1. $2 n$ уравнений вида
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{i}^{\prime}-x_{i}=\delta x_{i}=Y_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \delta t, \\
p_{i}^{\prime}-p_{i}=\delta p_{i}=Q_{i}\left(x_{1}, \ldots, \dot{x}_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \delta t,
\end{array}\right\}
\]

в которых $\delta t$ обозначает любую $(i=1, \ldots, n)$ бесконечно малую величину, определяют бесконечно малое преобразование между величинами $x_{1}, \ldots, x_{n}$, $p_{1}, \ldots, p_{n}$.

Я требую теперь, сверх того, чтобы это преобразование было бесконечно малым касательным преобразованием в аналитической форме, т. е. чтобы разность
\[
p_{1}^{\prime} d x_{1}^{\prime}+\ldots+p_{n}^{\prime} d x_{n}^{\prime}-\left(p_{1} d x_{1}+\ldots+p_{n} d x_{n}\right)
\]

была полным дифференциалом $d \Omega$. Это дает уравнение
\[
\frac{\delta}{\delta t} \Sigma p_{i} d x_{i}=d \Omega
\]

или, если выполнить соответствующие операции,
\[
\sum_{i}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial t} d x_{i}+p_{i} \frac{\delta}{\delta t}\left(d x_{i}\right)\right)=d \Omega,
\]

откуда после перестановки символов $\delta$ и $d$ получается
\[
\sum_{i}\left(\frac{\delta p_{i}}{\delta t} d x_{i}+p_{i} d \frac{\delta x_{i}}{\delta t}\right)=d \Omega .
\]

Подставляя сюда выражения (1) для $\delta x_{i}$ и $\delta p_{i}$, мы находим уравнение
\[
\sum_{i}\left(Q_{i} d x_{i}+p_{i} d Y_{i}\right)=d \Omega,
\]

которое эквивалентно следующим $2 n$ уравнениям :
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}}=Q_{r}+\sum_{i} p_{i} \frac{\partial Y_{i}}{\partial x_{r}}, \quad \frac{\partial \Omega}{\partial p_{e}}=\sum_{i} p_{i} \frac{\partial Y_{i}}{\partial p_{Q}} .
\]

Это дает
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x_{\varrho}}\left(Q_{r}+\sum_{i} p_{i} \frac{\partial Y_{i}}{\partial x_{r}}\right) & =\frac{\partial r}{\partial x_{r}}\left(Q_{e}+\sum_{i} p_{i} \frac{\partial Y_{i}}{\partial x_{\varrho}}\right), \\
\frac{\partial}{\partial p_{\varrho}}\left(Q_{r}+\sum_{i} p_{i} \frac{\partial Y_{i}}{\partial x_{r}}\right) & =\frac{\partial}{\partial x_{r}} \sum_{i} p_{i} \frac{\partial Y_{i}}{\partial p_{\varrho}}, \\
\frac{\partial}{\partial p_{\varrho}} \sum_{i} p_{i} \frac{\partial Y_{i}}{\partial p_{r}} & =\frac{\partial}{\partial p_{r}} \sum_{i} p_{i} \frac{\partial Y_{i}}{\partial p_{\varrho}},
\end{aligned}
\]

откуда после отбрасывания взаимно уничтожающихся членов находим
\[
\frac{\partial Q_{r}}{\partial x_{\varrho}}=\frac{\partial Q_{\varrho}}{\partial x_{r}}, \quad \frac{\partial Q_{r}}{\partial p_{\varrho}}=-\frac{\partial Y_{\underline{Q}}}{\partial x_{r}}, \quad \frac{\partial Y_{\varrho}}{\partial p_{r}}=\frac{\partial Y_{r}}{\partial p_{\varrho}} ;
\]

откуда следует, что $Y_{r}$ и $Q_{\varrho}$ равны соответственно частным производным по $p_{r}$ и $-x_{e}$ от некоторой функции переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ :
\[
Y_{r}=\frac{\partial F}{\partial p_{r}}, \quad Q_{\varrho}=-\frac{\partial F}{\partial x_{\varrho}} .
\]

Отсюда получается следующая лемма :
Лемма 1. Каждое бесконечно малое касательное преобразование между $x$, $p$ имеет вид
\[
\delta x_{i}=\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \delta t, \quad \delta p_{i}=-\frac{\partial F}{\partial x_{i}} \delta t \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $F$ обозначает любую функцию переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}^{*}$ ).
2. Я теперь ищу, наоборот, наиболее общее выражение
\[
W=\sum_{k=1}^{n} X_{k}\left(x_{1}, \ldots, p_{n}\right) d x_{k}+\sum_{k=1}^{n} P_{k}\left(x_{1}, \ldots, p_{n}\right) d p_{k},
\]

которое обладает тем свойством, что выражение
\[
\frac{\delta W}{\delta t}=\sum_{k}\left(\frac{\partial W}{\partial x_{k}} \cdot \frac{\partial F}{\partial p_{k}}-\frac{\partial W}{\partial p_{k}} \cdot \frac{\partial F}{\partial x_{k}}\right),
\]

какова бы ни была функция $F$, всегда является полным дифференциалом.
Уравнение, выражающее это условие,
\[
\frac{\delta W}{\delta t}=d \Omega\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right)
\]

после выполнения соответствующих операций принимает вид
\[
d \Omega=\sum_{k} X_{k} d \frac{\partial F}{\partial p_{k}}+\sum_{k}\left(F, X_{k}\right) d x_{k}-\sum_{k} P_{k} d \frac{\partial F}{\partial x_{k}}+\sum_{k}\left(F, P_{k}\right) d p_{k},
\]

откуда
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Omega}{\partial x_{u}}=\sum_{k} X_{k} \frac{\partial^{2} F}{\partial p_{k} \partial x_{1}}-\sum_{k} P_{k} \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{k} \partial x_{u}}+\left(F, X_{u}\right) \\
\frac{\partial \Omega}{\partial p_{v}}=\sum_{k} X_{k} \frac{\partial^{2} F}{\partial p_{k} \partial p_{v}}-\sum_{k} P_{k} \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{k} \partial p_{v}}+\left(F, P_{v}\right)\left[{ }^{149}\right]
\end{array}
\]

Теперь мы образуем тождество
\[
\frac{\partial}{\partial p_{v}} \frac{\partial \Omega}{\partial x_{u}}=\frac{\partial}{\partial x_{u}} \frac{\partial \Omega}{\partial p_{v}}
\]

и приходим таким путем, опуская взаимно уничтожающиеся члены, к следующему :
\[
\begin{array}{l}
\sum_{k} \frac{\partial X_{k}}{\partial p_{v}} \frac{\partial^{2} F}{\partial p_{k} \partial x_{u}}-\sum_{k} \frac{\partial P_{k}}{\partial p_{v}} \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{k} \partial x_{u}}+\left(\frac{\partial F}{\partial p_{v}}, X_{u}\right)+\left(F, \frac{\partial X_{u}}{\partial p_{v}}\right)- \\
-\sum_{k} \frac{\partial X_{k}}{\partial x_{l i}} \frac{\partial^{2} F}{\partial p_{k} \partial p_{v}}+\sum_{k} \frac{\partial P_{k}}{\partial x_{u}} \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{k} \partial p_{v}}-\left(\frac{\partial F}{\partial x_{u}}, P_{v}\right)-\left(F, \frac{\partial P_{v}}{\partial x_{u}}\right)=0 . \\
\end{array}
\]

Это соотношение должно иметь место, какова бы ни была функция $F$. Поэтому, если объединить все члены, содержащие одну и ту же производную от $F$, то коэффициенты при каждой такой производной должны равняться нулю. Это дает следующие уравнения :
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial X_{k}}{\partial p_{v}}-\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{k}} & =0 \quad \text { для } k
eq v, \\
\frac{\partial X_{v}}{\partial p_{v}}-\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{v}} & =\frac{\partial X_{u}}{\partial p_{u}}-\frac{\partial P_{u}}{\partial x_{u}}, \\
\frac{\partial X_{u}}{\partial x_{k}}-\frac{\partial X_{k}}{\partial x_{u}} & =0, \\
\frac{\partial P_{u}}{\partial p_{k}}-\frac{\partial P_{k}}{\partial x_{u}} & =0, \\
\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\frac{\partial X_{u}}{\partial p_{v}}-\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{u}}\right) & =0, \quad \frac{\partial}{\partial p_{k}}\left(\frac{\partial X_{u}}{\partial p_{v}}-\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{u}}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

оба последних уравнения показывают, что величина $\frac{\partial X_{v}}{\partial p_{v}}-\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{v}}$ постоянна и одновременно, на основании уравнения (3), не зависит от $v$. Поэтому, обозначая через $A$ абсолютную постоянную, мы можем положить
\[
\frac{\partial X_{v}}{\partial p_{v}}-\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{v}}=A,
\]

откуда
\[
\frac{\partial\left(X_{v}-A p_{v}\right)}{\partial p_{v}}=\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{v}}=0 \quad(v=1, \ldots, n) .
\]

С другой стороны, ясно, что уравнения (2) и (4) могут быть записаны так:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial\left(X_{k}-A p_{k}\right)}{\partial p_{v}}=\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{k}}, \quad k
eq v, \\
\frac{\partial\left(X_{k}-A p_{k}\right)}{\partial x_{v}}=\frac{\partial\left(X_{v}-A p_{v}\right)}{\partial x_{k}} .
\end{array}
\]

Эти уравнения вместе с уравнениями (5) и (7) показывают, что величины $X_{k}$ – $A p_{k}$ и $P_{i}$ являются частными производными соответственно по $x_{k}$ и $p_{i}$ некоторой функции переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ :
\[
X_{k}-A p_{k}=\frac{\partial U}{\partial x_{k}}, \quad P_{k}=\frac{\partial U}{\partial p_{k}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Отсюда следует, что искомое выражение для $W$ имеет вид
\[
\sum_{k}\left(A p_{k}+\frac{\partial U}{\partial x_{k}}\right) d x_{k}+\sum_{k} \frac{\partial U}{\partial p_{k}} d p_{k},
\]

или, что сводится к тому же, вид
\[
A \sum_{k} p_{k} d x_{k}+d U .
\]

Легко подтвердить также, что и наоборот, это выражение всегда обладает требуемым свойством, каковы бы ни были постоянная $A$ и функция $U$. В самом деле,
\[
\frac{\partial}{\partial t} \sum_{k} p_{k} d x_{k}=\sum_{k} \frac{\delta p_{k}}{\delta t} d x_{k}+\sum_{k} p_{k} d \frac{\delta x_{k}}{\delta t}=-\sum_{k} \frac{\partial F}{\partial x_{k}} d x_{k}+\sum_{k} p_{k} d \frac{\partial F}{\partial p_{k}},
\]

откуда
\[
\frac{\delta}{\delta t} \sum_{k} p_{k} d x_{k}=d\left(-F+\sum_{k} p_{k} \frac{\partial F}{\partial p_{k}}\right)
\]

с другой стороны,
\[
\frac{\delta}{\delta t} d U=d \frac{\delta U}{\delta t} .
\]

Таким образом, мы можем высказать следующую лемму:
Лемма 2. Если данное выражение
\[
W=\sum_{k} X_{k} d x_{k}+\sum_{k} P_{k} d p_{k}
\]

обладает тем свойством, что ( $F, W$ ) есть всегда полный дифференциал в переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$, какова бы ни была функция $F$, то $W$ имеет вuд
\[
A \sum_{k} p_{k} d x_{k}+d U .
\]
3. После того как это установлено, я предполагаю, что в совместную систему
\[
\delta x_{k}=\frac{\partial F}{\partial p_{k}} \delta t, \quad \delta p_{k}=-\frac{\partial F}{\partial x_{k}} \partial t \quad(k=1, \ldots, n)
\]

и в выражение
\[
p_{1} d x_{1}+\ldots+p_{n} d x_{n}
\]

вместо $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ введены новые переменные, например $y_{1}, \ldots$ $\ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$. При этом сначала на $y_{k}$ и $q_{k}$ не налагается никаких других ограничений, кроме того, само собою разумеющегося, что они являются независимыми функциями переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$. Пусть
\[
\delta y_{k}=\eta_{k} \delta t_{i}^{3}, \quad \delta q_{k}=x_{k} \delta t
\]

есть новая форма совместной системы (8) и пусть
\[
\sum_{k} p_{k} d x_{k}=\sum_{i} Y_{k} d y_{k}+\sum Q_{k} d q_{k}=W,
\]

где $Y_{k}$ и $Q_{k}$ суть некоторые функции переменных $y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$.
B силу изложенного
\[
\frac{\delta W}{\delta t}=\sum_{i}\left(\frac{\partial W}{\partial x_{i}} \frac{\partial F}{\partial p_{i}}-\frac{\partial W}{\partial p_{i}} \frac{\partial F}{\partial x_{i}}\right)=d \Omega .
\]

Отсюда, если и здесь ввести новые переменные, получается
\[
\sum_{i}\left(\frac{\partial W}{\partial y_{i}} \eta_{i}+\frac{\partial W}{\partial q_{i}} x_{i}\right)=d \Omega .
\]

Если мы, в частности, потребуем, чтобы $\eta_{k}$ и $\varkappa_{k}$ имели вид
\[
\eta_{k}=\frac{\partial \Phi}{\partial q_{k}}, \quad x_{k}=-\frac{\partial \Phi}{\partial y_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

какова бы ни была функция $F$, то по лемме 2 , если рассматривать $W$ как функцию переменных $y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$, эта функция должна иметь вид.
\[
W=A \sum_{i} q_{i} d y_{i}+d V
\]

и, таким образом,
\[
\sum_{k} p_{k} d x_{k}=A \sum_{i} q_{i} d y_{i}+d V,
\]

что сводится к тому, что наше преобразование должно быть касательным преобразованием между $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ и $y, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$. Итак:

Теорема 1. Если данное преобразование между $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ и $y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$ обладает тем свойством, что оно переводит любую совместную систему вида
\[
\delta x_{k}=\frac{\partial F}{\partial p_{k}} \delta t, \quad \delta p_{k}=-\frac{\partial F}{\partial x_{k}} \delta t \quad(k=1, \ldots, n)
\]

в подобную же систему между $y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$, то это – касательное преобразование и, стало быть, имеет место соотношение вида
\[
\sum_{k} p_{k} d x_{k}=A \sum_{k} q_{k} d y_{k}+d V .
\]
4. Я ставлю теперь вопрос о наиболее общем касательном преобразовании между $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ и $y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$, которое переводит заданную каноническую систему
\[
\delta x_{k}=\frac{\partial X_{1}}{\partial p_{k}} \delta t, \quad \delta p_{k}=-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{k}} \delta t \quad(k=1, \ldots, n)
\]

в другую определенную систему
\[
\delta y_{k}=\frac{\partial Y_{1}}{\partial q_{k}} \delta t, \delta q_{k}=-\frac{\partial Y_{1}}{\partial y_{k}} \delta t, \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Другими словами, я ищу наиболее общее касательное преобразование, которое переводит выражение $\left(X_{1}, f\right)$ в выражение $\left(Y_{1}, f\right)$. Согласно моей теории касательных преобразований это сводится к тому, чтобы искать наиболее общее касательное преобразование, переводящее $X_{1}$ в $Y_{1}$. Оно будет найдено, если составить в самой общей форме две канонические группы:
\[
\begin{array}{l}
X_{1}, \ldots, X_{n}, P_{1}, \ldots, P_{n}, \\
Y_{1}, \ldots, Y_{n}, Q_{1}, \ldots, Q_{n},
\end{array}
\]

соответственно в переменных $x, p$ и $y, q$, так чтобы в эти группы входили $X_{1}$ и $Y_{1}$. Если затем положить
\[
X_{k}=Y_{k}, \quad P_{k}=Q_{k},
\]

то эти уравнения определят наиболее общее преобразование требуемого типа.

В частности, можно потребовать, чтобы $X_{1}$ и $Y_{1}$ были одинаковыми функциями соответственно переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ и переменных

$y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$. Решение этой частной задачи вытекает непосредственно из только что сказанного.
5. Если одновременно дано несколько уравнений вида
\[
\left(F_{1}, F\right)=0, \ldots, \quad\left(F_{r}, F\right)=0, \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right),
\]

то можно искать наиболее общее касательное преобразование, которое переводит их соответственно в
\[
\left(\Phi_{1}, F\right)=0, \ldots, \quad\left(\Phi_{r}, F\right)=0, \quad\left(y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right) .
\]

Это сводится к тому, чтобы искать наиболее общее касательное преобразование, переводящее функции $F_{1}, \ldots, F_{r}$ соответственно в $\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{r}$. В своей теории инвариантов касательных преобразований. (Math. Ann., т. VIII, стр. 272)*) я показал, как можно при помощи выполнимых операций решить, возможна ли данная задача этого типа. Если да, то искомое преобразование находится посредством интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

В частности, если уравнения (9) образуют полную систему, то можно искать наиболее общее касатепьное преобразование, которое переводит эту систему в другую полную систему
\[
\left(\Phi_{1}, F\right)=0, \quad\left(\Phi_{2}, F\right)=0, \ldots
\]

между переменными $y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$. Согласно доказанному мною (Math. Ann., т. VIII, стр. 251 и далее)**) $F_{1}, \ldots, F_{r}$ и $\Phi_{1}, \Phi_{2}, \ldots$ должны составлять группы из одного и того же числа членов и с одним и тем же числом различных функций. Если это требование выполнено, то нужно привести обе эти группы к их каноническим видам:
\[
\begin{array}{l}
X_{1}, \ldots, X_{\varrho}, P_{1}, \ldots, P_{r-\varrho}, \\
Y_{1}, \ldots, Y_{\varrho}, Q_{1}, \ldots, Q_{r-\varrho}
\end{array}
\]

и искать тогда в самой общей форме канонические системы величин:
\[
\begin{array}{l}
X_{1}, \ldots, X_{n}, P_{1}, \ldots, P_{n}, \\
Y_{1}, \ldots, Y_{n}, Q_{1}, \ldots, Q_{n} .
\end{array}
\]

Тогда уравнения
\[
X_{k}=Y_{k}, \quad P_{k}=Q_{k}
\]

определяют наиболее общую систему требуемого типа.