§ 1. Серре в своем мемуаре о начале наименьшего действия*) пополнил теорему Лагранжа, доказав, что вторая вариация от действия есть величина существенно положительная, и, следовательно, действие имеет наименьшую величину при действительном движении системы. Но, несмотря на остроумный анализ знаменитого ученого, его исследование настолько сложно, что не может быть изложено в курсах механики. Я думаю, что поэтому не будет лишено интереса простое геометрическое доказательство, с помощью которого обнаруживается, что действие имеет при действительном движении системы наименьшую величину, тем более, что это доказательство распространяется и на принцип Остроградского.

§2. Пусть дана система $n$ точек с $p$ условиями в ее первоначальном положении $a, a_{1}, \ldots, a_{n}$, находящаяся под действием сил, имеющих силовую, функцию $U$. Рассмотрим два бесконечно близких движения этой системы, из которых одно совершается по путям $a f$, $a_{1} f_{1}, \ldots, a_{n} f_{n}$, а – другое – по путям $a b$, $a_{1} b_{1}, \ldots, a_{n} b_{n}$ (см. рисунок). Назовем через $T$ живую силу системы и напишем интеграл живых сил :
\[
U-T+h=0,
\]

где $h$ – постоянное. Действие в движении по траекториям $a f, a_{1} f_{1}, \ldots, a_{n} f_{n}$ условимся обозначать через (af), так что
\[
(a f)=\int_{0}^{t} 2 T d t
\]
$t$ есть время, в которое система переходит из начального положения в положение $f, f_{1}, \ldots, f_{n}$. Этот интеграл на основании формулы (1) может быть представлен так:
\[
(a f)=\int_{0}^{t}(U+T+h) d t .
\]

Предположим, что постоянное $h$ одинаково как для движения по траекториям $a f, a_{1} f_{1}, \ldots, a_{n} f_{n}$, так и для движения по траекториям $a b$,

$a_{1} b_{1}, \ldots, a_{n} b_{n}$, и определим вариацию $(a b)-(a f)$ :
\[
\begin{array}{l}
(a b)-(a f)=\left.\right|_{0} ^{t} 2 T \delta t+\int_{0}^{t} \sum\left(\frac{\partial U}{\partial x} \delta x+\frac{\partial U}{\partial y} \delta y+\frac{\partial U}{\partial z} \delta z\right) d t+ \\
\quad+\int_{0}^{t} \sum m\left(\frac{d x}{d t} \frac{d \delta x}{d t}+\frac{d y}{d t} \frac{d \delta y}{d t}+\frac{d z}{d t} \frac{d \delta z}{d t}\right) d t .
\end{array}
\]

Интегрируем по частям :
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{t} \sum m\left(\frac{d x}{d t} \frac{d \delta x}{d t}+\frac{d y}{d t} \frac{d \delta y}{d t}+\frac{d z}{d t} \frac{d \delta z}{d t}\right) d t= \\
=\int_{0}^{t} \sum m\left(\frac{d x}{d t} \delta x+\frac{d y}{d t} \delta y+\frac{d z}{d t} \delta z\right)-\int_{0}^{t} \sum m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z\right) d t .
\end{array}
\]

Ho
\[
\begin{array}{c}
|0 \delta x=0, \quad|^{t} \delta x=\left.\delta\right|^{t} x-\left.\right|^{t} \frac{d x}{d t} \delta t, \\
\left.\left.\delta\right|^{t} x\right|^{t} \frac{d x}{d t}+\left.\left.\delta\right|^{t} y\right|^{t} \frac{d y}{d t}+\left.\left.\delta\right|^{t} z\right|^{t} \frac{d z}{d t}=v \cos \alpha \cdot \delta s,
\end{array}
\]

где $v$ – скорость точки $f, a=<b f e, \delta s=b f$; поэтому
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{t} \sum m\left(\frac{d x}{d t} \frac{d \delta x}{d t}+\frac{d y}{d t} \frac{d \delta y}{d t}+\frac{d z}{d t} \frac{d \delta z}{d t}\right) d t= \\
=\sum m v \cos \alpha \cdot \delta s-\left.\right|^{t} 2 T \delta t-\int_{0}^{t} \sum m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z\right) d t .
\end{array}
\]
, Подставляем :
\[
\begin{aligned}
(a b)-(a f)=\sum m v \cos \alpha \cdot \delta s+ & \int_{0}^{t} \sum\left[\left(\frac{\partial U}{\partial x}-m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right) \delta x+\right. \\
& \left.+\left(-\frac{\partial U}{\partial y}-m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}\right) \delta y+\left(\frac{\partial U}{\partial z}-m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}\right) \delta z\right] d t .
\end{aligned}
\]

Здесь подынтегральная величина обращается в нуль на основании главной теоремы динамики, и мы получаем
\[
(a b)-(a f)=\Sigma m v \cos \alpha \cdot \delta s ;
\]

формула (4) показывает, что при
\[
\sum m v \cos \alpha \cdot \delta s \doteq 0
\]

действия ( $a f$ ) и ( $a b$ ) одинаковы.
Бесконечно малые линии $f b, f_{1} b_{1}, \ldots, f_{n} b_{n}$, удовлетворяющие условию (5), вполне определены, так как они должны, кроме того, соединять точки системы $b, b_{1}, \ldots, b_{n}$ во втором движении с некоторыми соответственными положениями этих точек $f, f_{1}, \ldots, f_{n}$ в первом движении. Условимся называть такие бесконечно малые линии линиями равного действия.

§3. Сравниваем теперь действие ( $a d c$ ) в действительном движении системы с действием ( $a b c$ ) в каком-нибудь другом ее движении, кинематически возможном и удовлетворяющем уравнению (1), причем постоянное $h$ в этом воображаемом движении то же, что и в действительном движении. Пусть будет $b, b_{1}, \ldots, b_{n}$ – ряд положений точек системы в какой-нибудь момент

второго движения. Проведем траектории $a b, a_{1} b_{1}, \ldots, a_{n} b_{n}$ некоторого действительного движения системы, при котором она, имея то же постоянное $h$, переходит в некоторое время из $a, a_{1}, \ldots, a_{n}$ в $b, b_{1}, \ldots, b_{n}$. Это вспомогательное движение будет вполне определенное, потому что для определения его $3 n-p+1$ начальных скоростей мы получим $3 n-p$ уравнений, выражающих, что точки системы вступают одновременно в $b, b_{1}, \ldots, b_{n}$, да еще уравнение (1). Проведем траектории $a e, a_{1} e_{1}, \ldots, a_{n} e_{n}$ подобного же вспомогательного движения для точек $e, e_{1}, \ldots, e_{n}$, бесконечно близких к точкам $b, b_{1}, \ldots, b_{n}$, и вообще проведем траектории таких вспомогательных движений для всех положений точек системы на путях $a b c, a_{1} b_{1} c_{1}, \ldots, a_{n} b_{n} c_{n}$.

Представим теперь действие ( $a b c$ ), исключая из него $d t$ с помощью интеграла (1), как это делает Якоби :
\[
(a b c)=\int \sqrt{2(U+h) \Sigma m d} l^{2} .
\]

Здесь $d l, d l_{1}, \ldots, d l_{n}$ суть элементарные пути, пройденные по траекториям $a b c, a_{1} b_{1} c_{1}, \ldots, a_{n} b_{n} c_{n}$. Пусть будет для некоторого элемента времени
\[
d l=b e, \quad d l_{1}=b_{1} e_{1}, \ldots, \quad d l_{n}=b_{n} e_{n} .
\]

Проведем через точки $b, b_{1}, \ldots, b_{n}$ линии равного действия

и положим
\[
\begin{array}{c}
f b=\delta s, \quad f_{1} b_{1}=\delta s_{1}, \ldots, f_{n} b_{n}=\delta s_{n} \\
f e=d \sigma, \quad f_{1} e_{1}=d \sigma_{1}, \ldots, \quad f_{n} e_{n}=d \sigma_{n} .
\end{array}
\]

Из бесконечно малых треугольников $b f e, b_{1} f_{1} e_{1}, \ldots, b_{n} f_{n} e_{n}$ получим
\[
d l^{2}=d \sigma^{2}+\delta s^{2}-2 d \sigma \delta s \cos \alpha .
\]

Умножаем это уравнение на массу $m$ точки $a$ и берем сумму, распространенную на все точки системы:
\[
\Sigma m d l^{2}=\sum m d \sigma^{2}+\sum m \delta s^{2}-2 \sum m d \sigma \delta s \cos \alpha .
\]

Но по формуле (5)
\[
\sum m d \sigma \delta s \cos \alpha=d t \sum m v \delta s \cos \alpha=0 ;
\]
$d t$ есть время, в которое система пробегает бесконечно малые пути $f e$, $f_{1} e_{1}, \ldots, f_{n} e_{n}$. Мы получаем :
\[
\sum m d l^{2}>\sum m d \sigma^{2}
\]

или
\[
\sqrt{2(U+h) \sum m d l^{2}}>\sqrt{2(U+h) \sum m d \sigma^{2}} .
\]

Подставляем сюда
\[
\sqrt{2(U+h) \sum m d \sigma^{2}}=(f e)=(a e)-(a b)=d(a b) .
\]

Находим :
\[
\sqrt{2(U+h) \sum m d l^{2}}>d(a b) .
\]

Берем от обеих частей интеграл, распространенный на все движение по путям $a b c, a_{1} b_{1} c_{1}, \ldots$ :
\[
\int \sqrt{2(U+h) \sum m d l^{2}}>a d c
\]

или по (6)
\[
(a b c)>(a d c) .
\]

Это равенство доказывает теорему Лагранжа.

§4. Обращаемся к принципу Остроградского. Условимся обозначать через $[a f]$ следующий интеграл:
\[
[a f]=\int_{0}^{t}(T+U) d t
\]

распространенный на движение системы по траекториям $a f, a_{1} f_{1}, \ldots, a_{n} f_{n}$. Вообразим бесконечно близкое движение по траекториям $a b, a_{1} b_{1}, \ldots, a_{n} b_{n}$, совершающееся в то же время, и определим вариацию $[a b]-[a f]$ :
\[
\begin{aligned}
{[a b]-[a f]=\int_{0}^{t}\left(\frac{\partial U}{\partial x} \delta x+\frac{\partial U}{\partial y} \delta y\right.} & \left.+\frac{\partial U}{\partial z} \delta z\right) d t+ \\
& +\int_{0}^{t} \sum m\left(\frac{d x}{d t} \frac{d \delta x}{d t}+\frac{d y}{d t} \frac{d \delta y}{d t}+\frac{d z}{d t} \frac{d \delta z}{d t}\right) d t .
\end{aligned}
\]

Здесь делаем такие же преобразования, как в $\S 2$, полагая при этом $\delta t=0$. Получаем :
\[
[a b]-[a f]=\sum m v \cos \alpha \delta s .
\]

§5. Сравним теперь интеграл [adc] в действительном движении системы с интегралом $[a b c]$ в некотором другом движении, возможном для нее кинематически и совершающемся в то же время как действительное движение. Пусть $b, b_{1}, \ldots, b_{n}$ будут положения точек системы в какой-нибудь момент воображаемого движения. Проведем траектории $a b, a_{1} b_{1}, \ldots, a_{n} b_{n}$ некоторого действительного движения, при котором точки системы вступают в $b, b_{1}, \ldots, b_{n}$ в то же время, как при воображаемом движении. Такое вспомогательное действительное движение вполне определенное, потому что для отыскания его $3 n-p+1$ начальных скоростей имеем $3 n-p+1$ уравнений, выражающих, что точки системы вступают в данное время в $b, b_{1}, \ldots, b_{n}$. Проведем подобным же образом траектории ае, $a_{1} e_{1}, \ldots, a_{n} e_{n}$ вспомогательного движения для положения системы $e, e_{1}, \ldots, e_{n}$, бесконечно близкого положению $b, b_{1}, \ldots, b_{n}$, и для всех других ее положений на путях $a b c, a_{1} b_{1} c_{1}, \ldots, a_{n} b_{n} c_{n}$. Возьмем на траекториях $a e, a_{1} e_{1}, \ldots, a_{n} e_{n}$ точки $t$, $f_{1}, \ldots, f_{n}$, в которые система вступает при вспомогательном движении в то же время, в которое она вступает в точки $b, b_{1}, \ldots, b_{n}$ при воображаемом движении.

Из бесконечно малых треугольников $b f e, b_{1} f_{1} e_{1}, \ldots, b_{n} f_{n} e_{n}$ получаем подобно предыдущему следующее неравенство:
\[
\sum m d l^{2}>\Sigma m d \sigma^{2}-2 \sum m d \sigma \delta s \cos \alpha .
\]

Назовем через $T$ живую силу системы при движении по $b e, b_{1} e_{1}, \ldots, b_{n} e_{n}$, через $T^{\prime}$ – ее живую силу при движении по $f e, j_{1} e_{1}, \ldots, f_{n} e_{n}$ и через $d t$ – бесконечно малое время этих движений. Получим:
\[
\begin{array}{l}
\Sigma m d t^{2}=2 T d t^{2}, \\
\Sigma m d \sigma^{2}=2 T^{\prime} d t^{2} .
\end{array}
\]

Вследствие этого наше неравенство будет:
\[
T d t>T^{\prime} d t-\sum m \frac{d \sigma}{d t} \cos \alpha \delta s .
\]

Но по (10)
\[
\begin{array}{c}
\sum m \frac{d \sigma}{d t} \cos \alpha \delta s=[a b]-[a f] ; \\
T d t>T^{\prime} d t+[a f]-[a b] .
\end{array}
\]

следовательно,

Прибавляем к обеим частям $U d t$ :
\[
(T+U) d t>\left(T^{\prime}+U\right) d t+[a f]-[a b] .
\]

Замечаем, что
\[
\left(T^{\prime}+U\right) d t=[f e], \quad[a f]+[f e]=[a e], \quad[a e]-[a b]=d[a b] .
\]

Получаем
\[
(T+U) d t>d[a b] .
\]

Берем от обеих частей интеграл, распространенный на все движение :
\[
\int_{0}^{t}(T+U) d t>[a d c]
\]

или
\[
[a b c]>[a d c] .
\]

Это неравенство дает принцип Остроградского.

§6. Заметим, что данное нами доказательство начала наименьшего действия неприложимо в некоторых случаях, указанных Якоби*); но это суть именно те случаи, когда $\int 2 T d t$ под условием (1) не имеет ни минимума, ни максимума. Подробное исследование этого вопроса мы надеемся предложить читателю в приготовляемом нами к печати сочинении «О прочности движения».