1. $2n$ уравнений вида
$$\begin{array}{l}{x}_i^{\prime }-x_i=\delta x_i=Y_i(x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n)\delta t,\\ p_i^{\prime }-p_i=\delta p_i=Q_i(x_1,\dots ,{\dot{x}}_n,p_1,\dots ,p_n)\delta t,\end{array}\}$$

в которых $\delta t$ обозначает любую $(i=1,\dots ,n)$ бесконечно малую величину, определяют бесконечно малое преобразование между величинами $x_1,\dots ,x_n$, $p_1,\dots ,p_n$.

Я требую теперь, сверх того, чтобы это преобразование было бесконечно малым касательным преобразованием в аналитической форме, т. е. чтобы разность
$$p_1^{\prime }d{x}_1^{\prime }+\dots +p_n^{\prime }d{x}_n^{\prime }-(p_{1}d{x}_1+\dots +p_{n}d{x}_n)$$

была полным дифференциалом $d\mathrm{\Omega }$. Это дает уравнение
$$\frac{\delta }{\delta t}\mathrm{\Sigma }{p}_{i}d{x}_i=d\mathrm{\Omega }$$

или, если выполнить соответствующие операции,
$$\sum _i(\frac{\partial p_i}{\partial t}d{x}_i+p_i\frac{\delta }{\delta t}\left(d{x}_i\right))=d\mathrm{\Omega },$$

откуда после перестановки символов $\delta$ и $d$ получается
$$\sum _i(\frac{\delta p_i}{\delta t}d{x}_i+p_{i}d\frac{\delta x_i}{\delta t})=d\mathrm{\Omega }.$$

Подставляя сюда выражения (1) для $\delta x_i$ и $\delta p_i$, мы находим уравнение
$$\sum _i(Q_{i}d{x}_i+p_{i}d{Y}_i)=d\mathrm{\Omega },$$

которое эквивалентно следующим $2n$ уравнениям :
$$\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_r}=Q_r+\sum _i{p}_i\frac{\partial Y_i}{\partial x_r},\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial p_e}=\sum _i{p}_i\frac{\partial Y_i}{\partial p_Q}.$$

Это дает
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial x_{\varrho }}(Q_r+\sum _i{p}_i\frac{\partial Y_i}{\partial x_r})& =\frac{\partial r}{\partial x_r}(Q_e+\sum _i{p}_i\frac{\partial Y_i}{\partial x_{\varrho }}),\\ \frac{\partial }{\partial p_{\varrho }}(Q_r+\sum _i{p}_i\frac{\partial Y_i}{\partial x_r})& =\frac{\partial }{\partial x_r}\sum _i{p}_i\frac{\partial Y_i}{\partial p_{\varrho }},\\ \frac{\partial }{\partial p_{\varrho }}\sum _i{p}_i\frac{\partial Y_i}{\partial p_r}& =\frac{\partial }{\partial p_r}\sum _i{p}_i\frac{\partial Y_i}{\partial p_{\varrho }},\end{array}$$

откуда после отбрасывания взаимно уничтожающихся членов находим
$$\frac{\partial Q_r}{\partial x_{\varrho }}=\frac{\partial Q_{\varrho }}{\partial x_r},\frac{\partial Q_r}{\partial p_{\varrho }}=-\frac{\partial Y_{\underset{―}{Q}}}{\partial x_r},\frac{\partial Y_{\varrho }}{\partial p_r}=\frac{\partial Y_r}{\partial p_{\varrho }};$$

откуда следует, что $Y_r$ и $Q_{\varrho }$ равны соответственно частным производным по $p_r$ и $-x_e$ от некоторой функции переменных $x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n$ :
$$Y_r=\frac{\partial F}{\partial p_r},Q_{\varrho }=-\frac{\partial F}{\partial x_{\varrho }}.$$

Отсюда получается следующая лемма :
Лемма 1. Каждое бесконечно малое касательное преобразование между $x$, $p$ имеет вид
$$\delta x_i=\frac{\partial F}{\partial p_i}\delta t,\delta p_i=-\frac{\partial F}{\partial x_i}\delta t(i=1,\dots ,n),$$

где $F$ обозначает любую функцию переменных $x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n^{\ast }$ ).
2. Я теперь ищу, наоборот, наиболее общее выражение
$$W=\sum _{k=1}^n{X}_k(x_1,\dots ,p_n)d{x}_k+\sum _{k=1}^n{P}_k(x_1,\dots ,p_n)d{p}_k,$$

которое обладает тем свойством, что выражение
$$\frac{\delta W}{\delta t}=\sum _k(\frac{\partial W}{\partial x_k}\cdot \frac{\partial F}{\partial p_k}-\frac{\partial W}{\partial p_k}\cdot \frac{\partial F}{\partial x_k}),$$

какова бы ни была функция $F$, всегда является полным дифференциалом.
Уравнение, выражающее это условие,
$$\frac{\delta W}{\delta t}=d\mathrm{\Omega }(x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n)$$

после выполнения соответствующих операций принимает вид
$$d\mathrm{\Omega }=\sum _k{X}_{k}d\frac{\partial F}{\partial p_k}+\sum _k(F,X_k)d{x}_k-\sum _k{P}_{k}d\frac{\partial F}{\partial x_k}+\sum _k(F,P_k)d{p}_k,$$

откуда
$$\begin{array}{l}\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_u}=\sum _k{X}_k\frac{{\partial }^{2}F}{\partial p_k\partial x_1}-\sum _k{P}_k\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x_k\partial x_u}+(F,X_u)\\ \frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial p_v}=\sum _k{X}_k\frac{{\partial }^{2}F}{\partial p_k\partial p_v}-\sum _k{P}_k\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x_k\partial p_v}+(F,P_v)\left[{}^{149}\right]\end{array}$$

Теперь мы образуем тождество
$$\frac{\partial }{\partial p_v}\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_u}=\frac{\partial }{\partial x_u}\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial p_v}$$

и приходим таким путем, опуская взаимно уничтожающиеся члены, к следующему :
$$\begin{array}{l}\sum _k\frac{\partial X_k}{\partial p_v}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial p_k\partial x_u}-\sum _k\frac{\partial P_k}{\partial p_v}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x_k\partial x_u}+(\frac{\partial F}{\partial p_v},X_u)+(F,\frac{\partial X_u}{\partial p_v})-\\ -\sum _k\frac{\partial X_k}{\partial x_{li}}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial p_k\partial p_v}+\sum _k\frac{\partial P_k}{\partial x_u}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x_k\partial p_v}-(\frac{\partial F}{\partial x_u},P_v)-(F,\frac{\partial P_v}{\partial x_u})=0.\end{array}$$

Это соотношение должно иметь место, какова бы ни была функция $F$. Поэтому, если объединить все члены, содержащие одну и ту же производную от $F$, то коэффициенты при каждой такой производной должны равняться нулю. Это дает следующие уравнения :
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial X_k}{\partial p_v}-\frac{\partial P_v}{\partial x_k}& =0\text{ для }keqv,\\ \frac{\partial X_v}{\partial p_v}-\frac{\partial P_v}{\partial x_v}& =\frac{\partial X_u}{\partial p_u}-\frac{\partial P_u}{\partial x_u},\\ \frac{\partial X_u}{\partial x_k}-\frac{\partial X_k}{\partial x_u}& =0,\\ \frac{\partial P_u}{\partial p_k}-\frac{\partial P_k}{\partial x_u}& =0,\\ \frac{\partial }{\partial x_k}(\frac{\partial X_u}{\partial p_v}-\frac{\partial P_v}{\partial x_u})& =0,\frac{\partial }{\partial p_k}(\frac{\partial X_u}{\partial p_v}-\frac{\partial P_v}{\partial x_u})=0.\end{array}$$

оба последних уравнения показывают, что величина $\frac{\partial X_v}{\partial p_v}-\frac{\partial P_v}{\partial x_v}$ постоянна и одновременно, на основании уравнения (3), не зависит от $v$. Поэтому, обозначая через $A$ абсолютную постоянную, мы можем положить
$$\frac{\partial X_v}{\partial p_v}-\frac{\partial P_v}{\partial x_v}=A,$$

откуда
$$\frac{\partial (X_v-A{p}_v)}{\partial p_v}=\frac{\partial P_v}{\partial x_v}=0(v=1,\dots ,n).$$

С другой стороны, ясно, что уравнения (2) и (4) могут быть записаны так:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial (X_k-A{p}_k)}{\partial p_v}=\frac{\partial P_v}{\partial x_k},keqv,\\ \frac{\partial (X_k-A{p}_k)}{\partial x_v}=\frac{\partial (X_v-A{p}_v)}{\partial x_k}.\end{array}$$

Эти уравнения вместе с уравнениями (5) и (7) показывают, что величины $X_k$ — $A{p}_k$ и $P_i$ являются частными производными соответственно по $x_k$ и $p_i$ некоторой функции переменных $x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n$ :
$$X_k-A{p}_k=\frac{\partial U}{\partial x_k},P_k=\frac{\partial U}{\partial p_k}(k=1,\dots ,n).$$

Отсюда следует, что искомое выражение для $W$ имеет вид
$$\sum _k(A{p}_k+\frac{\partial U}{\partial x_k})d{x}_k+\sum _k\frac{\partial U}{\partial p_k}d{p}_k,$$

или, что сводится к тому же, вид
$$A\sum _k{p}_{k}d{x}_k+dU.$$

Легко подтвердить также, что и наоборот, это выражение всегда обладает требуемым свойством, каковы бы ни были постоянная $A$ и функция $U$. В самом деле,
$$\frac{\partial }{\partial t}\sum _k{p}_{k}d{x}_k=\sum _k\frac{\delta p_k}{\delta t}d{x}_k+\sum _k{p}_{k}d\frac{\delta x_k}{\delta t}=-\sum _k\frac{\partial F}{\partial x_k}d{x}_k+\sum _k{p}_{k}d\frac{\partial F}{\partial p_k},$$

откуда
$$\frac{\delta }{\delta t}\sum _k{p}_{k}d{x}_k=d(-F+\sum _k{p}_k\frac{\partial F}{\partial p_k})$$

с другой стороны,
$$\frac{\delta }{\delta t}dU=d\frac{\delta U}{\delta t}.$$

Таким образом, мы можем высказать следующую лемму:
Лемма 2. Если данное выражение
$$W=\sum _k{X}_{k}d{x}_k+\sum _k{P}_{k}d{p}_k$$

обладает тем свойством, что ( $F,W$ ) есть всегда полный дифференциал в переменных $x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n$, какова бы ни была функция $F$, то $W$ имеет вuд
$$A\sum _k{p}_{k}d{x}_k+dU.$$
3. После того как это установлено, я предполагаю, что в совместную систему
$$\delta x_k=\frac{\partial F}{\partial p_k}\delta t,\delta p_k=-\frac{\partial F}{\partial x_k}\partial t(k=1,\dots ,n)$$

и в выражение
$$p_{1}d{x}_1+\dots +p_{n}d{x}_n$$

вместо $x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n$ введены новые переменные, например $y_1,\dots$ $\dots ,y_n,q_1,\dots ,q_n$. При этом сначала на $y_k$ и $q_k$ не налагается никаких других ограничений, кроме того, само собою разумеющегося, что они являются независимыми функциями переменных $x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n$. Пусть
$$\delta y_k={\eta }_k\delta t_i^3,\delta q_k=x_k\delta t$$

есть новая форма совместной системы (8) и пусть
$$\sum _k{p}_{k}d{x}_k=\sum _i{Y}_{k}d{y}_k+\sum Q_{k}d{q}_k=W,$$

где $Y_k$ и $Q_k$ суть некоторые функции переменных $y_1,\dots ,y_n,q_1,\dots ,q_n$.
B силу изложенного
$$\frac{\delta W}{\delta t}=\sum _i(\frac{\partial W}{\partial x_i}\frac{\partial F}{\partial p_i}-\frac{\partial W}{\partial p_i}\frac{\partial F}{\partial x_i})=d\mathrm{\Omega }.$$

Отсюда, если и здесь ввести новые переменные, получается
$$\sum _i(\frac{\partial W}{\partial y_i}{\eta }_i+\frac{\partial W}{\partial q_i}{x}_i)=d\mathrm{\Omega }.$$

Если мы, в частности, потребуем, чтобы ${\eta }_k$ и ${\varkappa }_k$ имели вид
$${\eta }_k=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_k},x_k=-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y_k}(k=1,\dots ,n),$$

какова бы ни была функция $F$, то по лемме 2 , если рассматривать $W$ как функцию переменных $y_1,\dots ,y_n,q_1,\dots ,q_n$, эта функция должна иметь вид.
$$W=A\sum _i{q}_{i}d{y}_i+dV$$

и, таким образом,
$$\sum _k{p}_{k}d{x}_k=A\sum _i{q}_{i}d{y}_i+dV,$$

что сводится к тому, что наше преобразование должно быть касательным преобразованием между $x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n$ и $y,\dots ,y_n,q_1,\dots ,q_n$. Итак:

Теорема 1. Если данное преобразование между $x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n$ и $y_1,\dots ,y_n,q_1,\dots ,q_n$ обладает тем свойством, что оно переводит любую совместную систему вида
$$\delta x_k=\frac{\partial F}{\partial p_k}\delta t,\delta p_k=-\frac{\partial F}{\partial x_k}\delta t(k=1,\dots ,n)$$

в подобную же систему между $y_1,\dots ,y_n,q_1,\dots ,q_n$, то это — касательное преобразование и, стало быть, имеет место соотношение вида
$$\sum _k{p}_{k}d{x}_k=A\sum _k{q}_{k}d{y}_k+dV.$$
4. Я ставлю теперь вопрос о наиболее общем касательном преобразовании между $x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n$ и $y_1,\dots ,y_n,q_1,\dots ,q_n$, которое переводит заданную каноническую систему
$$\delta x_k=\frac{\partial X_1}{\partial p_k}\delta t,\delta p_k=-\frac{\partial X_1}{\partial x_k}\delta t(k=1,\dots ,n)$$

в другую определенную систему
$$\delta y_k=\frac{\partial Y_1}{\partial q_k}\delta t,\delta q_k=-\frac{\partial Y_1}{\partial y_k}\delta t,(k=1,\dots ,n).$$

Другими словами, я ищу наиболее общее касательное преобразование, которое переводит выражение $(X_1,f)$ в выражение $(Y_1,f)$. Согласно моей теории касательных преобразований это сводится к тому, чтобы искать наиболее общее касательное преобразование, переводящее $X_1$ в $Y_1$. Оно будет найдено, если составить в самой общей форме две канонические группы:
$$\begin{array}{l}{X}_1,\dots ,X_n,P_1,\dots ,P_n,\\ Y_1,\dots ,Y_n,Q_1,\dots ,Q_n,\end{array}$$

соответственно в переменных $x,p$ и $y,q$, так чтобы в эти группы входили $X_1$ и $Y_1$. Если затем положить
$$X_k=Y_k,P_k=Q_k,$$

то эти уравнения определят наиболее общее преобразование требуемого типа.

В частности, можно потребовать, чтобы $X_1$ и $Y_1$ были одинаковыми функциями соответственно переменных $x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n$ и переменных

$y_1,\dots ,y_n,q_1,\dots ,q_n$. Решение этой частной задачи вытекает непосредственно из только что сказанного.
5. Если одновременно дано несколько уравнений вида
$$(F_1,F)=0,\dots ,(F_r,F)=0,(x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n),$$

то можно искать наиболее общее касательное преобразование, которое переводит их соответственно в
$$({\mathrm{\Phi }}_1,F)=0,\dots ,({\mathrm{\Phi }}_r,F)=0,(y_1,\dots ,y_n,q_1,\dots ,q_n).$$

Это сводится к тому, чтобы искать наиболее общее касательное преобразование, переводящее функции $F_1,\dots ,F_r$ соответственно в ${\mathrm{\Phi }}_1,\dots ,{\mathrm{\Phi }}_r$. В своей теории инвариантов касательных преобразований. (Math. Ann., т. VIII, стр. 272)*) я показал, как можно при помощи выполнимых операций решить, возможна ли данная задача этого типа. Если да, то искомое преобразование находится посредством интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

В частности, если уравнения (9) образуют полную систему, то можно искать наиболее общее касатепьное преобразование, которое переводит эту систему в другую полную систему
$$({\mathrm{\Phi }}_1,F)=0,({\mathrm{\Phi }}_2,F)=0,\dots$$

между переменными $y_1,\dots ,y_n,q_1,\dots ,q_n$. Согласно доказанному мною (Math. Ann., т. VIII, стр. 251 и далее)**) $F_1,\dots ,F_r$ и ${\mathrm{\Phi }}_1,{\mathrm{\Phi }}_2,\dots$ должны составлять группы из одного и того же числа членов и с одним и тем же числом различных функций. Если это требование выполнено, то нужно привести обе эти группы к их каноническим видам:
$$\begin{array}{l}{X}_1,\dots ,X_{\varrho },P_1,\dots ,P_{r-\varrho },\\ Y_1,\dots ,Y_{\varrho },Q_1,\dots ,Q_{r-\varrho }\end{array}$$

и искать тогда в самой общей форме канонические системы величин:
$$\begin{array}{l}{X}_1,\dots ,X_n,P_1,\dots ,P_n,\\ Y_1,\dots ,Y_n,Q_1,\dots ,Q_n.\end{array}$$

Тогда уравнения
$$X_k=Y_k,P_k=Q_k$$

определяют наиболее общую систему требуемого типа.