Общие концепции, изложенные в предыдущем параграфе, должны быть теперь применены к частным случаям с целью уяснения их смысла.
a) Рассмотрим сначала прямолинейное и равномерное движение свободно движущегося тела. Гипотезы, выдвинутые в начале первой главы, позволили нам полностью изучить этот случай на основе специального принципа относительности. Посмотрим, сможем ли мы найти предсказанное значение для скорости распространения фазовой волны :
\[
V=\frac{c}{\beta} .
\]

Положим
\[
\begin{array}{c}
v=\frac{W}{h}=\frac{m_{0} c^{2}}{h \sqrt{1-\beta^{2}}}, \\
\frac{1}{h} \sum_{1}^{3} p_{i} d q_{i}=\frac{1}{h} \frac{m_{0} \beta^{2} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} d t=\frac{1}{h} \frac{m_{0} \beta c}{\sqrt{1-\beta^{2}}} d l=\frac{v d l}{V},
\end{array}
\]

откуда $V=\frac{c}{\beta}$. Мы дали истолкование этого результата с точки зрения пространства-времени.

б) Рассмотрим электрон в электростатическом поле (атом Бора). Мы должны предположить, что фазовая волна, имеющая частоту $v$, равную частному от деления полной энергии движущегося тела на $h$, будет
\[
W=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+e \psi=h v .
\]

Поскольку магнитное поле равно нулю, получаем просто
\[
\begin{array}{c}
p_{x}=\frac{m_{0} v_{x}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \quad \text { и т. д., } \\
\frac{1}{h} \sum_{1}^{3} p_{i} d q_{i}=\frac{1}{h} \frac{m_{0} \beta c}{\sqrt{1-\beta^{2}}} d l=\frac{v}{V} d l .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
V=\frac{\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+e \psi}{\frac{m_{0} \beta c}{\sqrt{1-\beta^{2}}}}=\frac{c}{\beta}\left(1+\frac{e \psi \sqrt{1-\beta^{2}}}{m_{0} c^{2}}\right)=\frac{c}{\beta}\left(1+\frac{e \psi}{W-e \psi}\right)=\frac{c}{\beta} \cdot \frac{W}{W-e \psi} .
\]

Этот результат требует нескольких замечаний. $\mathrm{C}$ физической точки зрения он означает, что фазовая волна с частотой $
u=\frac{W}{h}$ распространяется в электростатическом поле от одной точки к другой с переменной скоростью, соответствующей значению потенциала. Действительно, скорость $V$ выражается непосредственно через $\psi$ с помощью члена $\frac{e \psi}{W-e \psi}$ (обычно малого по сравнению с единицей) и неявно через $\beta$, которое рассчитывается в каждой точке как функция $W$ и $\psi$.

Кроме того, заметим, что $V$ есть функция массы и заряда движущегося тела. Это может показаться странным, но на самом деле это не так странно, как кажется. Рассмотрим электрон, центр $C$ которого перемещается со скоростью $v$; по классическому представлению в некоторой точке $P$, координаты которой в связанной с электроном системе известны, сосредоточено определенное количество электромагнитной энергии, представляющей собой некоторым образом часть электрона. Предположим, что после прохождения области $R$, где существует более или менее сложное электромагнитное поле, электрону сообщается та же скорость $v$, но иначе направленная.

Точка $P$ системы, связанная с электроном, переместилась в точку $P^{\prime}$ и можно сказать, что энергия, первоначально находившаяся в $P$, перешла в $P^{\prime}$. Смещение этой энергии в $R$ может быть рассчитано только при заданных массе и заряде электрона, даже если известны поля. Это бесспорное заключение может с первого взгляда показаться странным, потому что мы обычно привыкли рассматривать массу и заряд (так же как количество движения и энергию) как величины, связанные с центром элежтрона. Таким же образом распространение в поле фазовой волны, которую, по нашему мнению, следует считать основной составной частью электрона, должно зависеть от заряда и массы.

Напомним теперь результаты, полученные в предыдущей главе для случая равномерного движения. Там нам пришлось рассматривать фазовую волну как результат пересечений пространством неподвижного наблюдателя прошедших, настоящих и будущих пространств перемещающегося

наблюдателя. Мы могли бы попытаться вновь найти данное выше значение $V$, исследуя последовательные «фазы» движущегося тела и устанавливая смещение для неподвижного наблюдателя сечений его пространства состояниями равных фаз.

К сожалению, мы сталкиваемся здесь с большими трудностями. Теория относительности не дает нам определенного указания на то, каким образом наблюдатель, увлекаемый неравномерным движением, отсекает в каждый момент свое пространство в пространстве-времени ; по-видимому, нет оснований считать это сечение плоским, как в случае равномерного движения. Но даже если бы эта трудность была преодолена, мы все равно были бы в затруднении. Действительно, тело, движущееся равномерно, должно описывать одинаковую кривую для связанного с ней наблюдателя независимо от скорости равномерного движения по отношению к осям отсчета; это следует из принципа, что галилеевские оси, совершающие друг по отношению к другу движение равномерного переноса, эквивалентны. Если наше равномерно движущееся тело окружено для связанного с ним наблюдателя периодическим явлением, имеющим повсюду одну и ту же фазу, то это же должно иметь место для всех скоростей равномерного движения и это оправдывает наш метод, изложенный в первой главе. Но если движение неравномерно, то описание движущегося тела, сделанное связанным с ним наблюдателем, не может быть таким же; мы совершенно не можем сказать, как он определит периодическое явление и припишет ли он ему одну и ту же фазу в любой точке пространства.

Может быть, можно подойти к проблеме с другого конца – принять результаты, полученные в этой главе из совершенно других соображений, и попытаться вывести из них, каким образом теория относительности должна рассматривать вопросы переменного движения, чтобы прийти к таким же заключениям. Мы не можем заниматься этой трудной проблемой.
в) Рассмотрим общий случай движения электрона в электромагнитном поле. Мы имеем :
\[
h v=W=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+e \psi .
\]

Кроме того, мы показали выше, что следует положить
\[
p_{x}=\frac{m_{0} v_{x}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+e a_{x} \text { и т.д., }
\]

где $a_{x}, a_{y}$ и $a_{z}$ – компоненты вектор-потенциала. Таким образом,
\[
\frac{1}{h} \sum_{i}^{3} p_{i} d q_{i}=\frac{i}{h} \frac{m_{0} \beta c}{\sqrt{1-\beta^{2}}} d l+\frac{e}{h} a_{l} d l=\frac{v d l}{V} .
\]

Отсюда находим
\[
V=\frac{\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+e \psi}{\frac{m_{0} \beta c}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+e a_{l}}=\frac{c}{\beta} \frac{W}{W-e \psi} \frac{1}{1+e \frac{a_{l}}{G}},
\]

где $G$ – количество движения, а $a_{l}$ – проекция вектор-потенциала на направление $l$. Среда в каждой точке уже неизотропна. Скорость $V$ изменяется в зависимости от рассматриваемого направления, а скорость движущегося тела $\boldsymbol{v}$ уже не совпадает по направлению с нормалью к фазовой волне, определяемой вектором $\boldsymbol{p}=h \boldsymbol{n}$. Луч не совпадает более с нормалью волны классическое заключение для оптики анизотропных сред.

Можно спросить, что будет с теоремой равенства скоростей движущегося тела и группы фазовых волн: $v=\beta c$.

Заметим сначала, что .скорость $V$ фазы, вдоль луча, определяется соотношением
\[
\frac{1}{h} \sum_{i}^{3} p_{i} d q^{i}=\frac{1}{h} \sum_{1}^{3} p_{i} \frac{d q^{i}}{d l} d l=\frac{v}{V} d l
\]
$\frac{v}{V}$ не равно $\frac{1}{h} p$, потому что здесь $d l$ и $p$ не имеют одного и того же направления.

Мы можем, не нарушая общности, принять за ось $x$ направление движения тела в рассматриваемой точке и проекцию вектора $\boldsymbol{p}$ на это направление назвать $p_{x}$. Тогда, по определению, имеем
\[
\frac{
u}{V}=\frac{1}{h} p_{x} .
\]

Первое из канонических уравнений дает равенство
\[
\frac{d q}{d t}=v=\beta c_{1}^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial p_{x}}=\frac{\partial(h v)}{\partial\left(h \frac{v}{V}\right)}=U,
\]

где $U$ – скорость группы, следующей за лучом.
Результат раздела II первой главы является, таким образом, совершенно общим и вытекающим непосредственно из первой группы уравнений Гамильтона.