Если для какого-либо цикла все $P_{b}$ равны нулю, тогда как $\mathfrak{P}_{a}$ имеют значения, отличные от тех, которые определяются уравнениями (252) и (249), так что параметры $p_{a}$ медленно изменяются, то движение называется адиабатическим. Тогда из уравнений (254) вытекает, что импульсы $q_{a}$, отнесенные к циклическим координатам, все должны быть постоянными. Однако иногда циклические скорости вследствие медленного изменения параметров будут также медленно изменяться. Если же силы $P_{b}$ в течение медленного изменения параметров постоянно имеют такие значения, что $p_{b}^{\prime}$ остаются совершенно неизменными, то движение называется изоциклическим.
Примером адиабатического движения служит вращающееся вокруг своей оси тело вращения или описанная в § 44 в качестве примера 3 центробежная модель, если никогда не появляется вращающий момент относительно оси вращения. С другой стороны, центробежная модель совершает изоциклическое движение, если ее угловая скорость поддерживается постоянной соответствующими силами $\mathfrak{P}_{b}$, приложенными к кривошипу, хотя подвижная масса $m$ то медленно приближается к оси вращения, то медленно удаляется от нее.
Физические аналогии с адиабатическим движением представляют нагретые тела, при изменении состояния которых тепло и не подводится к ним и не отнимается у них (отсюда термин «адиабатический» также и в применении к аналогичным движениям механических циклов), электрические цепи при постоянных электродвижущих силах, движущиеся проводники, статически заряженные постоянными количествами электричества. Соответствующие физические процессы делаются аналогичными изоциклическим движениям, если температура нагретых тел, сила электрического тока в цепях, потенциал электростатически заряженного проводника поддерживаются постоянными. При вращении твердого тела движение делается изоциклическим, если тело путем ременной или зубчатой передачи соединено с вращающимся маховиком бесконечной массы или с твердым телом, угловая скорость которого поддерживается строго постоянной; физические аналогии дает нагретое тело, соединенное посредством хорошего проводника тепла с бесконечным запасом тепла, электрический проводник, на концах которого поддерживается постоянная разность потенциалов (соединен клеммами с источником питания), в электростатике – заземленное тело, что Гельмгольц обозначает как соединение с землей, с запасом тепла и т. д.
В уравнении (254) частные производные должны пониматься таким образом, что $p_{b}^{\prime}$ поддерживаются постоянными, так что изменения состояния происходят изоциклически. Мы будем, как это делалось в § 9, отмечать символы частных производных, при образовании которых $p_{b}^{\prime}$ рассматриваются как постоянные, индексом $p^{\prime}$; такие же, при образовании которых постоянными считаются $q_{b}$, 一 индексом $q$.
Поэтому можно сказать: $H$ есть силовая функция обобщенных сил $\mathfrak{P}_{a}$, соответствующих параметрам $p_{a}$, для изоциклического изменения состояния; в термодинамике ей соответствует изотермический термодинамический потенциал; при каждом изоциклическом движении величина
\[
-\sum_{a} \frac{\partial H}{\partial p_{a}} d p_{a}=-d H-d T
\]
представляет собой энергию, подведенную к циклу при изменении параметров $p_{a}$ силами $\mathfrak{P}_{a}$, действующими на цикл (т. е. энергия подводится в форме внешней работы). Так как все приращение энергии составляет
\[
d E=d F+d T,
\]
то отсюда следует, что
\[
d Q=2 d T,
\]
т. е. циклически подведенная энергия равна удвоенному приращению кинетической энергии.
На основании уравнения (63) $\left[{ }^{169}\right]$ имеем
откуда
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial_{q} T}{\partial p_{a}}=-\frac{\partial_{p^{\prime}} T}{\partial p_{a}}, \\
\frac{\partial_{q} E}{\partial p_{a}}=-\frac{\partial_{p^{\prime} H}}{\partial p_{a}} .
\end{array}
\]
Поэтому первое из уравнений (254) можно также представить в виде
\[
\mathfrak{P}_{a}=\frac{\partial_{q} E}{\partial p_{a}} .
\]
Внешние силы $\mathfrak{P}_{a}$ можно поэтому назвать также адиабатическими частными производными от $E$ по координатам $p_{a}$, а $-E$ – адиабатической силовой функцией. Таким образом, при адиабатическом движении вся энергия, подведенная к системе путем внешней работы, равна $d E$, т. е. равна общему приращению энергии, что само собой понятно, так как в этом случае внешняя работа является единственным источником притока энергии.
Применяя доказанную теорему о том, что как при адиабатическом, так и при изоциклическом изменении состояния внешние силы имеют силовую функцию, мы в теории теплоты получаем следующее предложение: Если нагретое твердое тело любыми приложенными к нему внешними силами деформируется адиабатически или изотермически, а в остальном произвольным образом, то работа деформации всегда является полным дифференциалом, как если бы внешние силы уравновешивались силами, исходящими от покоящихся материальных частиц. И это имеет место несмотря на то, что частицы тела находятся в оживленнейшем тепловом движении.
