Работа, которая при варьировании циклических движений производится за время $d t$ силой $P_{b}$, согласно уравнению (249) выражается так:
\[
d Q_{b}=P_{b} d p_{b}=P_{b} p_{b}^{\prime} d t=p_{b}^{\prime} d q_{b} .
\]

Сумма $d Q$ всех $d Q_{b}$ выражает работу, совершенную всеми силами $P_{b}$ (циклическими или добавочными), работу, которую мы назвали циклически подводимой энергией и которая аналогична подводимому теплу.

В случае, когда система является моноциклом и единственная циклическая переменная обозначается через $p$ без индекса, мы получаем
\[
d Q=p^{\prime} d q,
\]

или, так как $T=p^{\prime} q$,
\[
\frac{d Q}{T}=\frac{d q}{q} .
\]

Таким образом $\frac{d Q}{T}$ есть полный дифференциал, а $\ln q$ является энтропией.
Эта формула применима ко всем подлинным моноциклам, в которых любые массы совершают циклическое движение, так что все они в течение одного и того же времени одновременно возвращаются в свое исходное положение и затем снова повторяют то же самое движение. Такие моноциклы Гельмгольц называет простыми подлинными моноциклами; легко видеть, что они образуют частный случай периодических систем, рассмотренных в § 48.

Пусть в состав цикла входит несколько различных систем масс, из которых каждая система совершает подобное описанному, переходящее само в себя движение, причем периоды $i, i_{1}, i_{2}, \ldots$ для отдельных систем различны. Тогда, если длительность этих периодов, помимо зависимости от медленно изменяющихся параметров, зависит также от многих независимых циклических скоростей, то система называется несвязанным или частично связанным полициклом; если же эта длительность зависит, кромс парамстров, от значения одной-единственной циклической скорости, то система называется вполне связанным полициклом или сложным моноциклом. Если в последнем случае число отношений $\frac{i_{1}}{i}, \frac{i_{2}}{i}, \ldots$ конечно и значения этих отношений совершенно независимы от значений параметров (медленно изменяющихся координат), то можно эти отношения без существенного изменения условий мыслить как рациональные дроби, хотя и с очень большим общим знаменателем; поэтому можно найти такой, бо́льший, промежуток времени $I$, для которого движение всех систем масс является периодически повторяющимся, так что вся механическая система представляет собою простой подлинный моноцикл с периодом $I$ и все доказанное для такой системы оказывается приложимым и в данном случае.

Однако это становится сомнительным, когда число отношений $\frac{i_{1}}{i}, \frac{i_{2}}{i}, \ldots$ является бесконечно большим, и во всяком случае не имеет места, когда эти отношения являются непрерывными функциями параметров, потому что тогда циклические координаты вместе с параметрами, вообще говоря, не образуют систему голономных координат *). Но все выведенные формулы

годятся только для голономных координат, ибо, как мы уже упомянули в § 4 (в сноске на стр. 16), во всей книге, за исключением $\S \S 27$ и 28 , под обобщенными координатами понимаются исключительно голономные обобщенные координаты. Мы не будем по этому поводу вдаваться в дальнейшие подробности, а докажем лишь одно, весьма общее предложение, найденное Гельмгольцем.

Пусть дана любая сложная моноциклическая (т. е. полностью связанная полициклическая) система, медленно меняющиеся координаты которой мы обозначим через $p_{a}$, а быстро изменяющиеся координаты – через $p$. Предполагается, что при соответствующем изменении $\mathfrak{P}_{\alpha}$ движение может протекать совершенно так же, как и ранее, причем только все скорости умножаются на одно и то же для всех скоростей постоянное, но совершенно произвольное число $n$, так что длительность всех процессов уменьшается в $n$ раз. Если теперь имеется всего лишь один медленно изменяющийся параметр $p_{a}$, то вся содержащаяся в системе живая сила является интегрирующим делителем для дифференциала подводимой извне энергии; если же имеется несколько параметров $p_{a}$, то та же самая особенность имеет место всякий раз, когда этот дифференциал вообще имеет интегрирующие множители.

Пусть сначала имеется лишь один медленно меняющийся параметр $p_{a}$; в этом случае возможны два рода изменений состояния: 1) при неизменных траекториях пропорционально меняются только скорости всех движущихся частей, 2) меняются траектории. Форма траекторий зависит поэтому только от одной независимой переменной величины, тогда как другая независимая переменная величина определяет только скорости, с которыми точки движутся по траекториям. Если по-прежнему варьировать пределы таким образом, чтобы последний член в уравнении (223) [167] обращался в нуль, то при возвращений на прежнюю траекторию мы должны прийти к первоначальным пределам, оба члена в правой части уравнения (238) [168] делаются равными и $\frac{d Q}{T}$ делается полным дифференциалом.

Если имеется больше одного медленно изменяющегося параметра $q_{a}$, то $T$, вообще говоря, не является интегрирующим делителем для $d Q$, так как при возвращении в точности к прежнему состоянию системы, вообще говоря, не повторяются прежние пределы интегрирования, поскольку пределы опять изменяются таким образом, чтобы последний член в уравнении (223) исчезал; однако и в этом случае можно доказать, что величина $T$ должна быть интегрирующим делителем, если только вообще для $d Q$ существуют интегрирующие множители.
Пусть будет вообще
\[
d Q=M \cdot d N,
\]
$T$ и $p_{a}$ мы принимаем за независимые переменные.
Согласно только что доказанному, если все $p_{a}$, за исключением одного, постоянны, величина $T$ должна быть интегрирующим делителем для $d Q$; поэтому, если $g$ – один из индексов $a$, а $d \sigma_{g}$ – дифференциал, соответствующий множителю $T$, то прежде всего мы имеем
\[
M\left(\frac{\partial N}{\partial T} d T+\frac{\partial N}{\partial p_{g}} d p_{g}\right)=T\left(\frac{\partial \sigma_{g}}{\partial T} d T+\frac{\partial \sigma_{g}}{\partial p_{g}} d p_{g}\right) .
\]

Это уравнение должно быть справедливо для всех комбинаций значений, предполагаемых постоянными, переменных $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{g-1}, p_{g+1}, \ldots$ Поэтому, если $M$ и $N$ даны, то отсюда $\sigma_{g}$ определяется с точностью до выражения, содержащего все только что упомянутые переменные. То же самое имеет место также и для любого другого из индексов $a$, например для $h$; тогда таким же образом мы получаем
\[
M\left(\frac{\partial N}{\partial T} d T+\frac{\partial N}{\partial p_{h}} d p_{h}\right)=T\left(\frac{\partial \sigma_{h}}{\partial T} d T+\frac{\partial \sigma_{h}}{\partial p_{h}} d p_{h}\right),
\]

причем, естественно, тождественность $\sigma_{g}$ и $\sigma_{h}$ еще не установлена. Из этого уравнения, а также из уравнения (257) непосредственно следует
\[
\frac{\partial \sigma_{g}}{\partial T}=\frac{\partial \sigma_{h}}{\partial T} \text {. }
\]

Поэтому величины $\sigma_{g}$ и $\sigma_{h}$ могут отличаться одна от другой лишь на величину, которая не содержит $T$, а содержит только $p_{a}$. Положим
\[
\sigma_{g}=\sigma+\Pi_{g}, \quad \sigma_{h}=\sigma+\Pi_{h},
\]

где $\Pi$ не являются больше функциями $T$; тогда из уравнения (257) следует:
\[
M \frac{\partial N}{\partial T}=T \frac{\partial \sigma^{r}}{\partial T}
\]

и
\[
M \frac{\partial N}{\partial p_{g}}=T\left(\frac{\partial \sigma}{\partial p_{g}}+\frac{\partial \Pi_{g}}{\partial p_{g}}\right)
\]

для всякого значения $g$; отсюда, далее, вытекаеті
\[
d Q=? M d N=T\left(d \sigma_{i}^{*}+\sum \frac{\partial \Pi_{g}}{\partial p_{g}} d p_{g}\right),
\]

где суммирование распространяется на все возможные значения индекса $g$. Так как по положению $d Q$ имеет интегрирующий множитель, то этот дифференциал должен иметь интегрирующий множитель и в том случае, если все $p_{a}$, кроме двух, например $p_{g}$ и $p_{h}$, считать постоянными. Если теперь разделить дифференциал $d Q$ на $T$, то получим
\[
\frac{\partial \sigma}{\partial T} d T+\left(\frac{\partial \sigma}{\partial p_{g}}+\frac{\partial \Pi_{g}}{\partial p_{g}}\right) d p_{g}+\left(\frac{\partial \sigma}{\partial p_{h}}+\frac{1 \partial \Pi_{h}}{\partial p_{h}}\right) d p_{h}=\frac{d Q}{T} .
\]

Согласно сказанному и это дифференциальное выражение должно иметь интегрирующий множитель. Если записать известное условие этого, то можно видеть, что из него следует либо
\[
\frac{\partial \sigma}{\partial T}=0,
\]

либо
\[
\frac{\partial^{2} \Pi_{g}}{\partial p_{g} \partial p_{h}}=-\frac{\partial^{2} \Pi_{h}}{\partial p_{g} \partial p_{h}}
\]

для любых пар значений $g$ и $h$. Первое уравнение никогда не может быть удовлетворено, так как иначе при сохранении постоянства $p_{a}$ для увеличения живой силы не нужно было бы никакого притока энергии. Поэтому должны иметь место уравнения (264), из которых следует, что $\sum \frac{\partial \Pi_{g}}{\partial p_{g}} d p_{g}$ есть полный дифференциал функции $\Pi$ переменных $p_{a}$, и следовательно,
\[
d Q=T \cdot d(\sigma+\Pi) .
\]