7. Свойство нашей характеристической функции, выражающееся в том, что она зависит только от внутренних или взаимных отношений между начальными и конечными положениями точек притягивающейся или отталкивающейся системы, свидетельствует о преимуществе применения внутренних или относительных координат. По аналогии с другими применениями алгебраических методов к исследованиям геометрического типа можно предполагать, что полярные и другие отметки положения могут также зачастую оказаться полезными. Предполагая, следовательно, что $3 n$ конечных координат $x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$ выражены как $3 n$ функций других переменных $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}$ и что $3 n$ начальных координат подобным же образом выражены как функции аналогичных $3 n$ величин, которые мы обозначим $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n}$, перейдем к определению общего метода для введения этих новых отметок положения в выражения наших основных зависимостей.

Для этой цели нам нужно только преобразовать закон переменного действия или основную формулу (А) путем преобразования двух сумм :
\[
\sum m\left(x^{\prime} \delta x+y^{\prime} \delta y+z^{\prime} \delta z\right) \quad \text { и } \quad \sum m\left(a^{\prime} \delta a+b^{\prime} \delta b+c^{\prime} \delta c\right),
\]

которые она включает и которые соответственно эквивалентны следующим более развернутым выражениям :
\[
\left.\begin{array}{rl}
\sum m\left(x^{\prime} \delta x+y^{\prime} \delta y+z^{\prime} \delta z\right) & =m_{1}\left(x_{1}^{\prime} \delta x_{1}+y_{1}^{\prime} \delta y_{1}+z_{1}^{\prime} \delta z_{1}\right)+ \\
& +m_{2}\left(x_{2}^{\prime} \delta x_{2}+y_{2}^{\prime} \delta y_{2}+z_{2}^{\prime} \delta z_{2}\right)+\ldots+ \\
& +m_{n}\left(x_{n}^{\prime} \delta x_{n}+y_{n}^{\prime} \delta y_{n}+z_{n}^{\prime} \delta z_{n}\right) \\
\sum m\left(a^{\prime} \delta a+b^{\prime} \delta b+c^{\prime} \delta c\right) & =m_{1}\left(a_{1}^{\prime} \delta a_{1}+b_{1}^{\prime} \delta b_{1}+c_{1}^{\prime} \delta c_{1}\right)+ \\
& +m_{2}\left(a_{2}^{\prime} \delta a_{2}+b_{2}^{\prime} \delta b_{2}+c_{2}^{\prime} \delta c_{2}\right)+\ldots+ \\
& +m_{n}\left(a_{n}^{\prime} \delta a_{n}+b_{n}^{\prime} \delta b_{n}+c_{n}^{\prime} \delta c_{n}\right)
\end{array}\right\}
\]

Теперь, поскольку $x_{i}$ является, по предположению, функцией $3 n$ новых отметок положения $\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}$, его вариация $\delta x_{i}$ и его производная $x_{i}^{\prime}$ могут быть выражены следующим образом :
\[
\begin{array}{c}
\delta x_{i}=\frac{\delta x_{i}}{\delta \eta_{1}} \delta \eta_{1}+\frac{\delta x_{i}}{\delta \eta_{2}} \delta \eta_{2}+\ldots+\frac{\delta x_{i}}{\delta \eta_{3 n}} \delta \eta_{3 n} \\
x_{i}^{\prime}=\frac{\delta x_{i}}{\delta \eta_{1}} \eta_{1}^{\prime}+\frac{\delta x_{i}}{\delta \eta_{2}} \eta_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\delta x_{i}}{\delta \eta_{3 n}} \eta_{3 n}^{\prime}
\end{array}
\]

и аналогично для $y_{i}$ и $z_{i}$. Таким образом, если мы посредством равенств (20) будем рассматривать $x_{i}^{\prime}$ как функцию $\eta_{1}^{\prime}, \ldots, \eta_{3 n}^{\prime}$, включающую в общем

также $\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}$, и если мы возьмем ее частные производные первого порядка по $\eta_{1}^{\prime}, \ldots, \eta_{3 n}^{\prime}$, то мы найдем соотношения
\[
\frac{\delta x_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{1}^{\prime}}=\frac{\delta x_{i}}{\delta \eta_{1}}, \quad \frac{\delta x_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{2}^{\prime}}=\frac{\delta x_{i}}{\delta \eta_{2}}, \ldots, \quad \frac{\delta x_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{3}^{\prime}}=\frac{\delta x_{i}}{\delta \eta_{3 n}}
\]

и получим следующие новые выражения для вариаций $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ :
\[
\left.\begin{array}{rl}
\delta x_{i} & =\frac{\delta x_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{1}^{\prime}} \delta \eta_{1}+\frac{\delta x_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{2}^{\prime}} \delta \eta_{2}+\ldots+\frac{\delta x_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}} \delta \eta_{3 n}, \\
\delta y_{i} & =\frac{\delta y_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{1}^{\prime}} \delta \eta_{1}+\frac{\delta y_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{2}^{\prime}} \delta \eta_{2}+\ldots+\frac{\delta y_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}} \delta \eta_{3 n}, \\
\delta z_{i} & =\frac{\delta z_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{1}^{\prime}} \delta \eta_{1}+\frac{\delta z_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{2}^{\prime}} \delta \eta_{2}+\ldots+\frac{\delta z_{i}^{\prime}}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}} \delta \eta_{3 n} .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя эти выражения (22) вместо вариаций в сумму (17), мы легко преобразуем ее в следующую:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\sum m\left(x^{\prime} \delta x+y^{\prime} \delta y\right. & \left.+z^{\prime} \delta z\right)=\sum m\left(x^{\prime} \frac{\delta x^{\prime}}{\delta \eta_{1}^{\prime}}+y^{\prime} \frac{\delta y^{\prime}}{\delta \eta_{1}^{\prime}}+z^{\prime} \frac{\delta z^{\prime}}{\delta \eta_{1}^{\prime}}\right) \delta \eta_{1}+ \\
& +\sum m\left(x^{\prime} \frac{\delta x^{\prime}}{\delta \eta_{2}^{\prime}}+y^{\prime} \frac{\delta y^{\prime}}{\delta \eta_{2}^{\prime}}+z^{\prime} \frac{\delta z^{\prime}}{\delta \eta_{3}^{\prime}}\right) \delta \eta_{2}+\ldots+ \\
& +\sum m\left(x^{\prime} \frac{\delta x^{\prime}}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}}+y^{\prime} \frac{\delta y^{\prime}}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}}+z^{\prime} \frac{\delta z^{\prime}}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}}\right) d \eta_{3 n}= \\
& =\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}} \delta \eta_{1}+\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}} \delta \eta_{2}+\ldots+\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}} \delta \eta_{3 n} .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $T$ – та же величина, что и раньше, а именно, половина конечной живой силы системы, но теперь рассматриваемая как функция $\eta_{1}^{\prime}, \ldots, \eta_{3 n}^{\prime}$ и включающая также массы и в общем случае величины $\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}$, полученная путем подстановки вместо величин $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ их значений вида (20) в уравнение, определяющее $T$ :
\[
T=\frac{1}{2} \sum m\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right) .
\]

Подобным же образом мы находим следующее преобразование для суммы (18) :
\[
\sum m\left(a^{\prime} \delta a+b^{\prime} \delta b+c^{\prime} \delta c\right)=\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{1}^{\prime}} \delta e_{1}+\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{2}^{\prime}} \delta e_{2}+\ldots+\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{3 n}^{\prime}} \delta e_{3 n} .
\]

Таким образом, закон переменного действия [формула (A)], будучи выражен данными более общими координатами или отметками положения, принимает вид $\left[{ }^{75}\right]$
\[
\delta V=\sum \frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime}} \delta \eta-\sum \frac{\delta T}{\delta e^{\prime}} \delta e+t \delta H,
\]

но вместо групп (C) и (D), на которые распадался этот закон, он дает теперь совместно с уравнением (E) другие группы :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta V}{\delta \eta_{1}}=\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}, \quad \frac{\delta V}{\delta \eta_{2}}=\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}}, \ldots, \quad \frac{\delta V}{\delta \eta_{3 n}}=\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}}, \\
\frac{\delta V}{\delta e_{1}}=-\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{1}^{\prime}}, \quad \frac{\delta V}{\delta e_{2}}=-\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{2}^{\prime}}, \ldots, \quad \frac{\delta V}{\delta e_{3 n}}=-\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{3 n}^{\prime}} . \\
\end{array}
\]

Величины $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n}$ и $e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, \ldots, e_{3 n}^{\prime}$ представляют собой начальные данные, относящиеся к способу движения системы, а $3 n$ конечных интегралов, связывающих эти $6 n$ начальных данных и $n$ масс со временем $t$ и с $3 n$ конечными или переменными величинами $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}$, отмечающими переменные положения $n$ движущихся точек системы, получаются теперь путем исключения вспомогательной постоянной $H$ из $3 n+1$ уравнений (S) и (E). В то же время $3 n$ промежуточных интеграла или интегралы первого порядка, которые связывают те же переменные отметки положения и их первые производные со временем, массами и начальными отметками положения, получаются в результате исключения той же вспомогательной постоянной $H$ из уравнений (R) и (E). Поэтому наша основная формула и промежуточные и конечные интегралы могут быть очень просто выражены в любой новой группе координат. При этом частные производные (F), (G), которым должна удовлетворять наша характеристическая функция $V$ и которые, как мы уже говорили, имеют существенное значение для теории этой функции, таюже могут быть легко выражены любыми подобными преобразованными координатами путем простого сочетания конечных и начальных выражений закона живой силы :
\[
\begin{array}{c}
T=U+H, \\
T_{0}=U_{0}+H,
\end{array}
\]

с новыми группами уравнений (R) и (S). Для этого мы теперь должны рассматривать функцию $U$ масс и взаимных расстояний отдельных точек системы как зависящую от новых отметок положения $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}$, а аналогичную функцию $U_{0}$ – как зависящую подобным же образом от начальных величин $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n}$. Мы должны также предположить, что $T$ является (что в действительности возможно) функцией ее собственных производных $\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}$, $\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}}, \ldots, \frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime} \text { sn }}$ всегда однородной второй степени по отношению к ним и может также в явном виде включать величины $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}$, а $T_{0}$. является подобной же функцией производных
\[
\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{1}^{\prime}}, \quad \frac{\delta T_{0}}{\delta e_{2}^{\prime}}, \ldots, \quad \frac{\delta T_{0}}{\delta e_{3 n}^{\prime}} .
\]

Итак,
\[
\begin{array}{l}
T=F\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}, \quad \frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}}, \ldots, \quad \frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}}\right), \\
\left.T_{0}=F\left(\frac{\delta T_{0}}{\eta e_{1}^{\prime}}, \quad \frac{\delta T_{0}}{\delta e_{2}^{\prime}}, \ldots, \quad \frac{\delta T_{0}}{\delta e_{3 n}^{\prime}}\right),\right\} \\
\end{array}
\]

причем производные $T$ и $T_{0}$ заменяются своими значениями (R) и (S), давая взамен ( $\mathrm{F}$ ) и (G) два других преобразованных уравнения, а именно:
\[
F\left(\frac{\delta V}{\delta \eta_{1}}, \frac{\delta V}{\delta \eta_{2}}, \ldots, \frac{\delta V}{\delta \eta_{3 n}}\right)=U+H,
\]

и, вследствие однородности и степени $T_{0}$
\[
F\left(\frac{\delta V}{\delta e_{1}}, \frac{\delta V}{\delta e_{2}}, \ldots, \frac{\delta V}{\delta e_{3 n}}\right)=U_{0}+H .
\]
8. Точно так же совсем нетрудно вывести аналогичное преобразование известных дифференциальных уравнений движения второго порядка для любой системы свободных точек, взяв вариацию новой формы (T) закона живой силы и использовав динамические значения производных нашей

характеристической функции. В самом деле, если мы заметим, что конечная живая сила $2 T$, рассматриваемая как функция переменных $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}$ и $\eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}, \ldots, \eta_{3 n}^{\prime}$, обязательно является однородной функцией второй степени относительно последней группы переменных и, следовательно, должна удовлетворять условию
\[
2 T=\eta_{1}^{\prime} \frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}+\eta_{2}^{\prime} \frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}}+\ldots+\eta_{3 n}^{\prime} \frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}},
\]

то мы найдем, что ее полная вариация
\[
\begin{aligned}
\delta T & =\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}} \delta \eta_{1}+\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}} \delta \eta_{2}+\ldots+\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}} \delta \eta_{3 n}+ \\
& +\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}} \delta \eta_{1}^{\prime}+\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}} \delta \eta_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}} \delta \eta_{3 n}^{\prime}
\end{aligned}
\]

может быть представлена в виде
\[
\begin{aligned}
\delta T & =\eta_{1}^{\prime} \delta \frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}+\eta_{2}^{\prime} \delta \frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}}+\ldots+\eta_{3 n}^{\prime} \delta \frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}}- \\
& -\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}} \delta \eta_{1}-\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}} \delta \eta_{2}-\ldots-\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}} \delta \eta_{3 n}= \\
& =\sum \eta^{\prime} \delta \frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime}}-\sum \frac{\delta T}{\delta \eta} \delta \eta=\sum\left(\eta^{\prime} \delta \frac{\delta V}{\delta \eta}-\frac{\delta T}{\delta \eta} \delta \eta\right) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, полная вариация нового уравнения в частных производных (T) может быть записана следующим образом :
\[
\sum\left(\eta^{\prime} \delta \frac{\delta V}{\delta \eta}-\frac{\delta T}{\delta \eta} \delta \eta\right)=\sum \frac{\delta U}{\delta \eta} \delta \eta+\delta H .
\]

Заметив, что $\eta^{\prime}=\frac{d \eta}{d t}$ и что величины вида $\eta$ являются единственными, которые меняются со временем, найдем, что
\[
\sum \eta^{\prime} \delta \frac{\delta V}{\delta \eta}=\sum\left(\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta \eta} \delta \eta+\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta e} \delta e\right)+\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta H} \delta H,
\]

так как тождество $\delta d V=d \delta V$ в развернутом виде дает
\[
\begin{aligned}
& \sum\left(\delta \frac{\delta V}{\delta \eta} d \eta+\delta \frac{\delta V}{\delta e} d e\right)+\delta \frac{\delta V}{\delta H} d H= \\
= & \sum\left(d \frac{\delta V}{\delta \eta} \delta \eta+d \frac{\delta V}{\delta e} \delta e\right)+d \frac{\delta V}{\delta H} \delta H .
\end{aligned}
\]

Разлагая выражение (V) вариации половины живой силы на столько отдельных уравнений, сколько оно содержит независимых вариаций, мы получаем не только уравнение
\[
\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta H}=1,
\]

которое уже появлялось, и группу
\[
\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta e_{1}}=0, \quad \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta e_{2}}=0, \ldots, \quad \frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta e_{3 n}}=0,
\]

которая может быть сразу же получена путем дифференцирования конечных интеграллов (S), но также группу других $3 n$ уравнений вида
\[
\frac{d}{d t} \frac{\delta V}{\delta \eta}-\frac{\delta T}{\delta \eta}=\frac{\delta U}{\delta \eta},
\]

которые посредством промежуточных интегралов $(\mathrm{R})$ дают уравнение
\[
\frac{d}{d t} \frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime}}-\frac{\delta T}{\delta \eta}=\frac{\delta U}{\delta \eta}
\]

или в более полном виде
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}-\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}}=\frac{\delta U}{\delta \eta_{1}} \\
\frac{d}{d t} \frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}}-\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}}=\frac{\delta U}{\delta \eta_{2}} ; \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \\
\frac{d}{d t} \frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}}-\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}}=\frac{\delta U}{\delta \eta_{3 n}} .
\end{array}\right\}
\]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Mécanique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что $n$ точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие $V$ системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим; однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел.
9. Из предыдущих замечаний следует, что для того, чтобы применить наш метод к любой задаче динамики, относящейся к любой движущейся системе, необходимо сочетать известный закон живой силы с нашим законом переменного действия. Общее выражение этого последнего закона может быть получено следующим образом. Прежде всего мы должны выразить величину $T$, т. е. половину живой силы системы, как функцию (которая всегда будет однородной функцией второй степени) производных $\eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}$ и т. д. любых прямоугольных координат или других отметок положения системы. Затем мы должны взять вариацию этой однородной функции по $\eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}$ и т. д. и заменить вариации $\delta \eta_{1}^{\prime}, \delta \eta_{2}^{\prime}$ и т. д. вариациями $\delta \eta_{1}, \delta \eta_{2}$ и т. д. самих отметок положения. Наконец, надо вычесть из конечного значения результата на-

чальное значение и приравнять полученную разность величине $\delta V-t \delta H\left[{ }^{76}\right]$. Легко заметить, что это общее правило, или процесс получения вариации характеристической функции $V$, применим даже тогда, когда отметки положения $\eta_{1}, \eta_{2}$ и т. д. не независимы одна от другой. Это будет иметь место в том случае, когда по соображениям удобства они взяты в числе большем, чем число прямоугольных координат отдельных точек системы. В самом деле, если мы предположим, что $3 n$ прямоугольных координат $x, y, z, \ldots$, $x_{n}, y_{n}, z_{n}$ выражены посредством какого-либо преобразования как функции $3 n+k$ других отметок положения $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n+k}$, которые поэтому должны быть связаны $k$ уравнениями условий
\[
\left.\begin{array}{rl}
0 & =\Phi_{1}\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n+k}\right), \\
0 & =\Phi_{2}\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n+k}\right), \\
\ldots \ldots . \ldots . \\
0 & =\Phi_{k}\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n+k}\right),
\end{array}\right\}
\]

дающими $k$ новых отметок положения как функции остальных $3 n$ отметок,
\[
\left.\begin{array}{c}
\eta_{3 n+1}=\Psi_{1}\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right), \\
\eta_{3 n+2}=\Psi_{2}\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right), \\
\ldots \cdots \cdots \\
\eta_{3 n+k}=\Psi_{k}\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right),
\end{array}\right\}
\]

то выражение
\[
T=\frac{1}{2} \sum m\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)
\]

превратится благодаря введению этих новых переменных в однородную функцию второй степени $3 n+k$ величин $\eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}, \ldots, \eta_{3 n+k}^{\prime}$, включающую в общем также $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n+k}$. Вариация ее может быть выражена следующим образом :
\[
\begin{aligned}
\delta T & =\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}\right) \delta \eta_{1}^{\prime}+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}}\right) \delta \eta_{2}^{\prime}+\ldots+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+k}^{\prime}}\right) \delta \eta_{3 n+k}^{\prime}+ \\
& +\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}}\right) \delta \eta_{1}+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}}\right) \delta \eta_{2}+\ldots+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+k}}\right) \delta \eta_{3 n+k}
\end{aligned}
\]

или, иначе,
\[
\begin{aligned}
\delta T & =\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}} \delta \eta_{1}^{\prime}+\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}} \delta \eta_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}} \delta \eta_{3 n}^{\prime}+ \\
& +\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}} \delta \eta_{1}+\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}} \delta \eta_{2}+\ldots+\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}} \delta \eta_{3 n},
\end{aligned}
\]

благодаря соотношениям (32), которые, будучи дифференцированы по времени, дают :
\[
\left.\begin{array}{c}
\eta_{3 n+1}^{\prime}=\eta_{1}^{\prime} \frac{\delta \Psi_{1}}{\delta \eta_{1}}+\eta_{2}^{\prime} \frac{\delta \Psi_{1}}{\delta \eta_{2}}+\cdots+\eta_{3 n}^{\prime} \frac{\delta \Psi_{1}}{\delta \eta_{3 n}}, \\
\eta_{3 n+2}^{\prime}=\eta_{1}^{\prime} \frac{\delta \Psi_{2}}{\delta \eta_{1}}+\eta_{2}^{\prime} \frac{\delta \Psi_{2}}{\delta \eta_{2}}+\cdots+\eta_{3 n}^{\prime} \frac{\delta \Psi_{2}}{\delta \eta_{3 n}}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdots \cdot \eta_{3 n}^{\prime} \frac{\delta \Psi_{k}}{\delta \eta_{3 n}} \\
\eta_{3 n+k}^{\prime}=\eta_{1}^{\prime} \frac{\delta \Psi_{k}}{\delta \eta_{1}}+\eta_{2}^{\prime} \frac{\delta \Psi_{k}}{\delta \eta_{2}}+\cdots \cdots
\end{array}\right\}
\]

и, следовательно, варьируя лишь величины вида $\eta^{\prime}$,
\[
\begin{array}{l}
\delta \eta_{3 n+1}^{\prime}=\frac{\delta \Psi_{1}}{\delta \eta_{1}} \delta \eta_{1}^{\prime}+\frac{\delta \Psi_{1}}{\delta \eta_{2}} \delta \eta_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\delta \Psi_{1}}{\delta \eta_{3 n}} \delta \eta_{3 n}^{\prime}, \\
\delta \eta_{3 n+2}^{\prime}=\frac{\delta \Psi_{2}}{\delta \eta_{1}} \delta \eta_{1}^{\prime}+\frac{\delta \Psi_{2}}{\delta \eta_{2}} \delta \eta_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\delta \Psi_{2}}{\delta \eta_{3 n}} \delta \eta_{3 n}^{\prime}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\delta \eta_{3 n+k}^{\prime}=\frac{\delta \Psi_{k}}{\delta \eta_{1}} \delta \eta_{1}^{\prime}+\frac{\delta \Psi_{k}}{\delta \eta_{2}} \delta \eta_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\delta \Psi_{k}}{\delta \eta_{3 n}} \delta \eta_{3 n}^{\prime} . \\
\end{array}
\]

Сравнивая два выражения (33) и (34), мы при помощи (36) находим соотношения
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}=\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}\right)+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+1}^{\prime}}\right) \frac{\delta \Psi_{1}}{\delta \eta_{1}}+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+2}^{\prime}}\right) \frac{\delta \Psi_{2}}{\delta \eta_{1}}+\ldots+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+k}^{\prime}}\right) \frac{\delta \Psi_{k}}{\delta \eta_{1}}, \\
\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}}=\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}}\right)+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+1}^{\prime}}\right) \frac{\delta \Psi_{1}}{\delta \eta_{2}}+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+2}^{\prime}}\right) \frac{\delta \Psi_{2}}{\delta \eta_{2}}+\ldots+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+k}^{\prime}}\right) \frac{\delta \Psi_{k}}{\delta \eta_{2}}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}}=\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}}\right)+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+1}^{\prime}}\right) \frac{\delta \Psi_{1}}{\delta \eta_{3 n}}+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+2}^{\prime}}\right) \frac{\delta \Psi_{2}}{\delta \eta_{3 n}}+\ldots+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+k}^{\prime}}\right) \frac{\delta \Psi_{k}}{\delta \eta_{3 n}}, \\
\end{array}
\]

которые дают посредством (32)
\[
\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}} \delta \eta_{1}+\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}} \delta \eta_{2}+\ldots+\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}} \delta \eta_{3 n}=\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}}\right) \delta \eta_{2}+\ldots+\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+k}^{\prime}}-\right) \delta \eta_{3 n+k} .
\]

Следовательно, мы можем написать выражение (Q) в следующем более общем виде :
\[
\delta V=\sum\left(\frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime}}\right) \delta \eta-\sum\left(\frac{\delta T_{0}}{\delta e^{\prime}}\right) \delta e+t \delta H .
\]

Здесь производные $\left(\frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime}}\right)$ образуются, считая все $3 n+k$ величин $\eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}, \ldots$ ..,$\eta_{3 n+k}^{\prime}$ независимыми ; это есть распространение провозглашенного выше правила образования вариации характеристической функции $V$.

Мы не можем сразу разложить это новое выражение ( $\left.\mathrm{A}^{1}\right)$ для $\delta V$, как мы это делали для (Q), рассматривая все вариации $\delta \eta$, $е$ как независимые. Однако мы сможем разложить ( $\left.\mathrm{A}^{1}\right)$, если предварительно примем во внимание конечные уравнения условий (31) и аналогичные начальные уравнения условий, а именно :
\[
\left.\begin{array}{c}
0=\Phi_{1}\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n+k}\right), \\
0=\Phi_{2}\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n+k}\right), \\
\ldots \ldots . \cdots \cdot \\
0=\Phi_{k}\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n+k}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Для этого мы должны прибавить вариации функций $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{k}, \Phi_{1}, \ldots, \dot{\Phi}_{k}$, соответственно помноженные на подлежащие определению множители $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}, \Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{k}$. Таким образом, закон переменного действия принимает следующий новый вид :
\[
\delta V=\Sigma\left(\frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime}}\right) \delta \eta-\Sigma\left(\frac{\delta T_{0}}{\delta e^{\prime}}\right) \delta e+t \delta H+\Sigma \lambda \delta \varphi+\sum \Lambda \delta \Phi
\]

и распадается на $6 n+2 k+1$ отдельных выражений для частных производных первого порядка характеристической функции $V$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta V}{\delta \eta_{1}}=\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}\right)+\lambda_{1} \frac{\delta \varphi_{1}}{\delta \eta_{1}}+\lambda_{2} \frac{\delta \varphi_{2}}{\delta \eta_{1}}+\ldots+\lambda_{k} \frac{\delta \varphi_{k}}{\delta \eta_{1}} ; \\
\frac{\delta V}{\delta \eta_{2}}=\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{2}^{\prime}}\right)+\lambda_{1} \frac{\delta \varphi_{2}}{\delta \eta_{2}}+\lambda_{2} \frac{\delta \varphi_{2}}{\delta \eta_{2}}+\ldots+\lambda_{k} \frac{\delta \varphi_{k}}{\delta \eta_{2}} ; \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\frac{\delta V}{\delta \eta_{3 n+k}}=\left(\frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n+k}^{\prime}}\right)+\lambda_{1} \frac{\delta \varphi_{1}}{\delta \eta_{3 n+k}}+\ldots+\lambda_{k} \frac{\delta \varphi_{k}}{\delta \eta_{3 n+k}} ; \\
\frac{\delta V}{\delta e_{1}}=-\left(\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{1}^{\prime}}\right)+\Lambda_{1} \frac{\delta \Phi_{1}}{\delta e_{1}}+\Lambda_{2} \frac{\delta \Phi_{2}}{\delta e_{1}}+\ldots+\Lambda_{k} \frac{\delta \Phi_{k}}{\delta e_{1}} ; \\
\frac{\delta V}{\delta e_{2}}=-\left(\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{2}^{\prime}}\right)+\Lambda_{1} \frac{\delta \Phi_{1}}{\delta e_{2}}+\Lambda_{2} \frac{\delta \Phi_{2}}{\delta e_{2}}+\ldots+\Lambda_{k} \frac{\delta \Phi_{k}}{\delta e_{2}} ; \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\frac{\delta V}{\delta e_{3 n+k}}=-\left(\frac{\delta T_{0}}{\delta e_{3 n+k}^{\prime}}\right)+\Lambda_{1} \frac{\delta \Phi_{1}}{\delta e_{3 n+k}}+\ldots+\Lambda_{k} \frac{\delta \Phi_{k}}{\delta e_{3 n+k}} \\
\end{array}
\]

и старое уравнение (E). Аналогичное введение множителей в канонических формах Лагранжа для дифференциальных уравнений движения второго порядка, посредством которых сумма вида $\sum \lambda \frac{\delta \varphi}{\delta \eta}$ складывается с $\frac{\delta U}{\delta \eta}$ в0 втором члене формулы (Y), также легко оправдывается, исходя из принципов данной работы.