Одним из наиболее замечательных современных представлений, выведенных теорией относительности, является инертность энергии. Согласно Эйнштейну энергия обладает массой, а всякая масса представляет собой энергию. Масса и энергия всегда связаны друг с другом общим выражением:
\[
\text { энергия }=\text { масса } \times c^{2},
\]

где (- константа, которую называют «скоростью света́», но которую мы предпочтем назвать «предельной скоростью энергии», по причинам, изложенным дальше. Так как всегда существует пропорциональность между массой и энергией, то материю и энергию следует рассматривать как синонимы, обозначающие одну и ту же физическую реальность.

Сначала атомная теория, затем теория электронов приучили на с считать материю существенно дискретной; из этого следовало, что все формы энергии, в противоположность прежним представлениям о свете, если не полностью сконцентрированы маленькими порциями в пространстве, то во всяком случае сосредоточиваются в некоторых особых точках.

Согласно принципу инертности энергии тело, собственная масса которого (т. е. масса, измеренная связанным с ним наблюдателем) равна $m_{0}$, обладает собственной энергией $m_{0} c^{2}$. Если тело движется равномерно со скоростью $v=\beta c$ по отношению к наблюдателю, которого мы для простоты назовем неподвижным наблюдателем, то его масса будет иметь значение $\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$, а его энергия согласно хөрошо известному результату релятивистской динамики будет, следовательно, $\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$. Увеличение энергии тела по отношению к неподвижному наблюдателю при переходе тела от состояния покоя к движению со скоростью $v=\beta c$ можно определить как кинетическую энергию. Ее значение выражается следующим уравнением:
\[
E_{\mathrm{\kappa}, и н}=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}-m_{0} c^{2}=m_{0} c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}-1\right),
\]

которое для малых значений $\beta$ естественно приводит к классической форме:
\[
E_{\text {кин }}=\frac{1}{2} m_{0} v^{2} .
\]

Напомнив это, попытаемся выяснить, в какой форме можно ввести кванты в релятивистскую динамику. Нам кажется, что основной идеей теории квантов является невозможность рассматривать некоторое изолированное количество энергии, не приписывая ей определенной частоты. Эта связь выражается соотношением, которое я назову квантовым соотношением :
\[
\text { энергия }=h \times \text { частота, }
\]

где $h$ – константа Планка.
В ходе развития теории квантов много раз возникал вопрос о механическом действии и неоднократно делались попытки излагать квантовое соотношение, вводя в него действие вместо энергии. Действительно, константа $h$ имеет размерность действия, а именно $\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-1}$, и это не случайно, так как теория относительности учит нас относить действие к основным «инвариантам» физики. Но действие есть величина очень абстрактная, и после длительных размышлений о квантах света и о фотоэлектрическом эффекте мы были принуждены принять за основу энергетическое изложение, не отказываясь от дальнейшего исследования причин значительной роли действия в большом числе вопросов.

Қвантовое соотношение ңе имело бы большого смысла, если бы энергия распределялась в пространстве непрерывно, но мы только что показали, что это совсем не так. Таким образом, можно себе представить, что согласно какому-то великому закону природы каждая порция энергии массы $m_{0}$ связана с периодическим явлением частоты $v$ уравненисм
\[
h v_{0}=m_{0} c^{2}
\]

где $v_{0}$, конечно, измеряется в системе, связанной с порцией энергии. Эта гипотеза является основой нашей системы. Ценность этой гипотезы, как и всяксй гипотезы, заключается в ценности тех выводов, к которым она приводит.

Следует ли считать периодическое явление локализованным внутри порции энергии? Это совсем не необходимо. Из раздела III будет видно, что оно распространяется на бо́льшую часть пространства. К тому же, что следует понимать под выражением «внутри порции энергии»? Электрон представляется нам изолированной порцией энергии, которую, как нам, может быть и необоснованно, кажется, мы лучше всего знаем ; между тем, исходя из имеющихся представлений, энергия электрона распространена по всему пространству с очень большой концентрацией в области чрезвычайно малых размеров, свойства которой нам к тому же весьма мало известны. То, что характеризует электрон как атом энергии, это не маленькое место, занимаемое им в пространстве (я повторяю, что он занимает все пространство целиком), а тот факт, что он неделим, что он не может быть разбит на части, что он представляет собой единство*).

Принимая существование частоты, связанной с порцией энергии, найдем, каким образом эта частота представляется неподвижному наблюдателю, о котором говорилось выше. Преобразование времени Лоренца-Эйнштейна показывает, что периодическое явление, связанное с движущимся телом, представляется неподвижному наблюдателю замедленным в отношении

$1 \mathrm{k} \sqrt{1-\beta^{2}}$. Это и есть знаменитое соотношение замедления часов. Таким образом, частота, регистрируемая неподвижным наблюдателем, будет
\[
v_{1}=v_{0} \sqrt{1-\beta^{2}}=\frac{m_{0} c^{2}}{h} \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]

С другой стороны, так как энергия движущегося тела по отношению к тому же наблюдателю равна $\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$, то соответствующая частота, согласно квантовому соотношению, будет $v=\frac{1}{h} \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$. Обе частоты $v_{1}$ и $v$ существенно различны, поскольку фактор $\sqrt{1-\beta^{2}}$ входит в их выражения по-разному. Здесь есть трудность, которую я долго не мог преодолеть; мне удалось разрешить ее с помощью следующей теоремы, которую я назову теоремой гармонии фаз.
«Периодическое явление, связанное с движущимся телом, частота которого для неподвижного наблюдателя равна $v_{1}=\frac{1}{h} m_{0} c^{2} \sqrt{1-} \bar{\beta}^{2}$, кажется ему постоянно находящимся в одной фазе с волной частоты $v=\frac{1}{h} m_{0} c^{2} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$, распространяющейся в том же направлении, что и движущееся тело, со скоростью $V=\frac{c}{\beta} »$.

Показать это можно просто. Предположим, что при $t=0$ периодическое явление, присущее движущемуся телу, и упомянутая выше волна находятся в одной фазе. За время $t$ лвижущееся тело успевает пройти расстояние, равное $x=\beta c t$, и фаза периодического явления изменяется на $v_{1} t=\frac{m_{0} c^{2}}{h} \sqrt{1-\beta^{2}} \frac{x}{\beta c}$. Фаза той части волны, которая перекрывает движуцееся тело, изменилась на
\[

u\left(t-\frac{\beta x}{c}\right)=\frac{m_{0} c^{2}}{h} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\left(\frac{x}{\beta c}-\frac{\beta x}{c}\right)=\frac{m_{0} c^{2}}{h} \sqrt{1-\beta^{2}} \frac{x}{\beta c} .
\]

Как мы и предположили, существует согласованность фаз.
Эту теорему можно доказать и другим способом, по существу таким же, но, может быть, более убедительным. Для $t_{0}$ (собственное время движущегося тела, связанного с наблюдателем) преобразование Лоренца дает
\[
t_{0}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\left(t-\frac{\beta x}{c}\right) .
\]

Периодическое явление, которое мы вообразили, представляется этому наблюдателю в виде синусоидальной функции $v_{0} t_{0}$. Для неподвижного наблюдателя это явление представляется той же синусоидальной функцией $v_{0} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\left(t-\frac{\beta x}{c}\right)$, которая представляет собой волну с частотой $\frac{v_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$, распространяющуюся со скоростью $\frac{c}{\beta}$ в том же направлении, что и движущееся тело.

Необходимо теперь подумать о природе волны, существование которой мы только что предположили. Тот факт, что ее скорость $V=\frac{c}{\beta}$ обязательно больше $c$ ( $\beta$ всегда меньше 1 , так как иначе масса была бы бесконечной или мнимой), показывает, что эта волна не переносит энергии. Наша теорема показывает, что эта волна представляет собой распределение рассматриваемого периодического явления в фазовом пространстве; это – так называемая «фазовая волна».

Для большей точности мы сделаем несколько грубое, но достаточно наглядное сравнение с одним механическим явлением. Представим себе на горизонтальной плоскости окружность очень большого радиуса; на этой плоскости подвешены идентичные системы, представляющие собой пружины с грузом. Число таких систем, приходящихся на единицу поверхности, и их плотность быстро уменьшаются по мере удаления от центра плоскости; наибольшая концентрация их имеет место около центра. Все системы пружины с грузом – вполне идентичны и имеют один и тот же период; предположим теперь, что они колеблются с одной и той же амплитудой и в одной и той же фазе. Поверхность, проходящая через центры тяжестей этих грузов, будет плоскостью, попеременно то поднимающейся, то опускающейся. Мы получаем, таким образом, грубую аналогию с воображаемой нами порцией изолированной энергии.

Именно так представляется описанное выше явление наблюдателю, связанному с указанной плоскостью. Если другой наблюдатель видит, что плоскость перемещается, причем скорость ее равномерного поступательного движения равна $v=\beta c$, то каждый груз будет ему представляться в виде маленьких часов, подчиняющихся закону замедления Эйнштейна; кроме того, плоскость и распределение колебательных систем не будут более изотропны вокруг центра вследствие сокращения Лоренца. Но самый важный факт для нас (как будет лучше объяснено в третьем разделе), – это сдвиг фаз движений различных грузов.

Если в какой-то момент времени неподвижный наблюдатель будет рассматривать геометрическое место центров тяжести различных грузов, то оно представится ему в виде цилиндрической поверхности, вертикальные сечения которой являются синусоидами, параллельными скорости плоскости. Эта поверхность соответствует в нашем случае фазовой волне; согласно нашей общей теореме, эта поверхность движется со скоростью $\frac{c}{\beta}$, параллельной скорости плоскости, и частота колебаний точки фиксированной абсциссы, покоящейся на ней постоянно, равна частоте собственных колебаний пружин, умноженной на $\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$. Из этого примера ясно видно (и это служит оправданием его пространного изложения), что фазовая волна соответствует переносу фазы, а не энергии.

Нам кажется, что изложенные результаты имеют чрезвычайно важное значение, так как они устанавливают при помощи гипотезы, в сильной степени внушенной представлениями о квантах, связь между движением тела и распространием волны и предусматривают возможность объединения антагонистических теорий о природе излучения. Мы уже знаем теперь, что прямолинейное распространение фазовой волны связано с прямолинейным движением тела; принцип Ферма, примененный к фазовой волне, определяет ее лучи как прямые, в то время как принцип Мопертюи, примененный к движущемуся телу, определяет его прямолинейную траекторию как один из лучей волны. В главе II мы попытаемся обобщить это совпадение.