Если Науки и основываются на некоторых, с первого взгляда простых и ясных принципах, из которых вытекают все истины, являющиеся их предметом, то они содержат также и другие принципы, правда, менее простые и часто открываемые с трудом, но которые зато, будучи раз открыты, оказываются исключительно полезными. Эти принципы являются своего рода законами, которых природа придерживается при различных комбинациях обстоятельств, и мы исследуем, как она поступает в таких случаях. Первые принципы совсем не нуждаются в доказательстве; они становятся очевидными, как только ум начинает их исследовать; последним нельзя дать общее доказательство, потому что вообще невозможно обозреть все случаи, в которых они имеют место.

Таков, например, весьма известный и полезный в обыкновенной Статике принцип, согласно которому во всех соединениях тел их общий центр тяхсести опускается вниз настолько, насколько это возможно. Таким же является принцип сохранения живых сил. Строго говоря, никогда не было дано общего доказательства этих принципов; но никогда никто, привыкший судить о Науках и знакомый с индукцией, не сомневался в их истинности. Когда видят, что в тысяче случаев Природа действует некоторым определенным способом, никто, обладающий здравым рассудком, не станет думать, что в тысяча первом случае она будет подчиняться другим законам.

Что касается доказательств à priori такого рода принципов, то не кажется очевидным, что физика могла бы их дать; они, напротив, кажется, принадлежат, к некоторой высшей науке. Однако уверенность в них так велика, что многие математики без колебаний кладут их в основу своих теорий и ежедневно применяют их при рассмотрении задач, решение которых без этих принципов стоило бы очень большого труда. Наш ум, довольно ограниченный, часто уходит слишком далеко от первых принципов по направлению к пункту, к которому он хочет прийти, и он утомляется или уклоняется со своего пути. Эти законы, о которых мы говорили, освобождают его от части пути ; он отправляется от них со всеми своими силами, и часто ему нужно сделать только несколько шагов, чтобы достичь того, чего он желает.

Нет другой науки, в которой нужда в этих принципах чувствовалась бы больше, чем в Статике и Динамике : осложнение, которое в них получается из-за взаимоотношения силы и материи, делает здесь эти принципы более необходимыми, чем в простых Науках. Эти принципы являются убежищем умов усталых или сбитых с пути в своих исследованиях. Они легко видят, ошиблись ли в своих предложениях, исследуя, применим к ним или нет такой принцип.

Только в самое последнее время открыли закон, красотой и полезностью которого нельзя не восхититься ; это – закон о том, что во всякой системе движущихся упругих тел, взаимодействующих друг с другом, сумма произ-

ведений массы каждого тела на квадрат его скорости, которую называют живой силой, нешзменно остается одинаковой.

Размышляя над природой равновесия, я попытался установить, нет ли в Статике какого-либо закона такого же рода и нет ли для тел, поддерживаемых силами в покое, общего закона, необходимого для того, чтобы покой имел место ; и вот то, что я нашел и что соблюдает Природа.

Пусть имеется система тел, которые тяготеют или притягиваются к центрам силами, действующими соответственно на каждое тело, как $N$-я степень расстояний тел до центров; для того чтобы все эти тела оставались в покое, необходимо, чтобы сумма процзведений каждой массы
Рис. 1.
Рис. 2.

на интенсивность силы и на $N+1-ю$ степень ее растояния до центра силы (что можно назвать суммой сил покоя) являлась максимумом или минимумом.

Доказательство. 1. Пусть имеется система какого-нибудь числа тяжелых точек или тел с очень малыми массами по сравнению с расстояниями их до центров, к которым они притягиваются. Пусть эти тела $M, M^{\prime}, M^{\prime \prime}$ и т. д., прикрепленные к нематериальным радиусам $C M, C M^{\prime}, C M^{\prime \prime}$, движутся вокруг фиксированной точки $C$. Пусть их массы равны $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}$, и пусть в таком же числе точек $F, F^{\prime}, F^{\prime \prime}$ на каждое из тел действуют силы $t, f^{\prime}, f^{\prime \prime}$, каждая, пропорциональная $n$-й степени расстояния $F M, F^{\prime} M^{\prime}$, $F^{\prime \prime} M^{\prime \prime}=\zeta, \zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}$; каждая сила может действовать только на свое тело. Продолжим радиусы $C M$ и проведем из точек $F$ перпендикуляры $F G$; получим (из разложения сил) $m f \zeta^{n} \cdot \frac{F G}{F M}$ для движущей силы, действующей перпендикулярно радиусу $C M$; и эта сила, умноженная на длину рычага $C M$,

станет силой $m f \zeta^{n} \cdot \frac{F G}{F M} C M$, которая стремится повернуть этот рычаг, и аналогично для других рычагов.

Рассмотрим теперь всю систему в расположении, ближайшем к исходному, а тела – в точках $\mu, \mu^{\prime}, \mu^{\prime \prime}$; проводя линии $F \mu$ и описывая из центров $F$ малые дуги $M K$, получим : $\frac{F G}{F M}=\frac{M K}{M \mu}$, что после подстановки на место $\frac{F G}{F M}$ в движущие силы дает : $m f \zeta^{n} \cdot \frac{M K}{M \mu} C M$ для каждого тела. И так как отношение $C M$ к $M \mu$ для всех тел одинаково, то, складывая все произведения, найдем, что для равновесия системы необходимо, чтобы
\[
m f \zeta^{n} d \zeta+m^{\prime} f^{\prime} \zeta^{n} d \zeta^{\prime}+m^{\prime \prime} f^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime} d \zeta^{\prime \prime}=0 .
\]

Отсюда, очевидно, что $m f \zeta^{n+1}+m^{\prime} f^{\prime} \zeta^{n+1}+m^{\prime \prime} f^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime n+i}$ должно быть максимумом или минимумом, что и требовалось доказать.
2. Если тела вместо того, чтобы быть прикрепленными к несгибаемым радиусам, прикреплены к хордам, соединенным в точке $C$, то переведем систему в новое положение $\mu \gamma \mu^{\prime} \gamma^{\prime} \mu^{\prime \prime} \gamma^{\prime \prime}$ и проведем через $C$ и $\gamma$ бесконечную прямую $C \gamma$. Относя к направлению этой прямой действия тел друг на друга и проводя из точек $M$ перпендикуляры $M P, M^{\prime} P^{\prime}, M^{\prime \prime} P^{\prime \prime}$ к этой линии, получим, что для равновесия тел необходимо, чтобы
\[
m f^{\prime} \zeta^{n} \cdot \frac{C P}{C M}=m^{\prime} f^{\prime} \zeta^{\prime n} \frac{C P^{\prime}}{C M^{\prime}}+m^{\prime \prime} f^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime n} \cdot \frac{C P^{\prime \prime}}{C M^{\prime \prime}} .
\]

Опишем теперь из центров $F$ радиусами $F \gamma, F^{\prime} \gamma, F^{\prime \prime} \gamma$ малые дуги $\gamma K$, $\gamma K^{\prime}, \gamma K^{\prime \prime}$; в прсдыдущее уравнение вместо $C{ }_{C M}^{C}, C P^{\prime}, C P^{\prime \prime}$ можно подставить $\frac{C K}{C} \frac{C K^{\prime}}{C \gamma}, \frac{C K^{\prime \prime}}{C \gamma}$, и мы получим :
\[
m f \zeta^{n} \cdot C K=m^{\prime} f^{\prime} \zeta^{n} \cdot C K^{\prime}+m^{\prime \prime} f^{\prime \prime} \zeta^{\prime n} \cdot C K^{\prime \prime} .
\]

Но хорды соединены в $C$; $C K, C K^{\prime}, C K^{\prime \prime}$ суть расстояния, на которые тела приближаются или удаляются от центра; подставляя, следовательно, в предыдущее уравнение их значения, получим :
\[
m f \zeta^{n} d \zeta=m^{\prime} f^{\prime} \zeta^{n} d \zeta^{\prime}+m^{\prime \prime} f^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime} d \zeta^{\prime \prime} .
\]

Отсюда очевидно, что
\[
m f \zeta^{n+1}+m^{\prime} f^{\prime} \zeta^{n+1}+m^{\prime \prime} f^{\prime \prime} \zeta^{n n+1}
\]

является максимумом или минимумом, что и требовалось доказать.

Примечание. Если теперь рассмотрим все положения соединенных сил и все силы, соединенные в одной точке, и будем рассматривать силу, являющуюся результирующей, как постоянную, действующую на все тела, то увидим, что система будет находиться в равновесии, если сумма тел, умноженных каждое на его расстояние до центра силы, будет максимумом или минимумом.

И если допустим, что этот центр находится на бесконечном расстоянии от системы, то, очевидно, для равновесия системы необходимо, чтобы центр тяжести всех тел находился наиболее низко или наиболее высоко, как это

только возможно, иначе говоря, наиболее близко к центру силь или как можно дальше от него.

Благодаря этой теореме немедленно получается решение многих вопросов механики, перед которыми иногда останавливались искусные Геометры ; они дали только частные решения, потребовавшие затраты большого труда и времени*).

Пусть, например, прямой рычаг $A C B$ движется вокруг точки $C$ и нагружен двумя телами $A$ и $B$; массы этих тел очень малы по сравнению с их расстоянием от точки $F$, к которой они тяготеют ; и пусть в $F$ находится некоторая сила $p$, действие которой на тела пропорционально $n$-й степени их расстояния до этой точки ; требуется найти положение равновесия.

Проведем через точки $F$ и $C$ безграничную прямую $F P$ и линии $F A$, $F B$ и опустим из точек $A$ и $B$ на $F P$ перпендикуляры $A P, B Q$; пусть линия $C A=a, C B=b, C F=c$ и массы обоих тел равны $A$ и $B$; получим :
Теперь, по нашей теореме для равновесия, необходимо, чтобы
\[
p A(c c+a a+2 c x)^{\frac{n+1}{2}}+p B\left(c c+b b-\frac{2 b c}{a} x\right)^{\frac{n+1}{2}}
\]

было максимумом или минимумом.
Следовательно, имеем
\[
p A(c c+a a+2 c x)^{\frac{n-1}{2}} c d x=p B\left(c c+b b-\frac{2 b c}{a} x\right)^{\frac{n-1}{2}} \frac{b c d x}{a} .
\]

Отсюда
\[
A a(c c+a a+2 c x)^{\frac{n-1}{\overline{2}}}=B b\left(c c+b b-\frac{2 b c}{a} x\right)^{\frac{n-1}{2}},
\]

откуда находим
\[
x=\frac{a}{2 c} \cdot \frac{B^{\frac{2}{n-1}} b^{\frac{2}{n-1}}(c c+b b)-A^{\frac{2}{n-1}} a^{\frac{2}{n-1}}(c c+a a)}{A^{\frac{2}{n-1}} a^{\frac{n+1}{n-1}}+B^{\frac{2}{n-1}} b^{\frac{n+1}{n-1}}} .
\]

Беря $C P$ равным этому значению $x$ и проводя через точку $P$ перпендикуляр $P A$ до встречи с рычагом $B A$, получим положение равновесия.
Уравнение
\[
A a(c c+a a+2 c x)^{\frac{n-1}{2}}=B b\left(c c+b b-\frac{2 b c}{a} x\right)^{\frac{n-1}{2}}
\]

позволяет видеть следующее:
Если центр силы находится на бесконечном расстоянии, как это предполагается для всех тяжелых тел, которые изучаются в обыкновенной Механике, то ясно, что какова бы ни была степень расстояния, согласно которой действует эта сила, члены $a a, b b$ и те члены, которые содержат $x$, исчезнут ранее $c c$. Для равновесия будет достаточно, чтобы $A a=B b$, т. е. чтобы массы

обоих тел находились в обратном отношении к плечам рычага, потому что равновесие не зависит от $x$.

Если $n=1$, т. е. если сила прямо пропорциональна расстоянию до центра $K$, то в качестве условия равновесия мы имеем еще $A a=B b$. Отсюда очевидно, что в таком случае существует еще точка $C$, относительно которой система двух тел всегда будет в равновесии, если она была в равновесии хотя бы один раз, т. е. при этих двух предположениях центр тяжести всегда один и тот же во всех положениях системы.

Согласно закону покоя, очевидно, что, кроме случая этих двух предположений, невозможно, чтобы существовал подобный центр.
Из простого уравнения
\[
A a(c c+a a+2 c x)^{\frac{n-1}{2}}=B b\left(c c+b b-\frac{2 b c}{a} x\right)^{\frac{n-1}{2}}
\]

вытекают только два положения равновесия для рычага: одно справа, а другое слева.

Имеются, однако, еще два положения, в которых тела пребывают как бы в состоянии равновесия ; это положения, при которых оба тела находятся на линии, проходяцей через центр силы и через точку опоры.

Хотя предыдущее уравнение не дает этих двух положений, они тем не менее содержатся в законе покоя и в первом уравнении, из него вытекающем; при этом они задаются соотношением $d x=0$.

Легко видеть, что если сила тяжести неизменна, как это предполагается в обыкновенной Механике, и направлена к центру Земли, то, строго говоря, в телах нет центра тяжести, т. е. точки, за которую тело, будучи подвешено, удерживается в любом положении, хотя в каждом из этих тел имеется точка, которую физически можно принять за центр тяжести по причине малости тел и рычагов, являющихся объектом обыкновенной Механики, по сравнению с расстоянием их до центра Земли.
В дальнейшем мы дадим другие приложения этого закона.
Добавление. Наш закон относится не только к силам, которые притягивают в зависимости от одной и той же степени расстояния, но и к силам, совсем независимым от какой бы то ни было его степени. Достаточно, чтобы эти силы были пропорциональны любой функции расстояния ; вместо того, чтобы выражать их через $f \zeta, f^{\prime} \zeta^{\prime}, f^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime}$, можно их выразить с помощью $f Z, f^{\prime} Z^{\prime}, f^{\prime \prime} Z^{\prime \prime}$, где $Z, Z^{\prime}, Z^{\prime \prime}$ обозначают произвольные функции расстояний $\zeta, \zeta^{\prime}$, $\zeta^{\prime \prime}$, которым они соответствуют ; доказательство остается тем же. Для того чтобы система была в равновесии, необходимо, чтобы
\[
m f Z d \zeta+m^{\prime} f^{\prime} Z^{\prime} d \zeta^{\prime}+m^{\prime \prime} f^{\prime \prime} Z^{\prime \prime} d \zeta^{\prime \prime}+\ldots=0,
\]

откуда очевидно, что величина
\[
m f \int Z d \zeta+m^{\prime} f^{\prime} \int Z^{\prime} d \zeta^{\prime}+m^{\prime \prime} f^{\prime \prime} \int Z^{\prime \prime} d \zeta^{\prime \prime}+\text { и т. д. }
\]

должна быть минимумом.
Закон покоя можно, следовательно, сформулировать таким образом :
Пусть имеется система тел, которые тяготеют или притягиваются к центрам силами, действуюцими соответственно на каждое тело, как произвольная функция растояний тел до центров; чтобы все тела пребывали в равновесии, необходимо, чтобы сумма произведений каждой массы на интенсивность ее силы и на интеграл от каждой функции, умноженной на элемент расстояния до центра (что можно назвать суммой сил покоя), была минимумом.