Теория принимает особенно простой вид в случае, если $L$ является однородной функцией первой степени относительно скоростей. Тогда импульсы, заданные соотношением (2), – однородные функция нулевой степени относительно $\dot{q}$ и, таким образом, зависят только от отношений $\dot{q}$.

Так как мы имеем $N$ значений $p$ и только $N-1$ отношений $\dot{q}$, то должно быть по крайней мере одно соотношение (4), связывающее $q$ и $p$. Случай, когда имеется только одно соотношение между $q$ и $p$, можно рассматривать как обычный. Из теоремы Эйлера следует
\[
L \equiv \dot{q}_{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n}} .
\]

Отсюда
так что
\[
\begin{array}{c}
L=\dot{q}_{n} p_{n}, \\
H=0 .
\end{array}
\]

Это слабое уравнение, выполняющееся в области $R$, позволяет считать $\mathfrak{\mathfrak { g }} \equiv 0$. Тогда из (9) следует
\[
H \equiv v_{m} \Phi_{m} .
\]

Общее уравнение движения примет теперь вид
\[
\dot{g}=v_{m}\left[g, \Phi_{m}\right] .
\]

Таким образом, в этом случае уравнения движения Гамильтона задаются равенством $\Phi_{m}=0$. Правая часть уравнения (21) однородна относительно $v$. Решение уравнений движения определяется о точностью до множителя $\gamma$, являющегося произвольной функцией времени.

Новое решение уравнения движения, содержащее скорость изменения динамических переменных с изменением времени, также умножается на $\gamma$. Новое решение можно получить из исходного решения, заменив $t$ новой независимой переменной $\tau$ так, чтобы $d t / d \tau=\gamma$. Новая независимая переменная совершенно произвольна: она может быть любой функцией $t, q$ и $\dot{q}$. Таким образом, из любого решения уравнения движения можно получить другое решение, заменяя $t$ произвольным $\tau$, причем уравнения движения не дают никакой информации о независимом переменном. Эта важная черта динамической теории с лагранжианом $L$, однородным относительно скоростей, делает ее особенно удобной для релятивистского описания. Лагранжиан любой динамической системы можно сделать однородным первого порядка относительно всех скоростей, приняв $t$ за добавочную координату $q_{0}$ и пользуясь равенством $\dot{q}_{0}=1$. Отсюда может быть выведено новое уравнение Лагранжа для всех $q$, как было показано автором *): Этим путем новую формулировку для общей динамической системы можно получить в терминах однородных скоростей.

Новая формулировка задает те же уравнения, что и старая, кроме $\dot{q}_{0}=1$. Чтобы получить и это уравнение, приходится считать его добавочным условием, не следующим из уравнений движения, но совместным с ними. Однако мы можем прекрасно обойтись без него, так как оно нужно лишь для того, чтобы задать независимую переменную, которая иначе была бы произвольной в формулировке динамической системы с однородными скоростями. Таким образом, мы можем, не нарушая общности, рассматривать только теории с однородными скоростями. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие системы, так как они ведут к более простым уравнениям, причем точка будет означать дифференцирование по произвольной независимой переменной $\tau$.