный принцип, я вывожу из него все законы, которым подчиняется свет как при своем распространении, так и при отражении и преломлении.

Я знаю, что многие Математики испытывают отвращение к конечным причинам в применении к Физике, и я согласен с ними в одном пункте; я признаю, что вводить эти причины небезопасно: ошибка, вытекающая из подобного применения, в которую впали такие люди, как Ферма, лишний раз доказывает только, насколько опасно употребление этих причин. Можно, однако, сказать, что то, что приводило людей к заблуждению, не является самим принципом; это — поспешность, с которой люди принимали за принцип то, что является лишь следствием из него.

Вряд ли можно сомневаться в том, что все предметы управляются одним Верховным Существом, которое снабдило материю силами, указывающими на его могущество, заставило эту материю осуществлять действия, говорящие о его мудрости : гармония двух этих атрибутов настолько совершенна, что, без сомнения, все действия Природы можно было бы вывести из каждого из них, взятого в отдельности. Механика слепа и должна подчиняться намерениям Разума, наиболее ясного и наиболее свободного ; и если бы наш ум был достаточно разносторонним, он увидел бы равным образом причины физических действий как при вычислении свойств тел, так и при нахождении наиболее удобного пути их движения.

Первое из этих средств для нас более доступно, но оно не уводит нас очень далеко. Второе иногда вводит нас в заблуждение, потому что мы плохо знаем, какова цель Природы, и мы можем составить себе неверное понятие о количестве, которое мы можем рассматривать как расход Природы при совершении ее действий.

Чтобы соединить размах с безопасностью, в наших исследованиях следует употреблять и первое и второе из этих средств. Вычислим движения тел,

но также посмотрим, каковы намерения Разума, который заставляет эти тела двигаться.

Кажется, первые попытки такого рода в Математике сделали древние Философы ; они нашли метафизические отношения в свойствах чисел и тел, и когда они говорили, что занятием Бога была Геометрия, под этим они, без сомнения, понимали науку, которая сравнивает творения его могущества с намерениями его мудрости.

Слишком мало было Геометров, чтобы осуществить их замысел; то, что они нам оставили, мало обосновано или непонятно. Совершенство, которого достигло после них вычислительное искусство, дает нам больше возможностей для успеха и, может быть, сторицей компенсирует то преимущество, которое имели эти великие гении по сравнению с нами.

NB. Когда мы прочли предыдущий Мемуар в Парижской Королевской Академии наук, мы узнали со слов Мерана в его Mémoire sur la réflexion des corps, Mém. de l’Acad. de Paris, année 1723, что сделал по интересующему нас вопросу Јейбниц. Қак и он, мы бы смешали это мнение Лейбница с мнением Ферма; вот изложение этого мнения, извлеченное из Мемуара Эйлера Mém. de l’Acad. R. des Sciences de Berlin, т. VII.

Лейбниц также пытался опровергнуть объяснение Ферма. B Actes de Leipzig для объяснения преломления света он намеревался обратиться к Философии конечных причин, которые были изгнаны Декартом, и восстановить объяснение, выведенное Декартом из рассмотрения столкновения тел, в противоположность мнению Ферма. Он начинает, следовательно, с отрицания того, что Природа действует или по наиболее короткому пути или по пути наименьшего времени ; но утверждает, что она выбирает наиболее легкий путь, который не должен совпадать ни с каким из двух названных. Для определения этого наиболее легкого пути служит сопротивление, оказываемое лучу света при пересечении рассматриваемых прозрачных сред; и он предполагает, что это сопротивление различно в различных средах. Он устанавливает (что совпадает с мнением Ферма), что в более плотных средах, таких, как вода и стекло, сопротивление больше, чем в воздухе и других разреженных средах. Допустив это, он рассматривает трудность, встречающуюся лучу при пересечении какой-либо среды, и определяет эту трудность с помощью произведения пути на сопротивление. Он утверждает, что луч всегда следует по тому пути, для которого сумма таким образом измеренных трудностей является наименьшей; и по методу максимума и минимума он находит правило, известное из опыта. Но хотя это объяснение на первый взгляд кажется согласующимся с объяснением Ферма, оно, однако, затем истолковывается с такой удивительной хитростью, что становится диаметрально противоположным последнему, и согласуется с объяснением Декарта. Ибо, хотя Лейбниц допустил, что сопротивление стекла больше, чем сопротивление воздуха, он утверждает, что луч движется в стекле быстрее, чем в воздухе; и благодаря тому, что при этом сопротивление стекла считается бо́льшим, получается, конечно, из ряда вон выходящий парадокс. И вот как он пытается его объяснить. Он говорит, что бо́льшее сопротивление препятствует рассеянию лучей, вместо того, чтобы сказать, что лучи рассеиваются бо́льше там, где меньше сопротивление; и что когда диффузия затруднена, сжатые лучи при своем переходе, подобно потоку, который течет в более узком русле, приобретают в результате этого бо́льшую скорость. Таким образом, объяснение Лейбница согласуется с объяснением Декарта в том, что и тот и другой приписывают лучам бо́льшую скорость в более плотной среде ; при этом Декарт полагал, что лучи движутся с бо́льшей скоростью в среде с бо́льшей плотностью потому, что сопротивление там меньше; Лейбниц, напротив, приписывает эту бо́льшую скорость

большему сопротивлению. Можно или нельзя допустить такое мнение, я здесь не обсуждаю; но я должен отметить, что хотя Лейбниц, кажется, хотел рассмотреть этот принцип наиболее легкого пути как универсальный, он никогда не применял его ни к какому другому случаю и не показал, как в других случаях должна быть определена эта трудность, которую следует сделать минимумом. Если сказать, как выше, что это — произведение пройденного пути на сопротивление, то во многих случаях будет абсолютно невозможно определить, что должно понимать под сопротивлением, термином весьма расплывчатым; как, например, эта трудность должна быть определена, когда нет никакого сопротивления, как при движении небесных тел? Будет ли движение совершаться по единственному пути, потому что сопротивление равно нулю, и можно ли рассматривать этот путь как всюду одинаковый? Но отсюда следует, что’в этих движениях пробегаемый путь должен быть минимумом и, следовательно, прямой линией, что совершенно противоречит эксперименту. Если, напротив, движение совершается в сопротивляющейся среде, то можно ли сказать, что это движение будет таким, что произведение описанного пути на сопротивление является минимумом? Отсюда вывели бы самые абсурдные заключения. Следовательно, ясно видно, что принцип наиболее легкого пути в том виде, в каком он был предложен и объяснен Лейбницем, нельзя применить ни к какому другому явлению, кроме явления движения света.

Однако представляется, что можно придать этому принципу большую широту с помощью истолкования, изложенного в нижеследующих замечаниях. Так как Лейбниц допускает, что лучи движутся тем быстрее, чем большее сопротивление они встречают, то в этом случае скорость будет пропорциональна сопротивлению и может быть взята в качестве меры иоследнего ; оценка трудности, в соответствии с тем, что делал Лейбниц, сведется к произведению описанного пути на скорость, и если считать это произведение минимумом, то это будет согласоваться с принципом де-Мопертюи, который определяет количество действия тем же произведением протяженности на скорость. Так как это произведение не только в движении лучей, но и во всех движениях и во всех действиях Природы на самом деле является наивозможно малым, и именно в этом состоит принцип наименьшего действия, то можно сначала подумать, что Лейбниц имел в виду этот принцип, согласующийся с его принципом наиболее легкого пути. Однако, если бы мы без всяких исключений допустили рассуждение Лейбница, которым он хочет доказать, что наибольшее сопротивление увеличивает скорость, то никто бы никогда не подумал, что во всяком движении скорость возрастает с сопротивлением; в Природе имеется бесконечное число примеров, в которых бросается в глаза противоположное и в которых сопротивление уменьшает скорость. Следовательно, здесь получилось чисто случайно, что принцип наиболее легкого пути согласуется с принципом наименьшего действия; таким же образом оказалось, что принцип Птолемея наиболее короткого пути в Оптике и в Катоптрике согласуется с принципом наименьшего действия, хотя только в этом принципе следует искать объяснение этих явлений. Таким образом, когда Лейбниц дал свой принцип наиболее легкого пути в качестве универсального закона Природы и положил трудность пропорциональной произведению пути на сопротивление, он не согласовал его с принципом наименьшего действия ни в каком другом случае, кроме случая, в котором скорость пропорциональна сопротивлению, случая, который является, конечно, очень редким, чтобы не сказать, что другого такого же просто не существует.

Во всех других случаях, следовательно, принцип, наиболее легкого пути очень сильно отличается от принципа наименьшего действия; и Лейбниц

противоречил бы сам себе, если бы потребовал, чтобы в операциях Природы произведение описанного пути на скорость было бы минимумом, за исключением единственного случая, в котором скорость пропорциональна сопротивлению. Отсюда мы с уверенностью заключаем, что принцип наименьшего действия был не только совершенно неизвестен Лейбницу, но что он применил совершенно иной принцип, который согласуется с принципом наименьшего действия только в очень небольшом числе случаев, в то время как в бесконечном числе других случаев он явно противоположен этому принципу. Кроме того, этот принцип Лейбница, как общий принцип, каким он кажется, применяется только в очень немногих случаях и, может быть, даже только в единственном, о котором мы говорили. Во всех других случаях его совсем нельзя применить, потому что неизвестно, как следует измерять сопротивление, и каким бы способом его ни измеряли, оно всегда будет приводить к большим ошибкам. Итак, отсюда следует, что Лейбниц никогда не владел принципом наименьшего количества действия и что, напротив, он владел совсем противоположным принципом, употребление которого, кроме единственного случая, совсем невозможно или привело бы к ошибке. И не очевидно также, что Лейбниц хотел применить свой принцип в каком-либо другом случае.